Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ lớp 10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

– Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A tùy ý và vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{AC}$được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$.

– Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

– Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

– Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

– Với ba vectơ; $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ tùy ý :

+ Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}$+ $\overrightarrow{b}$= $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{a}$;

+ Tính chất kết hợp: ($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) + $\overrightarrow{c}$ = $\overrightarrow{a}$ + ($\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$);

+ Tính chất của vectơ–không: $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{0}$+ $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{a}$.

Chú ý: Do các vectơ ($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) + $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{a}$ + ($\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$) bằng nhau, nên ta còn viết chúng dưới dạng $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$ và gọi là tổng của ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$. Tương tự, ta cũng có thể viết tổng của một số vectơ mà không cần dùng dấu ngoặc.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải

Khi đó $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{AC}$.

Suy ra : $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}|$ = $\left|\overrightarrow{AC}\right|$.

Mặt khác ABCD là hình vuông có các cạnh bằng 1 nên độ dài đường chéo AC = $\sqrt{2}$.

Và $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ = AC, suy ra $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ = $\sqrt{2}$.

Do đó $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}|$ = $\left|\overrightarrow{AC}\right|$= $\sqrt{2}$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}$ = ($\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BD}$) + $\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{AC}$.

Suy ra $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}|$ = $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2}$.

Vậy $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}|$ = $\sqrt{2}$; $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}|$ = $\sqrt{2}$.

2. Hiệu của hai vectơ

– Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$. Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$ kí hiệu là –$\overrightarrow{a}$.

– Vectơ được coi là vectơ đối của chính nó.

– Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng $\overrightarrow{0}$.

– Vectơ $\overrightarrow{a}$+ (–$\overrightarrow{b}$) được gọi là hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}$– $\overrightarrow{b}$. Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

– Nếu $\overrightarrow{b}$+ $\overrightarrow{c}$= $\overrightarrow{a}$ thì $\overrightarrow{a}$– $\overrightarrow{b}$ = $\overrightarrow{a}$+ (–$\overrightarrow{b}$) = $\overrightarrow{c}$ + $\overrightarrow{b}$+ (–$\overrightarrow{b}$) = $\overrightarrow{c}$+ $\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{c}$.

– Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}=\left(-\overrightarrow{OM}\right)+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc hiệu, ta có $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DC}$.

Mặt khác, vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Vậy $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$.

Nhận xét: Trong vật lý, trọng tâm của một vật là điểm đặt của trọng lực tác dụng lên vật đó. Đối với một vật mỏng hình đa giác A₁A₂…A_n thì trọng tâm của nó là điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{G{A}_1}+\overrightarrow{G{A}_2}+\mathrm{...}+\overrightarrow{G{A}_n}=\overrightarrow{0}$.

Ví dụ:

– Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

– Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Chú ý:

– Phép cộng tương ứng với các quy tắc tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc:

+ Nếu hai lực cùng tác động vào chất điểm A và được biểu diễn bởi các vectơ $\overrightarrow{u_1}$, $\overrightarrow{u_2}$ thì hợp lực tác động vào A được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{u_1}$ + $\overrightarrow{u_2}$.

+ Nếu một con thuyền di chuyển trên sông với vận tốc riêng (vận tốc so với dòng nước) được biểu diễn bở vectơ $\overrightarrow{v_r}$ và vận tốc của dòng nước (so với bờ) được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{v_n}$ thì vận tốc thực tế của thuyền (so với bờ) được biểu diễn bởi vectơ $\overrightarrow{v_r}$ + $\overrightarrow{v_n}$.

Ví dụ: Con tàu di chuyển từ bờ sông bên này sang bờ sông bên kia với vận tốc riêng không đổi. Vectơ vận tốc thực tế của tàu được biểu thị như sau:

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng d₁, d₂ song song với nhau. Giả sử tàu xuất phát từ A và bánh lái luôn giữ để tàu tạo với bờ góc α.

Gọi $\overrightarrow{v_r}$, $\overrightarrow{v_n}$ lần lượt là vectơ vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước.

Khi đó tàu chuyển động với vận tốc thực tế là: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_r}+\overrightarrow{v_n}$.

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Vectơ đối của vectơ - không là:

A. Mọi vectơ khác vectơ - không;

B. Không có vectơ nào ;

C. Chính nó;

D. Mọi vectơ kể cả vectơ – không.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Vectơ $\overrightarrow{0}$ được coi là vectơ đối của chính nó.

Câu 2. Cho hình bình hành ABCD có một điểm O bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Câu 3. Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng 2 dm và $\widehat{BAD}=100°$ . Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$ .

A. 9,39 dm;

B. 3,06 dm;

C. 7,31 dm;

D. 2,70 dm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình thoi nên ABCD là hình bình hành khi đó: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABD có:

B2. Bài tập tự luận

Câu 4: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$.

b) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$

= $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$; $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$.

Vậy $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}$.

Bài 2: Hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ cùng tác động lên một vật, biết |$\overrightarrow{F_1}$|= 4N, |$\overrightarrow{F_2}$| = 5N. Góc tạo bởi hai lực là 60°. Tính độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}$ + $\overrightarrow{F_2}$.

Hướng dẫn giải

Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{F_1}$; $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{F_2}$. Ta vẽ hình bình hành ABCD.

Khi đó $\overrightarrow{F_1}$ + $\overrightarrow{F_2}$ = $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{AC}$ (theo quy tắc hình bình hành).

Suy ra: |$\overrightarrow{F_1}$ + $\overrightarrow{F_2}$| = |$\overrightarrow{AC}$|

Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC.

Suy ra $\widehat{DAB}+\widehat{CBA}=180°$ (hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song).

⇒ $\widehat{CBA}=180°-\widehat{DAB}=180°-60°=120°$.

Mặt khác $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên $\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=5$; $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{F_1}\right|=4$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cosB

⇒ AC² = 4² + 5² – 2.4.5.cos 120° = 61.

⇒ AC = $\sqrt{61}$ ≈ 7,8.

Vậy, |$\overrightarrow{F_1}$ + $\overrightarrow{F_2}$| ≈ 7,8 (N).

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Câu 1. Quy tắc ba điểm được phát biểu:

A. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$;

B. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}$;

C. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}$;

D. Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Câu 2. Cho tam giác ABC có I là trung điểm cạnh AB và G là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây sai:

A. $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}$;

B. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$;

C. $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$;

D. $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$.

Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH và BC = 10cm. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

A. 5cm;

B. 10dm;

C. 10cm;

D. 15cm.

Câu 4. Vectơ đối của vectơ - không là:

A. Mọi vectơ khác vectơ - không;

B. Không có vectơ nào ;

C. Chính nó;

D. Mọi vectơ kể cả vectơ – không.

Câu 5. Cho hình bình hành ABCD có một điểm O bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$;

B. $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$;

C. $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$;

D. $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}$.

Câu 6. Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng 2 dm và $\widehat{BAD}=100°$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$.

A. 9,39 dm;

B. 3,06 dm;

C. 7,31 dm;

D. 2,70 dm.

Câu 7. Cho hình bình hành ABCD có tâm O, G là trọng tâm tam giác BCD. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$;

B. $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$;

C. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$;

D. $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}$.

Câu 8. Tính tổng $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}$

A. $\overrightarrow{PR}$;

B. $\overrightarrow{MR}$;

C. $\overrightarrow{MP}$;

D. $\overrightarrow{MN}$.

Câu 9. Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$.

A. M là một điểm bất kì;

B. M là điểm thỏa mãn ACMD là hình bình hành;

C. M là điểm thỏa mãn ACDM là hình bình hành;

D. Không tồn tại điểm M.

Câu 10. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Ba điểm M, N, P thỏa mãn:

+) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$;

+)$\overrightarrow{N\text{D}}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$;

+) $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$.

Nhận xét nào sau đây đúng về M, N, P.

A. M là trung điểm của đoạn thẳng NP;

B. N là trung điểm của đoạn thẳng MP;

C. P là trung điểm của đoạn thẳng MN;

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 11. Hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ cùng tác động lên một vật, cho $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=7N,\left|\overrightarrow{F_2}\right|=3N$. Tính độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$(biết góc giữa $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ bằng 45°).

A. 10N;

B. 4N;

C. 5,32N;

D. 9,36N.

Câu 12. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm. Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đẳng thức đúng?

1. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}$;

II. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AD}$;

III. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{EB}$;

IV. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{0}$.

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Đáp án đúng là A

+) Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}\right)=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{OA}$. Do đó A sai.

+) Ta có $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}$. Do đó B đúng.

+) Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}\right)=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{OA}\ne \overrightarrow{EB}$. Do đó C sai.

+) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{AO}\ne \overrightarrow{0}$. Do đó D sai.

Câu 13. Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ có độ lớn lần lượt là 550 N, 800 N. Cho biết góc giữa hai vectơ là 52^o.

Độ lớn của vectơ hợp lực $\overrightarrow{F}$ là tổng của hai lực $\overline{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ nằm trong khoảng nào dưới đây?

A. (900; 1 000);

B. (1 000; 1 100);

C. (1 100; 1 200);

D. (1 200; 1 300).

Câu 14. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. So sánh độ dài của hai vectơ sau:

$\overrightarrow{a}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}\right)+\overrightarrow{CB}$;

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}$.

A. $\left|\overrightarrow{a}\right|=2\left|\overrightarrow{b}\right|$;

B. $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$;

C. $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{b}\right|$;

D. $\left|\overrightarrow{a}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\overrightarrow{b}\right|$.

Câu 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: $\overrightarrow{K\text{A}}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$; $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$; $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{H\text{D}}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{GH}$.

A. $\frac{\sqrt{2}a}{2}$;

B. $\sqrt{2}$a;

C. $\frac{\sqrt{2}a}{3}$;

D. a

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho tam giác $ABC$. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành $ABIJ,BCPQ,CARS.$

a)$\overrightarrow{RJ}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}$.

b)$\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{QB}$.

c)$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{SC}$.

d)$\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Có hai lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$ cùng tác động vào một vật đứng tại điểm $O$, biết hai lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$ đều có cường độ là $50\left(\text{N}\right)$ và chúng hợp với nhau một góc $60°$. Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 2. Cho ba lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{MC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm $M$ và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$ đều bằng $25N$ và $\widehat{AMB}=60°$. Khi đó cường độ lực của $\overrightarrow{F_3}$ bằng $a\sqrt{3}$ N. Xác định giá trị của $a$.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 9: Tích vô hướng của một vectơ với một số

Lý thuyết Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Tổng hợp lý thuyết Chương 4

Lý thuyết Bài 12: Số gần đúng và sai số

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai vectơ lớp 10

Giáo án điện tử Tổng và hiệu của hai vectơ lớp 10

Giáo án Tổng và hiệu của hai vectơ lớp 10

Giải Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải sbt Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ