Lý thuyết Hàm số bậc hai lớp 10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Hàm số bậc hai

1. Khái niệm hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức y = ax² + bx + c, trong đó x là biến số, a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.

Tập xác định của hàm số bậc hai là ℝ.

Nhận xét : Hàm số y = ax² (a ≠ 0) đã học ở lớp 9 là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai với b = c = 0.

Ví dụ:

a) Hàm số y = 2x² + x – 1 là hàm số bậc hai với a = 2, b = 1, c = –1.

b) Hàm số y = – x² cũng là hàm số bậc hai với a = –1 và b = c = 0.

2. Đồ thị của hàm số bậc hai

- Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol.

- Đồ thị hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$, có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0.

- Để vẽ đường parabol y = ax² + bx + c ta tiến hành theo các bước sau :

1. Xác định tọa độ đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$ ;

2. Vẽ trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}$;

3. Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol ;

4. Vẽ parabol.

Nhận xét : Từ đồ thị hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0), ta suy ra tính chất của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0):

Ví dụ : Hãy vẽ parabol y = x² – 2x + 2 và chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số đó.

Hướng dẫn giải

Hàm số y = x² – 2x + 2 có hệ số a = 1; b = – 2 ; c = 2.

Ta có : ∆ = (– 2)² – 4.1.2 = –4.

Vì a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Khi đó đỉnh $I=\left(-\frac{-2}{2.1};-\frac{-4}{4.1}\right)$ = (1 ; 1); trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2.1}=1$.

Giao của đồ thị với trục Oy là A(0 ; 2).

Vì ∆ = – 4 < 0 nên phương trình x² – 2x + 2 = 0 vô nghiệm, do đó đồ thị không giao với trục Ox.

Ta lấy điểm B(2; 2) đối xứng với A(0; 2) qua đường thẳng x = 1.

Ta có parabol y = x² – 2x + 2 như hình vẽ sau :

b) Vì a = 1 > 0 nên ta có :

Hàm số y = x² – 2x + 2 nghịch biến trên khoảng (–∞; 1);

Hàm số y = x² – 2x + 2 đồng biến trên khoảng (1; +∞);

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 1, khi x = 1.

B. Bài tập Hàm số bậc hai

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tọa độ đỉnh I của hàm số y = – 3x² + 4x – 1

A. $\text{I}\left(–\frac{\text{2}}{\text{3}}\text{;}\frac{\text{1}}{\text{3}}\right)$

B. $\text{I}\left(\frac{\text{2}}{\text{3}}\text{;}\frac{\text{1}}{\text{3}}\right)$

C. $\text{I}\left(\frac{\text{4}}{\text{3}}\text{;}–\text{1}\right)$

D. $\text{I}\left(\frac{2}{\text{3}}\text{;}\frac{4}{\text{3}}\right)$

Câu 2. Cho hàm số y = 2x² – 4x – 1. Kết luận nào đúng trong các kết luận sau

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞);

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1);

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0);

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; 2).

Câu 3. Cho parabol y = ax² + bx – 3. Xác định hệ số a, b biết parabol có đỉnh

I(– 1; – 5)

A. a = 1; b = 2;

B. a = 1; b = – 2;

C. a = – 2; b = 4;

D. a = 2; b = 4.

Câu 4. Trục đối xứng của parabol y = x² – 4x + 1

A. x = 2

B. x = – 2

C. x = 4

D. x = – 4

Câu 5. Hàm số y = – x² + 2x + 1 đồng biến trên khoảng

A. (– ∞; + ∞);

B. (– ∞; 1);

C. (1; + ∞);

D. (– ∞; 2).

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Vẽ các parabol sau và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có).

a) y = x² + 6x + 8

b) y = –x² + 2x – 2

Hướng dẫn giải

a) Hàm số y = x² + 6x + 8 có hệ số a = 1; b = 6 ; c = 8

Ta có : ∆ = 6² – 4.1.8 = 4

Vì a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Khi đó đỉnh I = $\left(-\frac{6}{2.1};-\frac{4}{4.1}\right)$ = (–3 ; –1); trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2.1}=-3$;

Giao của đồ thị với trục Ox là A(–2 ; 0) và B(–4 ; 0)

Giao của đồ thị với trục Oy là C(0 ; 8)

Ta lấy thêm điểm D(–6 ; 8) đối xứng với C(0 ; 8) qua đường thẳng x = –3 , điểm D cũng thuộc parabol.

Khi đó, ta có parabol y = x² + 6x + 8 như hình vẽ sau :

b) Hàm số y = –x² + 2x – 2 có hệ số a = –1; b = 2 ; c = –2

Ta có : ∆ =2² – 4. (–1). (–2) = –4.

Vì a = –1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Khi đó đỉnh I =$\left(-\frac{2}{2.(-1)};-\frac{-4}{4.(-1)}\right)$ = (1 ; –1); trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2.(-1)}=1$.

Vì ∆ = –4 < 0 nên –x² + 2x – 2 = 0 vô nghiệm, do đó đồ thị hàm số y = –x² + 2x – 2 không cắt trục Ox.

Giao của đồ thị với trục Oy là A(0 ; –2)

Ta lấy thêm điểm B(2 ; –2) đối xứng với A(0 ; –2) qua đường thẳng x = 1, điểm B cũng thuộc parabol.

Khi đó, ta có parabol y = –x² + 2x – 2 như hình vẽ sau :

Bài 2: Xác định parabol y = ax² + bx + c, biết parabol đi qua điểm A(4 ; 0) và có đỉnh là I(5 ; 7).

Hướng dẫn giải

Đỉnh của parabol là I(5 ; 7) do đó $-\frac{b}{2a}=5$ và 7 = a.5² + b.5 + c ⇒ 25a + 5b + c = 7.

Điểm A(4 ; 0) thuộc parabol nên ta có 0 = a.4² + b.4 + c ⇔ 16a + 4b + c = 0.

Khi đó, ta có hệ phương trình sau : $\left(\begin{array}{c}-\frac{b}{2a}=5\\ 25a+5b+c=7\\ 16a+4b+c=0\end{array}\right)$

Giải hệ trên ta được $\left(\begin{array}{c}a=-7\\ b=70\\ c=-168\end{array}\right)$

Vậy parabol cần tìm là y = –7x² + 70x – 168.

Bài 3 : Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162 m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43 m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất, vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch.

Hướng dẫn giải

Ta chọn hệ trục tọa độ như hình sau:

Gọi phương trình của parabol cần tìm là y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Khi đó parabol đi qua ba điểm A(0 ; 0), B(162 ; 0) và M(10 ; 43).

Thay lần lượt tọa độ các điểm này vào phương trình parabol. Khi đó ta có hệ phương trình sau :

$\left(\begin{array}{c}a{.0}^2+b.0+c=0\\ a{.162}^2+b.162+c=0\\ a{.10}^2+b.10+c=43\end{array}\right)$

Giải hệ trên :

$\left(\begin{array}{c}a{.0}^2+b.0+c=0\\ a{.162}^2+b.162+c=0\\ a{.10}^2+b.10+c=43\end{array}\right)$⇔ $\left(\begin{array}{c}c=0\\ a{.162}^2+b.162=0\\ a{.10}^2+b.10=43\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}c=0\\ a=-\frac{43}{1520}\\ b=\frac{3483}{760}\end{array}\right)$

Suy ra parabol cần tìm là y = $-\frac{43}{1520}$x² + $\frac{3483}{760}$x.

Ta có ∆ = ${\left(\frac{3483}{760}\right)}^2-4.\left(-\frac{43}{1520}\right).0={\left(\frac{3483}{760}\right)}^2$

Khi đó chiều cao của cổng là h = $-\frac{\Delta }{4a}$ = $-\frac{{\left(\frac{3483}{760}\right)}^2}{4.\left(-\frac{43}{1520}\right)}$ ≈ 185,6 (m).

Vậy chiều cao của cổng Arch khoảng 185,6 mét.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai

Câu 1. Trục đối xứng của parabol y = x² – 4x + 1

A. x = 2

B. x = – 2

C. x = 4

D. x = – 4

Câu 2. Tọa độ đỉnh I của hàm số y = – 3x² + 4x – 1

A. $\text{I}\left(–\frac{\text{2}}{\text{3}}\text{;}\frac{\text{1}}{\text{3}}\right)$

B. $\text{I}\left(\frac{\text{2}}{\text{3}}\text{;}\frac{\text{1}}{\text{3}}\right)$

C. $\text{I}\left(\frac{\text{4}}{\text{3}}\text{;}–\text{1}\right)$

D. $\text{I}\left(\frac{2}{\text{3}}\text{;}\frac{4}{\text{3}}\right)$

Câu 3. Cho hàm số y = 2x² – 4x – 1. Kết luận nào đúng trong các kết luận sau

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞);

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1);

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; 0);

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; 2).

Câu 4. Cho parabol y = ax² + bx – 3. Xác định hệ số a, b biết parabol có đỉnh

I(– 1; – 5)

A. a = 1; b = 2;

B. a = 1; b = – 2;

C. a = – 2; b = 4;

D. a = 2; b = 4.

Câu 5. Hàm số y = – x² + 2x + 1 đồng biến trên khoảng

A. (– ∞; + ∞);

B. (– ∞; 1);

C. (1; + ∞);

D. (– ∞; 2).

Câu 6. Cho parabol có đồ thị như hình sau:

Tọa độ đỉnh I của parabol

A. I(– 1; – 3);

B. I(1; 0);

C. I(0; – 3);

D. I(1; – 3).

Câu 7. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng

A. $\left(–\infty \text{;}–\frac{3}{2}\right)$

B. $\left(-\infty ;-\frac{25}{4}\right)$

C.$\left(-\frac{3}{2}:+\infty \right)$

D. $\left(–\frac{\text{25}}{\text{4}};+\infty \right)$

Câu 8. Cho hàm số y = ax² + bx + c có đồ thị như hình sau:

Kết luận nào sau đây đúng về hệ số a, b:

A. a > 0; b > 0;

B. a < 0; b > 0;

C. a > 0; b < 0;

D. a > 0; c <0.

Câu 9. Hàm số y = x² + 2x – 1 có bảng biến thiên là

A.

B.

C.

D.

Câu 10. Đồ thị hàm số y = 4x² – 3x – 1 có dạng nào trong các dạng sau đây?

A.

B.

C.

D.

Câu 11. Parabol y = ax² + bx + c đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x = – 2 và đi qua

A(0; 6) có phương trình là

A. $y=\frac{1}{2}{x}^2+2x+6$

B. y = x² + 2x + 6

C. y = $\frac{1}{2}$x² + 6x + 6

D. y = x² + x + 4

Câu 12. Cho hàm số y = f(x). Biết f(x + 2) = x² – 3x + 2 thì f(x) bằng:

A. y = f(x) = x² + 7x – 12;

B. y = f(x) = x² – 7x – 12;

C. y = f(x) = x² + 7x + 12;

D. y = f(x) = x² – 7x + 12.

Câu 13. Cho hàm số y = ax² + bx + c có đồ thị như hình dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

A. y = x² – 4x – 1;

B. y = 2x² – 4x – 1;

C. y = – 2x² – 4x – 1;

D. y = 2x² – 4x + 1.

Câu 14. Biết rằng P: y = ax² + bx + 2 (a > 1) đi qua điểm M(–1; 6) và có tung độ đỉnh bằng $-\frac{1}{4}$. Tính tích P = a.b.

A. P = – 3

B. P = – 2

C. P = 192

D. P = 28

Câu 15. Biết rằng hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) đạt cực đại bằng 3 tại x = 2 và có đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; – 1). Tính tổng S = a + b + c.

A. S = – 1;

B. S = – 4;

C. S = 4;

D. S = 2.

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Xét đồ thị của hàm số $y=x^2-4x-5$.

a) Có toạ độ đỉnh $I\left(2;9\right)$.

b) Trục đối xứng là $x=2$.

c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là $C\left(0;-5\right)$.

d) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là $A\left(-1;0\right)$ và $B\left(5;0\right)$.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Một vật chuyển động có vận tốc $(\text{m}/\text{s})$ được biểu diễn theo thời gian $t\left(\text{s}\right)$ bằng công thức $v\left(t\right)=\frac{1}{2}{t}^2-4t+10$. Vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu (đơn vi: m/s)?

Câu 2. Biết rằng hàm số $y=a{x}^2+bx+c$ đạt giá trị lớn nhất bằng $-4$ tại $x=2$ và đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left(0;-5\right)$. Giá trị của biểu thức $T=a+b-c$ bằng bao nhiêu?

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Lý thuyết Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Tổng hợp lý thuyết Chương 6

Lý thuyết Bài 19: Phương trình đường thẳng

Lý thuyết Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Hàm số bậc hai lớp 10

Giáo án điện tử Hàm số bậc hai lớp 10

Giáo án Hàm số bậc hai lớp 10

Giải Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai

Giải sbt Toán 10 Bài 16: Hàm số bậc hai