Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ lớp 10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰– Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Giá trị lượng giác của một góc

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc α, 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó, có duy nhất điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn đơn vị để $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$.

- Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$. Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sin α;

+ côsin của góc α là hoành độ x₀ của điểm M, được kí hiệu là cos α;

+ Khi α ≠ 90° (hay x₀ ≠ 0), tang của α là $\frac{{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{x}}_0}$, được kí hiệu là tan α;

+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y₀ ≠ 0), côtang của α là $\frac{{\mathrm{x}}_0}{{\mathrm{y}}_0}$, được kí hiệu là cot α.

- Từ định nghĩa trên ta có:

$\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 90°);$$\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 0°\mathrm{và}\mathrm{\alpha }\ne 180°);$$\mathrm{tan\alpha }=\frac{1}{\mathrm{cot\alpha }}\text{ (}\mathrm{\alpha }\notin \text{{}0°;90°;180°\text{}})$

- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{\mathrm{xOM}}={120}^{\mathrm{o}}$. Gọi N, K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Do $\widehat{\mathrm{xOM}}={120}^{\mathrm{o}}$ và $\widehat{\mathrm{xOK}}={90}^{\mathrm{o}}$nên $\widehat{\mathrm{KOM}}={30}^{\mathrm{o}}$và $\widehat{\mathrm{MON}}={60}^{\mathrm{o}}$.

Từ bảng GTLG của một số góc đặc biệt:

Ta có: cos 60^o = $\frac{1}{2}$ và cos 30^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Các tam giác MOK và MON là các tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1

Suy ra ON = cos$\widehat{\mathrm{MON}}$.OM = cos60^o.1 = $\frac{1}{2}$ và OK = cos$\widehat{\mathrm{MOK}}$.OM = cos30^o.1 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên $\mathrm{M}\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có:

sin 120^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos 120^o = $-\frac{1}{2}$

tan 120^o = $\frac{\sin {120}^{\mathrm{o}}}{\cos {120}^{\mathrm{o}}}=-\sqrt{3}$

cot 120^o = $\frac{\cos {120}^{\mathrm{o}}}{\sin {120}^{\mathrm{o}}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Vậy sin 120^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos 120^o = $-\frac{1}{2}$; tan 120^o = $-\sqrt{3}$; cot 120^o = $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

- Ta có thể dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng của các giá trị lượng giác của một góc.

Ví dụ:

- Ta cũng có thể tìm được góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ:

Chú ý:

+ Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị x ≤ 90°.

+ Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím tương ứng bởi phím .

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Đối với hai góc bù nhau, α và 180° – α, ta có:

sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = – cos α;

tan (180° – α) = – tan α (α ≠ 90°);

cot (180° – α) = – cot α (0° < α < 180°).

Chú ý:

- Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc 135°.

Hướng dẫn giải

Ta có 135° + 45° = 180°, vì vậy góc 135° và góc 45° là hai góc bù nhau:

Suy ra:

sin135° = sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos135° = – cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan135° = – tan45° = –1

cot135° = – cot45° = –1

Vậy sin135° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos135° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; tan135° = –1 ; cot135° = –1.

- Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ:

Ta có 30° + 60° = 90° nên góc 30° và góc 60° là hai góc phụ nhau.

Khi đó:

sin30° = cos60° = $\frac{1}{2}$

tan30° = cot60° = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho góc α, biết sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị của biểu thức A = 4sin² α + 3cos² α.

Hướng dẫn giải

Ta có:

A = 4sin² α + 3cos² α = (3sin² α + 3cos² α) + sin² α = 3 (sin² α + cos² α) + sin² α

Vì cos² α + sin ² α = 1 và sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Thay vào A ta có: A = 3. 1 + ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ = $\frac{7}{2}$;

Vậy A = $\frac{7}{2}$.

Bài 2. Cho $\mathrm{A}=\frac{3\mathrm{sin\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$ và tan α = $\sqrt{2}$. Chứng minh $\mathrm{A}=7-4\sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}=\sqrt{2}\Rightarrow \mathrm{sin\alpha }=\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }$

Suy ra $\mathrm{A}=\frac{3\mathrm{sin\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$

$=\frac{3\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$

$=\frac{(3\sqrt{2}-1)\mathrm{cos\alpha }}{(\sqrt{2}+1)\mathrm{cos\alpha }}$

$=\frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\left(3\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=7-4\sqrt{2}$

Vậy A= 7 – 4$\sqrt{2}$.

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 3sin150° + tan135° + cot45°

b) cot135° – tan60°. cos²30°

Hướng dẫn giải

a) 3sin 150° + tan 135° + cot 45°

= 3.sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°) + cot 45°

= 3.sin30° – tan45° + cot45°

= 3 . $\frac{1}{2}$ + (-1) + 1 = $\frac{3}{2}$^.

b) cot 135° – tan 60°. cos² 30°

= cot(180° – 45°) – tan60°.cos²30°

= – cot45° – tan60°.cos²30°

= (– 1) – $\sqrt{3}$.${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$= $-\frac{4+3\sqrt{3}}{4}$.

B2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4. Biết tanα = 2, giá trị của biểu thức $\mathrm{M}=\frac{3\mathrm{sin\alpha }-2\mathrm{cos\alpha }}{5\mathrm{cos\alpha }+7\mathrm{sin\alpha }}$

bằng:

A. $-\frac{4}{9}$;

B. $\frac{4}{19}$;

C. $-\frac{4}{19}$;

D. $\frac{4}{9}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cách 1: Vì cos α ≠ 0 nên chia cả tử và mẫu của M cho cosα ta có:

$\mathrm{M}=\frac{3\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}-2}{5+7\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}}=\frac{3.\mathrm{tan\alpha }-2}{5+7.\mathrm{tan\alpha }}=\frac{3.2-2}{5+7.2}=\frac{4}{19}$.

Cách 2: Ta có: $\mathrm{tan\alpha }=2\iff \frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}=2\left(\mathrm{cos\alpha }\ne 0\right)\iff \mathrm{sin\alpha }=2\mathrm{cos\alpha }$, thay sinα = 2cosα vào M ta được $\mathrm{M}=\frac{3.2\mathrm{cos\alpha }-2\mathrm{cos\alpha }}{5\mathrm{cos\alpha }+7.2\mathrm{cos\alpha }}=\frac{4\mathrm{cos\alpha }}{19\mathrm{cos\alpha }}=\frac{4}{19}$.

Bài 5. Cho $\mathrm{cos\alpha }=-\frac{4}{5}$ và góc α thỏa mãn 90° < α < 180°. Khi

đó.

A. $\mathrm{cot\alpha }=\frac{4}{3}$;

B. $\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}$;

C. $\mathrm{tan\alpha }=\frac{4}{5}$.

D. $\mathrm{sin\alpha }=-\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: sin²α + cos²α = 1

⇔ sin²α = 1 – cos²α = 1 – ${\left(-\frac{4}{5}\right)}^2$= 1 – $\frac{16}{25}$= $\frac{9}{25}.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}\\ \mathrm{sin\alpha }=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$

Vì 90° < α < 180° nên sinα > 0. Do đó $\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}$

⇒ tanα = $\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}=-\frac{3}{4}$, cotα = $\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}=-\frac{4}{3}$.

Vậy đáp án đúng là B.

Bài 6. Nếu 3cosx + 2 sinx = 2 và sinx < 0 thì giá trị đúng của

sinx là:

A. $-\frac{5}{13}$;

B. $-\frac{7}{13}$;

C. $-\frac{9}{13}$;

D. $-\frac{12}{13}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: 3cosx + 2 sinx = 2

$\iff$(3cosx + 2 sinx)² = 4

$\iff$9cos²x + 12cosx.sinx + 4sin²x = 4(sin²x + cos²x)

$\iff$5cos²x + 12cosx.sinx = 0

$\iff$cosx(5cosx + 12sinx) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\text{cos}\mathrm{x}=0\\ 5\text{cos}\mathrm{x}+12\mathrm{sinx}=0\end{array}\right.$

Với cosx = 0$\Rightarrow$sinx = 1 loại vì sinx < 0.

Với 5cosx + 12sinx = 0, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}5\text{cos}\mathrm{x}+12\mathrm{sinx}=0\\ 3\mathrm{cosx}+2\mathrm{sinx}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sinx}=-\frac{5}{13}\\ \text{cos}\mathrm{x}=\frac{12}{13}\end{array}\right.$.

Vậy $\mathrm{sinx}=-\frac{5}{13}$.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Câu 1. Giá trị của tan(180°) bằng

A. 1;

B. 0;

C. – 1;

D. Không xác định.

Câu 2. Cho 90° < α < 180°. Kết luận nào sau đây đúng

A. sin(α) > 0; cos(α) > 0;

B. sin(α) > 0; cos(α) < 0;

C. sin(α) < 0; cos(α) > 0;

D. sin(α) < 0; cos(α) < 0.

Câu 3. Cho 0° < α < 90°. Kết luận nào sau đây đúng

A. tan(α) > 0; cot(α) > 0;

B. tan(α) < 0; cot(α) < 0;

C. tan(α) > 0; cot(α) < 0;

D. tan(α) < 0; cot(α) > 0.

Câu 4. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. sin(180° – α) = – cos α;

B. sin(180° – α) = – sin α;

C. sin(180° – α) = sin α;

D. sin(180° – α) = cos α.

Câu 5. Cho $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$ và góc α thỏa mãn 90° < α < 180°. Khi đó.

A. $\cot \alpha =\frac{4}{3}$;

B. $\sin \alpha =\frac{3}{5}$;

C. $\tan \alpha =\frac{4}{5}$.

D. $\sin \alpha =-\frac{3}{5}$.

Câu 6. Giá trị của biểu thức $M=\frac{{\tan }^{2}30°+{\sin }^{2}60°-{\cos }^{2}45°}{{\cot }^{2}120°+{\cos }^{2}150°}$ bằng:

A. $\frac{2}{7}$;

B. $\frac{1}{7}$;

C. $\frac{5-\sqrt{6}}{6+\sqrt{3}}$;

D. $\frac{7}{13}$.

Câu 7. Giá trị của cot1485° là:

A. 1;

B. – 1;

C. 0;

D. Không xác định.

Câu 8. Cho tan α = 2. Giá trị của $A=\frac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$ là :

A. 5;

B. $\frac{5}{3}$;

C. 7;

D.$\frac{7}{3}$.

Câu 9. Trong các câu sau câu nào sai?

A. $\cos 750°=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

B. $\sin 1320°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C. $\cot 1200°=\frac{\sqrt{3}}{3}$;

D. $\tan 690°=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Câu 10. Giá trị D = tan1°.tan2°…tan89⁰.cot89°…cot2°.cot1° bằng:

A. 2;

B. 1;

C. 0;

D. 4.

Câu 11. Kết quả rút gọn của biểu thức $A=\frac{\cos (-108°).\cot 72°}{\tan (-162°).\sin 108°}-\tan 18°$ là :

A. 1;

B. – 1;

C. 0;

D. $\frac{1}{2}$.

Câu 12. Biết tanα = 2, giá trị của biểu thức $M=\frac{3\sin \alpha -2\cos \alpha }{5\cos \alpha +7\sin \alpha }$ bằng:

A. $-\frac{4}{9}$;

B. $\frac{4}{19}$;

C. $-\frac{4}{19}$;

D. $\frac{4}{9}$.

Câu 13. Rút gọn biểu thức $A=\frac{{(1-{\tan }^2\alpha )}^2}{4{\tan }^2\alpha }-\frac{1}{4{\sin }^2\alpha .co{s}^2\alpha }$ bằng:

A. 1;

B. – 1;

C. $\frac{1}{4}$;

D. $-\frac{1}{4}$.

Câu 14. Biểu thức A = cos²α.cot²α + 3cos²α – cot²α + 2sin² α bằng.

A. 1;

B. – 1;

C. 2;

D. – 2;

Câu 15. Nếu 3cosx + 2 sinx = 2 và sinx < 0 thì giá trị đúng của sinx là:

A. $-\frac{5}{13}$;

B. $-\frac{7}{13}$;

C. $-\frac{9}{13}$;

D. $-\frac{12}{13}$.

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho $\sin \alpha =\frac{3}{5},\left(90°<\alpha <180°\right)$.

a) $\cos \alpha >0$.

b) ${\cos }^2\alpha =\frac{16}{25}$.

c) $\tan \left(180°-\alpha \right)=-\frac{3}{4}$.

d) $A=\frac{\tan \alpha -\cot \left(180°-\alpha \right)}{\sin \left(90°-\alpha \right)}=\frac{125}{48}$.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho $\cot \alpha =-\sqrt{2}$ và $P=\frac{2\sin \alpha -\sqrt{2}\cos \alpha }{4\sin \alpha +3\sqrt{2}\cos \alpha }$. Tính giá trị biểu thức $A=m^2+n^2$ biết $P=\frac{m}{n}$($m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản).

Câu 2. Cho góc $\alpha \left(0°<\alpha <90°\right)$ thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{1}{3}$.

Tính giá trị biểu thức $P=\sin \left(90°-\alpha \right)-\cos \left(180°-\alpha \right)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0⁰ đến 180⁰ lớp 10

Giáo án điện tử Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰ lớp 10

Giáo án Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰ lớp 10

Giải Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰

Giải sbt Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰