Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

$\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{by}\ge \mathrm{c},\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c},\mathrm{ax}+\mathrm{by}>\mathrm{c}\right)$

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

- Cặp số $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ nếu bất đẳng thức ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0\le \mathrm{c}$ đúng.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Ví dụ:

$5\mathrm{x}+2\mathrm{y}<4$ có dạng ax + by < c với a = 5, b = 2, c = 4 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$5\mathrm{x}+2\mathrm{y}-3\mathrm{z}>3$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ba ẩn x, y, z.

Nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4:

Xét cặp số (–1; –2) có 5.(–1) + 2(–2) = –9 < 4 nên cặp số (–1; –2) là nghiệm của bất phương trình.

Xét cặp số (0; 0) có 5.0 + 2.0 = 0 < 4 nên cặp số (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Xét cặp số (–1;2) có 5.(–1) + 2.2 = –1 < 4 nên cặp số (–1;2) là nghiệm của bất phương trình.

Ta có thể tìm thêm được nhiều cặp số thỏa mãn bất phương trình đã cho. Do đó bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 2y < 4 có các cặp nghiệm là (–1; –2); (0; 0); (–1; 2) … hay bất phương trình này có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}>\mathrm{c}$;

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$;

Bờ d gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$.

- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$:

+ Vẽ đường thẳng $\mathrm{d}:\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy một điểm ${\mathrm{M}}_0\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ không thuộc d.

+ Tính ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0$ và so sánh với c.

+ Nếu ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0<\mathrm{c}$ thì nửa mặt phẳng bờ d chứa ${\mathrm{M}}_0$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0>\mathrm{c}$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa ${\mathrm{M}}_0$ là miền nghiệm của bất phương trình.

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$ là miền nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ bỏ đi đường thẳng $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $5\mathrm{x}-7\mathrm{y}\le 0$ trên mặt phẳng tọa độ:

Bước 1: Vẽ đường thẳng $\mathrm{d}:5\mathrm{x}-7\mathrm{y}=0$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy điểm ${\mathrm{M}}_0\left(0;1\right)$ không thuộc d và thay x = 0 và y = 1 vào biểu thức $5\mathrm{x}-7\mathrm{y}$ ta được $5.0-7.1=-7<0$ là mệnh đề đúng.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm ${\mathrm{M}}_0$ (miền không bị gạch)

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập tự luận

Bài 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 0.x + 7y < 8;

b) x² + y ≥ – 18;

c) 3x + 0y² < 19;

d) 4x – 5 < 3y.

Hướng dẫn giải

Các bất phương trình là bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

a) 0.x + 7y < 8 có dạng ax + by < c với a = 0, b = 7 và c = 8. . Do đó a) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) x² + y ≥ – 18 là bất phương trình bậc hai nên b) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) 3x + 0y² < 19 ⇔ 3x < 19 có dạng ax + by < c với a = 3, b = 0 và c = 19. Do đó c) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) 4x – 5 < 3y ⇔ 4x – 3y < 5 có dạng ax + by < c với a = 4, b = – 3 và c = 5. Do đó d) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy các bất phương trình a, c, d là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 2x – y < 10. Cặp nghiệm nào sau đây là nghiệm của bất phương trình trên?

(x; y) = (2; 5), (4; 8), (10; 6), (4; –7), (11; 12).

Hướng dẫn giải

Thay (x; y) = (2; 5) vào bất phương trình ta có: 2.2 – 5 < 10 (luôn đúng). Do đó cặp số (2;5) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (4; 8) vào bất phương trình ta có: 2.4 – 8 < 10 (luôn đúng). Do đó cặp số (4;8) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (10; 6) vào bất phương trình ta có: 2.10 – 6 < 10 (vô lí). Do đó cặp số (5;6) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (4; –7) vào bất phương trình ta có: 2.4 – (– 7) < 10 (vô lí). Do đó cặp số (4;–7) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (11; 12) vào bất phương trình ta có: 2.11 – 12 < 10 (vô lí). Do đó cặp số (11;12) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy ta có cặp nghiệm thỏa mãn là: (x; y) = (2; 5), (4; 8).

Bài 3. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $4\mathrm{x}+\mathrm{y}\le 15$.

a) Chỉ ra 2 nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với x = 0 thì có bao nhiêu giá trị của y thỏa mãn bất phương trình.

Hướng dẫn giải

a) Chọn (x; y) = (0; 0)

Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình đã cho ta được 4.0 + 0 ≤ 15 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Chọn (x; y) = (0; 1)

Thay x = 0 và y = 1 vào bất phương trình đã cho ta được 4.0 + 1 ≤ 15 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (0; 1) là nghiệm của bất phương trình.

Vậy hai cặp nghiệm của bất phương trình: $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\left(0;0\right),\left(0;1\right)$.

b) Với x = 0 thì bất phương trình trở thành: $\mathrm{y}\le 15$ và có vô số giá trị của y thỏa mãn bất phương trình.

B2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4. Bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 3x – y > 7(x – 4y) + 1?

A. 4x – 27y + 1 > 0;

B. 4x – 27y + 1 ≥ 0;

C. 4x – 27y < –1;

D. 4x – 27y + 1 ≤ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

3x – y > 7(x – 4y) + 1

⇔ 3x – y > 7x – 28y + 1

⇔ 0 > 7x – 3x – 28y + y + 1

⇔ 4x – 27y + 1 < 0

⇔ 4x – 27y < –1.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 5. Bạn Lan để dành được 300 nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ học sinh khó khăn, bạn Lan đã ủng hộ x tờ tiền loại 10 nghìn đồng, y tờ tiền loại 20 nghìn đồng từ tiền để dành của mình. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào diễn tả giới hạn về tổng số tiền mà bạn Lan đã ủng hộ.

A. x + y < 300;

B. 10x + y < 300;

C. 10x + 20y > 300;

D. 10x + 20y ≤ 300.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số tiền mệnh giá 10 nghìn đồng là: 10x (nghìn đồng)

Số tiền mệnh giá 20 nghìn đồng là: 20y (nghìn đồng)

Tổng số tiền bạn Lan đã ủng hộ là: 10x + 20y (nghìn đồng)

Vì tổng số tiền Lan ủng hộ không vượt quá số tiền Lan để dành được là 300 nghìn đồng nên ta có bất phương trình: 10x + 20y ≤ 300

Vậy ta chọn đáp án D.

Bài 6. Miền nghiệm của bất phương trình x + y < 1 là miền không bị gạch trong hình vẽ nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng x + y = 1 chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng.

Với cặp số (x ; y) = (0;0) ta có: 0 + 0 = 0 < 1 nên cặp số (x ; y ) = (0;0) là nghiệm của bất phương trình x + y < 1.

Do đó điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + y < 1.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + y < 1 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y = 1, chứa điểm O(0;0) (không kể bờ).

Vậy ta chọn đáp án A.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. x² + y > 0;

B. x² + 3y² = 2;

C. –x + y³ ≤ 0;

D. x – y < 1.

Câu 2. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. x² < 3x – 7y;

B. x + 3y² ≥0;

C. –2²x + y ≤4;

D. 0x – 0y ≤ 5.

Câu 3. Bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 3x – y > 7(x – 4y) + 1?

A. 4x – 27y + 1 > 0;

B. 4x – 27y + 1 ≥ 0;

C. 4x – 27y < –1;

D. 4x – 27y + 1 ≤ 0.

Câu 4. Cho bất phương trình x + y ≤ 2 (1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Bất phương trình (1) chỉ có một nghiệm duy nhất;

B. Bất phương trình (1) chỉ có hai nghiệm;

C. Bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm;

D. Bất phương trình (1) vô nghiệm.

Câu 5. Miền nghiệm của bất phương trình: –3x + y > 0 chứa điểm nào trong các điểm sau:

A. (–3; 0);

B. (3; 2);

C. (0; 0);

D. (1; 1);

Câu 6. Bạn Lan để dành được 300 nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ học sinh khó khăn, bạn Lan đã ủng hộ x tờ tiền loại 10 nghìn đồng, y tờ tiền loại 20 nghìn đồng từ tiền để dành của mình. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào diễn tả giới hạn về tổng số tiền mà bạn Lan đã ủng hộ.

A. x + y < 300 ;

B. 10x + y < 300 ;

C. 10x + 20y > 300;

D. 10x + 20y ≤ 300.

Câu 7. Miền nghiệm của bất phương trình 4x + 3y ≤ 1 là:

A. Đường thẳng d: 4x + 3y = 1;

B. Đường thẳng d: 4x + 3y = 1 và điểm O(0;0);

C. Nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d: 4x + 3y = 1 không chứa điểm O(0;0) (kể cả bờ d);

D. Nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d: 4x + 3y = 1 chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ d).

Câu 8. Điểm nào trong các điểm sau thuộc miền nghiệm của bất phương trình: 2(x + 3) – 4(y –1) < 0.

A. (0; 0);

B. (1; 0);

C. (0; 1);

D. (–5; 1).

Câu 9. Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình: x – 4y ≥ –5.

A. (–5; 0);

B. (0; 0);

C. (–2; 1);

D. (1; –3).

Câu 10. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình:

4(2 – y) > 2x + y – 2.

A. (0; 0);

B. (1; 0);

C. ( 1; 2);

D. ( –1; 1).

Câu 11. Điểm A(1; –3) là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình nào?

A. –3x + 2y –3 > 0;

B. 3x – y ≤ 0;

C. 3x – y > 0;

D. y – 2x > – 4.

Câu 12. Cặp số (2 ; 3) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. –2x + 3y < –1;

B. x + y ≤ 0;

C. 4x ≥ 2y + 1;

D. x – y + 6 < 0.

Câu 13. Miền nghiệm của bất phương trình x + y < 1 là miền không bị gạch trong hình vẽ nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

Câu 14. Miền không gạch trong hình vẽ sau (bao gồm cả bờ), biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

A. –2x + y > 2;

B. –2x + y < 2;

C. –2x + y ≤ 2;

D. –2x + y ≥ 2.

Câu 15. Cho hai bất phương trình 2x + y < 3 (1) và – x + 3y > 5 (2) và điểm A(0; 1). Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1) và (2);

B. Điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1) nhưng không thuộc miền nghiệm của (2);

C. Điểm A không thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1) nhưng thuộc miền nghiệm của (2);

D. Điểm A không thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình (1) và (2).

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. An thích ăn hai loại trái cây là cam và xoài, mỗi tuần mẹ cho An 200000 đồng để mua trái cây. Biết rằng giá cam là 15000 đồng/1 kg, giá xoài là 30000 đồng/1 kg. Gọi x, y lần lượt là số kilogam cam và xoài mà An có thể mua về sử dụng trong một tuần.

a) Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là 15000x đồng, số tiền An có thể mua xoài là 30000y đồng với (x, y > 0).

b) Bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x, y là $3x+6y\ge 40$.

c) Cặp số $\left(5;4\right)$ thỏa mãn bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x, y.

d) An có thể mua 4 kg cam, 5 kg xoài trong tuần.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho bất phương trình $2x+3y-10\le 0$. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(m_0;n_0\right)$ thoả mãn $\left(m_0^2;n_0^2\right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho?

Câu 2. Một cửa hàng có kế hoạch nhập về 110 chiếc xe mô tô gồm hai loại A và B để bán. Mỗi chiếc xe loại A có giá 30 triệu đồng và mỗi chiếc xe loại B có giá 50 triệu đồng. Để số tiền dùng để nhập xe không quá 4 tỉ đồng thì của hàng cần nhập m chiếc xe loại A và n chiếc xe loại B. Khi đó m + n bằng bao nhiêu?

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Lý thuyết Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10

Giáo án điện tử Bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10

Giáo án Bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10

Giải Toán 10 Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải sbt Toán 10 Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn