Lý thuyết Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất lớp 10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

1. Biến cố

- Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện.

- Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Không gian mẫu của phép thử được kí hiệu là Ω.

- Kết quả thuận lợi cho một biến cố E liên quan tới phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra.

Chú ý: Ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả.

Ví dụ: Trong một túi gồm ba quả bóng: màu đỏ, màu xanh, màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra một quả bóng. Phép thử ngẫu nhiên ở đây là gì? Mô tả không gian mẫu.

Hướng dẫn giải

Phép thử ngẫu nhiên ở đây là lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong túi.

Khi lấy ngẫu nhiên ra một quả bóng thì có các kết quả có thể là: lấy được quả bóng màu đỏ hoặc quả bóng màu xanh, hoặc quả bóng màu vàng.

Vậy không gian mẫu là Ω = {bóng màu đỏ, bóng màu xanh, bóng màu vàng}.

- Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu Ω. Tập con này là tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.

- Biến cố chắc chắn là tập Ω, biến cố không thể là tập ∅.

- Biến cố đối của biến cố E là biến cố “E không xảy ra”.

Biến cố đối của E được kí hiệu là $\overline{E}$.

Nhận xét: Nếu biến cố E là tập con của không gian mẫu Ω thì biến cố đối $\overline{E}$ là tập hợp tất cả cá phần tử của Ω mà không là phần tử của E. Vậy biến cố $\overline{E}$ là phần bù của E trong Ω: $\overline{E}$ = C_ΩE.

Ví dụ: Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất.

a) Không gian mẫu ở đây là gì?

b) Gọi A là biến cố “Số chấm xuất hiện là số lẻ”. Biến cố A là tập con nào của không gian mẫu.

c) Tìm biến cố đối của biến cố A.

Hướng dẫn giải

a) Khi gieo con xúc xắc cân đối, đồng chất thì có 6 khả năng có thể xảy ra, đó là xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 (chấm).

⇒ Không gian mẫu của phép thử là Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Vậy Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

b) A là biến cố “Số chấm xuất hiện là số lẻ”.

Khi đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố A là 1; 3; 5.

⇒ A = {1; 3; 5} ⊂ Ω.

Vậy A = {1; 3; 5}.

c) Biến cố A: “Số chấm xuất hiện là số lẻ” không xảy ra khi số chấm xuất hiện là số chẵn.

⇒ Biến cố đối của A là $\overline{A}$: “Số chấm xuất hiện là số chẵn”.

Các kết quả thuận lợi cho $\overline{A}$ là: 2 ; 4 ; 6.

⇒ $\overline{A}$ = {2 ; 4 ; 6} ⊂ Ω.

Vậy biến cố đối của biến cố A là $\overline{A}$: “Số chấm xuất hiện là số chẵn” và $\overline{A}$ = {2; 4; 6}.

2. Định nghĩa cổ điển của xác suất

* Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω. Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng. Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởi công thức.

P(E) = $\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}$, trong đó n(Ω) và n(E) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E.

Nhận xét:

+ Với mỗi biến cố E, ta có 0 ≤ P(E) ≤ 1.

+ Với mỗi biến cố chắc chắn (là tập Ω), ta có P(Ω) = 1.

+ Với mỗi biến cố không thể (là tập ∅), ta có P(∅) = 0.

Ví dụ:Trong phép thử gieo hai con xúc xắc, tính xác suất của các biến cố sau? Hãy nhận xét về hai biến cố đó.

A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13”;

B: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 13”.

Hướng dẫn giải

Khi gieo mỗi con xúc xắc thì kết quả có thể là xuất hiện mặt 1, 2, …, 6 chấm.

Các kết quả có thể của phép thử là cặp số (i; j), trong đó i, j lần lượt là mặt i chấm, j chấm xuất hiện.

Khi đó, ta có không gian mẫu của phép thử gieo hai con xúc xắc là:

Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}.

⇒ n(Ω) = 36.

- Ta thấy tất cả các kết quả có thể trong không gian mẫu đều có tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13.

Do đó, tất cả các kết quả có thể trong không gian mẫu đều thuận lợi cho biến cố A : “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13”.

⇒A = Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5); (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}.

⇒ n(A) = n(Ω) =36.

⇒P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$= 1.

⇒Biến cố A là biến cố chắc chắn.

- Ta thấy tổng số chấm của hai con xúc xắc luôn nhỏ hơn hoặc bằng 12 nên không có kết quả có thể nào trong không gian mẫu thuận lợi cho biến cố B : “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 13”.

Do đó, có 0 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

⇒B = ∅

⇒n(B) = 0 ⇒P(B) =$\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}$= 0.

⇒ Biến cố B là biến cố không thể.

Vậy biến cố A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13” có xác suất bằng 1 và biến cố A là biến cố chắc chắn.

Biến cố B: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 13” có xác suất bằng 0 và biến cố B là biến cố không thể.

Chú ý: Trong những phép thử đơn giản, ta đếm số phần tử của tập Ω và số phần tử của biến cố E bằng cách liệt kê ra tất cả các phần tử của hai tập hợp này.

Ví dụ: Lấy ngẫu nhiên một trong các số nguyên dương lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Tính xác suất của biến cố B: “Số lấy ra là số chẵn”.

Hướng dẫn giải

Lấy ngẫu nhiên một trong các số nguyên dương lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100, tức là lấy ngẫu nhiên một số trong tập hợp {11; 12; 13; …;99}.

⇒ Không gian mẫu của phép thử là Ω = {11; 12; 13; …;99}.

⇒ n(Ω) = 99 – 11 + 1 = 89.

B là biến cố “Số lấy ra là số chẵn”.

Khi đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 12; 14; 16; …; 98.

⇒ B = {12; 14; 16; …; 98}.

⇒ n(B) = $\frac{98-12}{2}+1$ = 44.

⇒ P(B) =$\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}$=$\frac{44}{89}$.

Vậy xác suất của biến cố B: “Số lấy ra là số chẵn” là $\frac{44}{89}$.

3. Nguyên lý xác suất bé

- Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Chú ý: Trong thực tế, xác suất của một biến cố được coi là bé phụ thuộc vào từng trường hợp cụ thể. Chẳng hạn, xác suất của một chiếc điện thoại bị lỗi kĩ thuật là 0,001 được coi là rất bé, nhưng nếu xác suất cháy nổ động cơ của một máy bay là 0,001 thì xác suất này không được coi là bé.

Ví dụ: Xác suất để một bình gas bị chảy nổ là 0,002 thì không thể coi là bé. Nhưng nếu xác suất để tàu về ga chậm là 0,002 thì có thể xem là tàu về ga đúng giờ.

B. Bài tập Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Với E là một biến cố của phép thử T. Khẳng định nào sau đây là không đúng?

A. 0 ≤ P(E) ≤ 1;

B. P(Ω) = 1 ;

C. P(∅) = 1;

D. P(E) = $\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}$ .

Câu 2. Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên:

A. Gieo đồng xu để xem xuất hiện mặt ngửa hay mặt sấp;

B. Gieo đồng xu để xem xuất hiện mặt ngửa xuất hiện bao nhiêu lần;

C. Chọn 1 học sinh bất kì trong lớp và xem kết quả là nam hay nữ;

D. Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm có tất bao nhiêu viên bi.

Câu 3. Viết tập hợp Ω là không gian mẫu trong trò chơi tung đồng xu hai lần liên tiếp.

A. Ω = {SS; SN; NS; NN};

B. Ω = {SS; SN; NS };

C. Ω = {SS; NS; NN};

D. Ω = {SS; SN; NN}.

Câu 4. Gieo một xúc xắc 2 lần . Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất 1 mặt 6 chấm

A. A = {(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6)};

B. A = {(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)};

C. A = {(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4),

(6; 5)};

D. A = {(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)}.

Câu 5. Xác định số phần tử của không gian mẫu các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của một xúc xắc sau 3 lần gieo

A. 36;

B. 216;

C. 18;

D. 108.

2. Bài tập tự luận

Bài 1 : Tổ 2 của lớp 10B có 5 bạn nữ là Hương, Nga, Hạnh, Lam, Vân và 4 bạn nam là Quân, Long, Nam, Lâm. Giáo viên muốn chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong tổ để đi tập văn nghệ. Phép thử ngẫu nhiên ở đây là gì ? Mô tả không gian mẫu.

Hướng dẫn giải

Tổ 2 của lớp 10B này có 5 bạn nữ và 4 bạn nam, nên tổ 2 có 5 + 4 = 9 bạn.

Phép thử ngẫu nhiên là chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ để đi tập văn nghệ.

Không gian mẫu là tập hợp tất cả học sinh trong tổ.

Ta có Ω= {Hương, Nga, Hạnh, Lam, Vân, Quân, Long, Nam, Lâm}.

Vậy phép thử ngẫu nhiên là chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ để đi tập văn nghệ.

Không gian mẫu là Ω= {Hương, Nga, Hạnh, Lam, Vân, Quân, Long, Nam, Lâm}.

Bài 2 : Có hai hộp chứa các quả bóng được đánh số. Hộp thứ nhất có bốn quả bóng được đánh số lần lượt từ 1 đến 4. Hộp thứ hai có 5 quả bóng được đánh số lần lượt từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 quả bóng. Tính xác suất để tổng hai số trên hai quả bóng không nhỏ hơn 7.

Hướng dẫn giải

Vì khi lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 quả bóng thì hộp thứ nhất có thể 4 kết quả có thể; hộp thứ hai có 5 kết quả có thể.

Kết quả có thể của phép thử là cặp số (i, j), trong đó i, j lần lượt là số ghi trên bóng lấy được trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai.

Khi đó, ta có bảng mô tả không gian mẫu Ω như sau:

Mỗi ô trong bảng là một kết quả có thể. Có 20 ô, do đó n(Ω)= 20.

Gọi A là biến cố: “Tổng hai số trên hai quả bóng không nhỏ hơn 7”.

Khi đó, các kết quả thuận lợi cho A là: (2,5); (3,4); (4,3); (3,5); (4,4); (4,5).

⇒ A = {(2,5); (3,4); (4,3); (3,5); (4,4); (4,5)}.

⇒ n(A) = 6.

⇒P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$.

Vậy xác suất để tổng hai số trên hai quả bóng không nhỏ hơn 7 là $\frac{3}{10}$.

Bài 3: Gieo lần lượt ba đồng xu cân đối và đồng chất.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Biến cố A: “Hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa”;

Tìm biến cố đối $\overline{A}$, và tính xác suất của A, $\overline{A}$.

Hướng dẫn giải

a) Gọi S, N lần lượt là mặt sấp và mặt ngửa của đồng xu.

Khi gieo lần lượt ba đồng xu ta có các kết quả có thể là: SSS; SSN; SNN; NNN; NNS; NSS; SNS; NSN.

⇒ Không gian mẫu Ω = {SSS; SSN; SNN; NNN; NNS; NSS; SNS; NSN}.

⇒n(Ω)= 8.

Vậy không gian mẫu Ω = {SSS; SSN; SNN; NNN; NNS; NSS; SNS; NSN}.

b) Xét biến cố A: “Hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: SNN; NNS; NSN.

⇒ A = {SNN; NNS; NSN}.

⇒ n(A) = 3

P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{3}{8}$

Biến cố A không xảy ra khi hai đồng xu không xuất hiện mặt ngửa, tức là chỉ có 1 đồng xu xuất hiện mặt ngửa, hoặc không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa hoặc cả ba đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa.

Khi đó $\overline{A}$: “Có 1 đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa hoặc cả ba đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa”.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline{A}$ là: SSS; SSN; NNN; NSS; SNS.

⇒ $\overline{A}$= {SSS; SSN; NNN; NSS; SNS}

⇒n($\overline{A}$) = 5

P($\overline{A}$) = $\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{5}{8}$.

Vậy biến cố đối của biến cố A là: $\overline{A}$: “Có 1 đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa hoặc cả ba đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa”.

Xác suất của biến cố A là $\frac{3}{8}$, xác suất của biến cố $\overline{A}$ là $\frac{5}{8}$.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Câu 1. Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần thì số phần tử của không gian mẫu n(Ω) là

A. 4;

B. 6;

C. 8;

D. 16.

Câu 2. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là?

A. 6;

B. 12;

C. 18;

D. 36.

Câu 3. Rút một lá bài từ bộ bài gồm 52 lá. Xác suất để được lá bích là

A. $\frac{1}{13}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{12}{13}$

D. $\frac{3}{4}$

Câu 4. Gieo một đồng xu và một con xúc xắc cân đối đồng chất một lần. Số phần tử của không gian mẫu là:

A. 24

B. 12

C. 6

D. 8

Câu 5. Gieo đồng xu cân đối đồng chất hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần là:

A. 2

B. 4

C. 5

D. 6

Câu 6. Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8. Số phần tử của biến cố A là:

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Câu 7. Gieo hai con xúc xắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là:

A. $\frac{13}{36}$

B. $\frac{11}{36}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{6}$

Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất chọn được số lớn hơn 2500 là:

A. $\frac{13}{68}$

B. $\frac{55}{68}$

C. $\frac{68}{81}$

D. $\frac{13}{81}$

Câu 9. Có 2 học sinh nam và 6 học sinh nữ, xếp thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên. Xác định số phần tử của biến cố A “Hai học sinh nam luôn đứng cạnh nhau”

A. 8!

B. 120

C. 10080

D. 720

Câu 10. Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{5}{6}$

Câu 11. Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng. Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát.

A. $\frac{1}{16}$

B.$\frac{1}{32}$

C. $\frac{3}{32}$

D.$\frac{3}{64}$

Câu 12. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần. Tính xác suất của biến cố A: “Kết quả của 3 lần gieo là như nhau”

A.$\frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{8}$

C. $\frac{7}{8}$

D. $\frac{1}{4}$

Câu 13. Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để lấy được số chia hết chia hết cho 3?

A. $\frac{2}{9}$

B. $\frac{3}{10}$

C.$\frac{1}{5}$

D. $\frac{1}{3}$

Câu 14. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 1 lần. Gọi A là biến cố “mặt có chấm lẻ xuất hiện”. Biến cố đối của biến cố A là

A. $\overline{A}$= {1; 3; 5}

B.$\overline{A}$ = {4; 5; 6}

C. $\overline{A}$ = {1; 2; 3}

D. $\overline{A}$= {2; 4; 6}

Câu 15. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tổng số chấm của hai lần gieo nhỏ hơn 6.

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{5}{18}$

D.$\frac{7}{18}$

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Câu hỏi. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần.

a) Số phần tử của không gian mẫu là 36.

b) Số phần tử của biến cố “Tổng số chấm của hai lần gieo lớn hơn 6” bằng 5.

c) Số phần tử của biến cố “Tích số chấm của hai lần gieo không nhỏ hơn 25” bằng 8.

d) Số phần tử của biến cố “Tổng số chấm của hai lần gieo chia hết cho 2” bằng 2.

Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp. Xác suất của biến cố “Tích số chấm trong hai lần gieo là số chẵn” bằng $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $a\cdot b$.

Câu 2. Gieo một con xúc xắc. Tính xác suất để số chấm xuất hiện là số nguyên tố.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 23: Quy tắc đếm

Lý thuyết Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Lý thuyết Bài 25: Nhị thức Newton

Lý thuyết Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Tổng hợp lý thuyết Chương 9

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất lớp 10

Giáo án điện tử Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất lớp 10

Giáo án Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất lớp 10

Giải Toán 10 Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Giải sbt Toán 10 Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất