Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ khác $\overrightarrow{0}$. Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, kí hiệu là ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$).

Chú ý :

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{0}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = 90° thì ta nói rằng $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau. Kí hiệu $\overrightarrow{u}$ ⊥ $\overrightarrow{v}$ hoặc $\overrightarrow{v}$ ⊥ $\overrightarrow{u}$. Đặc biệt được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A và $\hat{B}=30°$. Tính $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$.

Hướng dẫn giải

Ta có $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ = $\widehat{BAC}=90°$.

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có .

$\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90°\Rightarrow \widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}=90°-30°=60°$

Suy ra: $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\widehat{ACB}=60°$.

Vẽ $\overrightarrow{BD}$ sao cho $\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{AB}$. Khi đó $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$ = $(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC})$ = $\widehat{CBD}$.

Mặt khác $\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{CBD}=180°-\widehat{ABC}=180°-30°=150°$.

Do đó, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$ = $\widehat{CBD}$ = 150°.

Vậy $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ = 90°, $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$ = 60°, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$ = 150°.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$, được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = |$\overrightarrow{u}$|.|$\overrightarrow{v}$|.cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$)

Chú ý:

+) $\overrightarrow{u}$ ⊥ $\overrightarrow{v}$ ⇔ $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = 0.

+) $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{u}$ còn được viết là ${\overrightarrow{u}}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{u}$.

Ta có ${\overrightarrow{u}}^2=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|.\cos 0°={\left(\overrightarrow{u}\right)}^2$.

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$;

b) $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác ABC đều nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=60°$.

Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\mathrm{2.2.}\cos 60°=\mathrm{2.2.}\frac{1}{2}=2$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 2.

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó $(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC})=90°$.

Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|\cos (\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC})=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|\cos 90°=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.0=0$.

Vậy $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$ = 0.

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}=(x;y)$ và $\overrightarrow{v}=(x\text{'};y\text{'})$ được tính theo công thức :

$\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = x.x' + y.y'.

Nhận xét:

+ Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x.x' + y.y' = 0.

+ Bình phương vô hướng của $\overrightarrow{u}=(x;y)$ là ${\overrightarrow{u}}^2$ = x² + y².

+ Nếu $\overrightarrow{u}$ ≠ $\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{v}$ ≠ $\overrightarrow{0}$ thì cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = $\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{xx\text{'}+yy\text{'}}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}}$.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=(0;-5)$ và $\overrightarrow{v}=(\sqrt{3};1)$ .

a) Tính tích vô hướng của hai vectơ trên.

b) Tìm góc giữa của hai vectơ trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = 0.$\sqrt{3}$ + (–5).1= –5;

Vậy $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = –5.

b) Ta có $|\overrightarrow{u|}=\sqrt{0^2+{(-5)}^2}=5$; $\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}=2$

Suy ra : cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = $\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{-5}{5.2}=\frac{-5}{10}=\frac{-1}{2}$.

Suy ra ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = 120°.

Vậy ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = 120°.

• Tính chất của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{\text{w}}$ bất kì và mọi số thực k, ta có :

+) $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{v}$. $\overrightarrow{u}$ (tính chất giao hoán);

+) $\overrightarrow{u}$. ($\overrightarrow{v}$ + $\overrightarrow{\text{w}}$) = $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ + $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{\text{w}}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng) ;

+) (k $\overrightarrow{u}$). $\overrightarrow{v}$ = k ($\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$) = $\overrightarrow{u}$.( k$\overrightarrow{v}$).

Chú ý: Từ tính trên, ta có thể chứng minh được :

$\overrightarrow{u}$. ($\overrightarrow{v}$ – $\overrightarrow{\text{w}}$)= $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ – $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{\text{w}}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

($\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$)² = ${\overrightarrow{u}}^2$ + 2$\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ + ${\overrightarrow{v}}^2$; ($\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$)² = ${\overrightarrow{u}}^2$ –2$\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$ + ${\overrightarrow{v}}^2$;

($\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$).($\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$) = ${\overrightarrow{u}}^2$ – ${\overrightarrow{v}}^2$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta có:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MA}.(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB};$(1)

$\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{MB}.(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC};$ (2)

$\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MC}.(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA})=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$. (3)

Cộng các kết quả từ (1), (2), (3), ta được: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0$

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0$.

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.\left(-1\right)+\left(-1\right).1=-1+\left(-1\right)=-2\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó A sai.

Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}=1.2+1.0=2+0=2\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{n},\overrightarrow{k}$ không vuông góc. Do đó B sai.

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2.4+3.6=8+18=26\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không vuông góc. Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow{z}.\overrightarrow{t}=a.\left(-b\right)+b.a=-ab+ab=0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{z},\overrightarrow{t}$ vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

Câu 2. Góc giữa vectơ $\overrightarrow{a}\left(-1;-1\right)$ và vecto $\overrightarrow{b}\left(-1;0\right)$ có số đo bằng:

A. 90°.

B. 0°.

C. 135°.

D. 45°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(-1\right).\left(-1\right)+\left(-1\right).0=1,$ $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2},$ $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+0^2}=1.$

$\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=45°.$

Vậy góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là 45°.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a và A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a$\sqrt{2}$ .

B2. Bài tập tự luận

Câu 4: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(1;-2);\overrightarrow{b}=(-1;-3)$.

a) Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

b) Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{a}$ .$\overrightarrow{b}$ = 1.(–1) + (–2).(–3) = 5.

Vậy $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ = 5.

b) Ta có $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+{(-2)}^2}=\sqrt{5}$; $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{(-1)}^2+{(-3)}^2}=\sqrt{10}$.

Khi đó cos($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$) = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{5}{\sqrt{5}.\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra ($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ ) = 45°.

Vậy góc giữa hai vectơ và là 45°.

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) và B(1; 1). Tìm tọa độ của điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm C cần tìm có tọa độ (x; y). Để tam giác ABC vuông cân tại B ta phải có:

$\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\\ \left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\end{array}\right)$

Ta có $\overrightarrow{BA}=(1;3)$ và $\overrightarrow{BC}=(x-1;y-1)$.

Khi đó $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=1.(x-1)+3(y-1)=x+3y-4$.

Và $\left|\overrightarrow{BA}\right|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$; $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-1)}^2}$

Ta có: $\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\\ \left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\end{array}\right)$

⇔ $\left(\begin{array}{c}x+3y-4=0\\ \sqrt{10}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-1)}^2}\end{array}\right)$

⇔ $\left(\begin{array}{c}x+3y-4=0\\ \sqrt{10}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-1)}^2}\end{array}\right)$

⇔ $\left(\begin{array}{c}x+3y-4=0\\ 10={(x-1)}^2+{(y-1)}^2\end{array}\right)$

⇔ $\left(\begin{array}{c}x=4-3y\\ {(3-3y)}^2+{(y-1)}^2=10\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=4-3y\\ 10y^2-20y=0\end{array}\right)$

⇔ $\left(\begin{array}{c}x=4-3y\\ \left(\begin{array}{c}y=0\\ y=2\end{array}\right)\end{array}\right)$ ⇔ $\left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}x=4\\ y=0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x=-2\\ y=2\end{array}\right)\end{array}\right)$

Vậy có hai điểm C và C’ thỏa mãn điều kiện của bài toán: C(4; 0) và C’(–2; 2).

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\overrightarrow{a}\left(1;-1\right)$ và $\overrightarrow{b}\left(-1;1\right)$.

B. $\overrightarrow{n}\left(1;1\right)$ và $\overrightarrow{k}\left(2;0\right)$.

C. $\overrightarrow{u}\left(2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}\left(4;6\right)$.

D. $z\left(a;b\right)$ và $\overrightarrow{t}\left(-b;a\right)$.

Câu 2. Góc giữa vectơ $\overrightarrow{a}\left(-1;-1\right)$ và vecto $\overrightarrow{b}\left(-1;0\right)$ có số đo bằng:

A. 90°.

B. 0°.

C. 135°.

D. 45°.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a và A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)={45}^0.$

B. $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)={45}^0$ và $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=a^2.$

C. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a^2\sqrt{2}.$

D. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=-a^2.$

Câu 4. Khi nào thì hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc?

A. $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = 1;

B. $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = - 1;

C. $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = 0;

D. a.b = -1.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-1; 3), B(0; 4) và C(2x – 1; 3x²). Tổng các giá trị của x thỏa mãn $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2$

A. $\frac{-2}{3}$;

B. $\frac{-8}{3}$;

C. $\frac{-5}{3}$;

D. 1.

Câu 6. Khi nào tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương.

A. Khi góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một góc tù;

B. Khi góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc bẹt;

C. Khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ bằng 0⁰;

D. Khi góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Câu 7. Khi nào thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2?$

A. $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ = 0;

B. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là 0° hoặc 180°;

C. $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ = 1;

D. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là 90°.

Câu 8. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ theo a, b, c.

A. $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$;

B. $\frac{b^2+c^2-a^2}{4}$;

C. $b^2+c^2-a^2$;

D. $\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$

Câu 9. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}\left(1;-3\right),\overrightarrow{v}\left(\sqrt{7};-2\right)$là k. Nhận xét nào sau đây đúng về giá trị của k.

A. k chia hết cho 2;

B. k là một số hữu tỉ;

C. k là một số nguyên dương;

D. k là một số vô tỉ.

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong trường hợp $\overrightarrow{a}\left(3;1\right),\overrightarrow{b}\left(2;4\right)$.

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Câu 11. Cho đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Với điểm M bất kì, khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=$ MI² + IA²;

B. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=$ MI² + 2 IA²;

C. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=$ MI² – IA²;

D. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=$ 2MI² + IA².

Câu 12. Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. 11,4;

B. 6,7;

C. 5,7;

D. 9.

Câu 13. Tìm điều kiện của $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ để $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.$

A. $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là hai vectơ ngược hướng;

B. $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là hai vectơ cùng hướng;

C. $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là hai vectơ vuông góc;

D. $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là hai vectơ trùng nhau.

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; -3), B(5; 2). Tìm điểm M thuộc tia Oy để góc $\widehat{AMB}={90}^0.$

A. $M\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2};0\right)$;

B. $M\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2};0\right)$;

C. $M\left(0;\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)$;

D. $M\left(0;\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)$.

Câu 15. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Với điểm M bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?

A. MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC²;

B. MA² + MB² + MC² = 3MG²;

C. MA² + MB² + MC² = 3MG² + (GA + GB + GC)²;

D. MA² + MB² + MC² = 0.

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-3;1), B(2;4), C(2;-2). Gọi H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC. Tính S = 5x + y.

A. $\frac{6}{5}$;

B. $\frac{26}{5}$;

C. 2;

D. 6.

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho hình chữ nhật $ABCD,AB=4a,AD=3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ACM$.

a)$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}$.

b)$\overrightarrow{BG}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

c)$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$.

d)$\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=-a^2.$

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Biết $\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=2$ và $\left|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right|$.

Tính $\left|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right|$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\hat{B}=30°,AC=2$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Tính giá trị của biểu thức $P=\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}.$

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Tổng hợp lý thuyết Chương 4

Lý thuyết Bài 12: Số gần đúng và sai số

Lý thuyết Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Lý thuyết Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

Tổng hợp lý thuyết Chương 5

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

Giáo án điện tử Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

Giáo án Tích vô hướng của hai vectơ lớp 10

Giải Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Giải sbt Toán 10 bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ