Lý thuyết Nhị thức Newton lớp 10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Nhị thức Newton

Nhận xét: Các tích nhận được từ sơ đồ hình cây của một tích các đa thức giống như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi đa thức rồi nhân lại với nhau. Tổng của chúng cho ta khai triển của tích các đa thức đã cho.

Ví dụ: Sơ đồ hình cây của khai triển: (a + b)⁴

Ta có: (a + b)⁴ = (a + b).(a + b).(a + b).(a + b)

+ Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ nhất là a và b.

+ Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai là a và b.

+ Làm tương tự cho đến nhị thức thứ tư.

+ Tại ngọn của mũi tên xây dựng tại bước cuối cùng, ta ghi lại các tích của các nhãn của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

Nhị thức Newton:

Ví dụ:

a) Khai triển (1 + x)⁴ ;

b) Khai triển (2x – 3)⁵.

Hướng dẫn giải

a) Ta có :

(1 + x)⁴ = $C_4^0$1⁴ + $C_4^1$1³.x + $C_4^2$1²x² + $C_4^3$1.x³ + $C_4^4$>x⁴

= 1⁴ + 4.1³x + 6.1².x² + 4.1.x³ + x⁴

= 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴.

Vậy (1 + x)⁴ = 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴.

b) Ta có :

(x + 3)⁵ = $C_5^0$x⁵ + $C_5^1$x⁴.3 + $C_5^2$x³.3² + $C_5^3$>x².3³ + $C_5^4$x.3⁴ + $C_5^5$3⁵

= x⁵ + 5x⁴.3 + 10x³.3² + 10x².3³ + 5x.3⁴ + 3⁵

= x⁵ + 15x⁴ + 90x³ + 270x² + 405x + 243.

Nhận xét: Các công thức khai triển (a + b)ⁿ với n ∈ {4 ; 5}, là một công cụ hiệu quả để tính chính xác hoặc xấp xỉ một số đại lượng mà không cần dùng máy tính.

Ví dụ: Dùng hai số hạng đầu của khai triển (1 + 0,02)⁵ để tính giá trị gần đúng của 1,02⁵.

Hướng dẫn giải

Ta có: (1 + 0,02)⁵ = 1⁵ + 5.1⁴. 0,02 + 10.1³.0,02² + 10.1².0,02³ + 5.1.0,02⁴ + 0,02⁵

= 1 + 0,1 + 10.1³.0,02² + 10.1².0,02³ + 5.1.0,02⁴ + 0,02⁵.

Vì 1 + 0,1 = 1,1 nên (1 + 0,02)⁵ ≈ 1,1, tức là 1,02⁵ ≈ 1,1.

Vậy 1,02⁵ ≈ 1,1.

B. Bài tập Nhị thức Newton

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Khai triển (a + b)⁵ có tất cả bao nhiêu số hạng

A. 4;

B. 5;

C. 6;

D. 7.

Câu 2. Cho khai triển (x + 3)⁵ = x⁵ + 15x⁴ + 90x³ + 270x² + 405x + 243. Tổng các hệ số của khai triển đã cho là:

A. 987;

B. 784;

C. 1000;

D. 1024.

Câu 3. Ta có khai triển đa thức: (x – 1)⁴ = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1. Hệ số của hạng tử có chứa x³ là:

A. 4;

B. – 4;

C. 6;

D. – 6

Câu 4. Khai triển đa thức (x + 3)⁴

A. x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1;

B. x⁴ + 12x³ + 54x² + 108x + 81;

C. x⁴ + 5x³ + 10x² + 5x + 81;

D. x⁴ − 12x³ + 54x² − 108x + 81.

Câu 5. Khai triển đa thức: (2x - 1)⁴

A. 16x⁴ − 32x³ + 24x² − 8x + 1;

B. 16x⁴ + 32x³ + 24x² + 8x + 1;

C. 16x⁴ − 32x³ + 24x² + 8x + 1;

D. 16x⁴ + 32x³ + 24x² − 8x + 1.

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Khai triển các đa thức sau:

a) (2x – 1)⁴ ;

b) (x + 4)⁵ + (x – 4)⁵.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: (2x – 1)⁴ = (2x)⁴ + 4(2x)³.(–1) + 6(2x)².(–1)² + 4.2x.(–1)³ + (–1)⁴.

= 16x⁴ – 32x³ + 24x² – 8x + 1.

Vậy : (2x – 1)⁴ = 16x⁴ – 32x³ + 24x² – 8x + 1.

b) Ta có:

(x + 4)⁵ + (x – 4)⁵ = [x⁵ + 5x⁴.4 + 10.x³.4² + 10.x².4³ + 5.x.4⁴ + 4⁵] + [x⁵ + 5x⁴.(–4) + 10.x³.(–4)² + 10.x².(–4)³ + 5.x.(–4)⁴ + (–4)⁵]

= [x⁵ + 20x⁴ + 160x³ + 640x² + 1280x + 1024] + [x⁵ – 20x⁴ + 160x³ – 640x² + 1280x –1024]

= x⁵ + 20x⁴ + 160x³ + 640x² + 1280x + 1024 + x⁵ – 20x⁴ + 160x³ – 640x² + 1280x –1024 = 2x⁵ + 320x³ + 2560x.

Vậy (x + 4)⁵ + (x – 4)⁵ = 2x⁵ + 320 x³ + 2560x.

Bài 2 :

a) Dùng hai số hạng đầu của khai triển (2 + 0,01)⁴ để tính giá trị gần đúng của 2,01⁴.

b) Dùng máy tính cầm tay để tính giá trị của 2,01⁴ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:(2 + 0,01)⁴ = 2⁴ + 4.2³.0,01 + 6.2².0,01² + 4.2.0,01³ + 0,01⁴

= 16 + 0,32 + 6.2².0,01² + 4.2.0,01³ + 0,01⁴

Vì 16 + 0,32 = 16,32 nên (2 + 0,01)⁴ ≈ 16,32, tức là 2,01⁴ ≈ 16,32.

Vậy 2,01⁴ ≈ 16,32.

b) Dùng máy tính cầm tay ta tính được giá trị của 2,01⁴ = 16,32240801....

Ta có: 16,32 < 2,01⁴ <16,33

Suy ra: |16,32 – 2,01⁴| < |16,33 – 16, 32| = 0,01.

Vậy với giá trị gần đúng 16,32 thì sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton

Câu 1. Trong khai triển nhị thức (a + 2)^{n + 6} (n $\in$ ℕ). Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng

A. 17;

B. 11;

C. 10;

D. 12.

Câu 2. Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + b)⁷ bằng

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Câu 3. Biểu thức $C_9^7$5x)²(-6y²)⁷ là một số hạng trong khai triển nhị thức nào dưới đây

A. (5x – 6y)⁵

B. (5x – 6y²)⁷

C. (5x – 6y²)⁹

D. (5x – 6y²)¹⁸

Câu 4. Số hạng tử trong khai triển (2x + y)⁶ bằng

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

Câu 5. Hệ số của x⁷ trong khai triển của (3 – x)⁹ là

A. 36;

B. 324;

C. - 324;

D. – 36.

Câu 6. Hệ số của x⁵ trong khai triển (1 + x)¹² bằng

A. 820;

B. 210;

C. 792;

D. 220.

Câu 7. Trong khai triển nhị thức (2a – 1)⁶ ba số hạng đầu là:

A. 2a⁶ – 6a⁵ + 15a⁴;

B. 2a⁶ – 12a⁵ + 30a⁴;

C. 64a⁶ – 192a⁵ + 480a⁴;

D. 64a⁶ – 192a⁵ + 240a⁴.

Câu 8. Khai triển nhị thức (2x + y)⁵ ta được kết quả là:

A. 32x⁵ + 16x⁴y + 8x³y² + 4x²y³ + 2xy⁴ + y⁵

B. 32x⁵ + 80x⁴y + 80x³y² + 40x²y³ + 10xy⁴ + y⁵

C. 2x⁵ + 10x⁴y + 20x³y² + 20x²y³ + 10xy⁴ + y⁵

D. 32x⁵ + 10000x⁴y + 80000x³y² + 400x²y³ + 10xy⁴ + y⁵

Câu 9. Trong khai triển (3x – y)⁷ số hạng chứa x⁴y³ là:

A. – 2835x⁴y³

B. 2835x⁴y³

C. 945x⁴y³

D. – 945x⁴y³

Câu 10. Trong khai triển ${\left(x+\frac{8}{x^2}\right)}^9$ số hạng không chứa x là:

A. 4308

B. 86016

C. 84

D. 43008

Câu 11. Trong khai triển (2x – 1)¹⁰ hệ số của số hạng chứa x⁸ là:

A. – 11520

B. 45

C. 256

D. 11520

Câu 12. Khai triển nhị thức (2x + 3)⁴ ta được kết quả là

A. x⁴ + 216x³ + 216x² + 96x + 81

B. 16x⁴ + 216x³ + 216x² + 96x + 81

C. 16x⁴ + 96x³ + 216x² + 216x + 81

D. x⁴ + 96x³ + 216x² + 216x + 81

Câu 13. Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90. Giá trị của n là

A. n = 5

B. n = 8

C. n = 6

D. n = 7

Câu 14. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^n$$A_n^2-C_n^2=105$

A. – 3003

B. – 5005

C. 5005

D. 3003

Câu 15. Với n là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^1+C_n^2=55$ hệ số của x⁵ trong khai triển của biểu thức ${\left(x^3+\frac{2}{x^2}\right)}^n$bằng

A. 8064

B. 3360

C. 8440

D. 6840

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Câu hỏi. Khai triển ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^4$. Khi đó:

a) Hệ số của $x^2$ là $\frac{1}{4}$.

b) Số hạng không chứa x là 6.

c) Hệ số của $x^4$ là 1.

d) Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.

Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^6$ trong khai triển ${\left(3x^3-2\right)}^5.$

Câu 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(x+\frac{1}{2x}\right)}^4$ với $x\ne 0.$

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 23: Quy tắc đếm

Lý thuyết Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Lý thuyết Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Lý thuyết Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Tổng hợp lý thuyết Chương 9

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Nhị thức Newton lớp 10

Giáo án điện tử Nhị thức Newton lớp 10

Giáo án Nhị thức Newton lớp 10

Giải Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton

GIải sbt Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton