Lý thuyết Phương trình đường thẳng - Toán 10 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

- Vectơ $\overrightarrow{n}$ khác $\overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.

Nhận xét:

+ Nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì $k\overrightarrow{n}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ: Cho hai điểm A(2; 1) và B(0; 4). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB}=(0-2;4-1)=(-2;3)$

Vì đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}=(-2;3)$.

Vậy vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB là $\overrightarrow{AB}(-2;3)$.

- Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x₀; y₀) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a;b)$. Khi đó M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0.

- Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0.

Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận $\overrightarrow{n}(a;b)$ là một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}(-1;3)$ là một vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải

Điểm A(1; 2) thuộc ∆ và $\overrightarrow{n}(-1;3)$ là một vectơ pháp tuyến của ∆.

Khi đó đường thẳng ∆ có phương trình là: – 1(x – 1) + 3(y – 2) = 0 hay – x + 3y – 5 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là – x + 3y – 5 = 0.

Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0.

+ Nếu b = 0 thì phương trình ∆ có thể đưa về dạng x = m (với m = $-\frac{c}{a}$) và ∆ vuông góc với Ox.

+ Nếu b ≠ 0 thì phương trình ∆ có thể đưa về dạng y = nx + p (với n = $-\frac{a}{b}$, p =$-\frac{c}{b}$ ).

Ví dụ:

a) Đường thẳng ∆: 2x + 3 = 0 là tập hợp những điểm M thỏa mãn 2x + 3 = 0, hay x = $-\frac{3}{2}$ .

b) Đường thẳng ∆: x + 4y – 2 = 0 là tập hợp những điểm M thỏa mãn x + 3y – 2 = 0, hay $y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$ .

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{u}$ khác $\overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét:

+ Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì $k\overrightarrow{u}$(k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

+ Vectơ $\overrightarrow{n}(a;b)$ vuông góc với các vectơ và $\overrightarrow{u}(-b;a)$ và $\overrightarrow{v}(b;-a)$ nên nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(2; 1) và B(–2; 3). Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2-2;3-1)=(-4;2)$

Khi đó giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ trùng với đường thẳng AB nên đường thẳng AB nhận vectơ $\overrightarrow{AB}(-4;2)$ là một vectơ chỉ phương.

Lấy $\overrightarrow{n}=(2;4)$ , khi đó $\overrightarrow{n}=(2;4)$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$.

Do đó $\overrightarrow{n}=(2;4)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

Vậy $\overrightarrow{AB}(-4;2)$ là vectơ chỉ phương, $\overrightarrow{n}=(2;4)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

- Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x₀; y₀) và có vectơ chỉ phương . Khi đó điểm M(x; y) thuộc đường thẳng ∆ khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}$, hay $\left(\begin{array}{c}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right)\text{(2)}$

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ (t là tham số).

Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(2;-1)$.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(2;-1)$ .

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:$\left(\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-3-t\end{array}\right)$

B. Bài tập Phương trình đường thẳng

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho đường thẳng (d): 2x + 3y – 4 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của (d)?

A. $\overrightarrow{n}=(2;3)$;         

B. $\overrightarrow{n}=(3;-2)$;     

C. $\overrightarrow{n}=(2;-3)$;    

D. $\overrightarrow{n}=(-2;3)$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có phương trình đường thẳng (d): 2x + 3y – 4 = 0

⇒ Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;3)$.

Câu 2. Cho đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}(-3;5)$. Vectơ nào dưới đây không phải là vectơ pháp tuyến của ∆.

A. $\overrightarrow{n_1}=(-3;5)$;               

B. $\overrightarrow{n_2}=(5;3)$;     

C. $\overrightarrow{n_3}=(-5;-3)$;

D. $\overrightarrow{n}\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}(-3;5)$ nên vectơ pháp tuyến là   $\overrightarrow{n}(5;3)$ hay là k  với k ∈ ℝ.

Ta có: $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{n},\overrightarrow{n_3}=-\overrightarrow{n},\overrightarrow{n_4}=\frac{1}{2}\overrightarrow{n}$. Do đó $\overrightarrow{n_2},\overrightarrow{n_3}$ và $\overrightarrow{n_4}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Do đó $\overrightarrow{n_1}$ không phải vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Vậy chọn đáp án A.

Câu 3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 3) và B(4; 1) là:

A. $\overrightarrow{u}(1;-1)$;           

B. $\overrightarrow{u}(6;-4)$;        

C. $\overrightarrow{u}(2;2)$;          

D. $\overrightarrow{u}(1;1)$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;-2)$

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:  $\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$(1;-1)$

Câu 4. Vectơ chỉ phương có giá:

A. Song song hoặc vuông góc với đường thẳng;               

B. Song song hoặc trùng nhau với đường thẳng;       

C. Vuông góc hoặc trùng nhau với đường thẳng;      

D. Cắt đường thẳng đã cho tại một điểm.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vectơ chỉ phương có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

Câu 5. Có bao nhiêu vectơ pháp tuyến của một đường thẳng?

A. 0; 

B. 1;

C. 2;

D. Vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Nếu là $\overrightarrow{n}$ vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì k$\overrightarrow{n}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M(2; –2) và N(0; 3).

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{NM}=(2-0;-2-3)=(2;-5)$

Đường thẳng đi qua hai điểm M và N có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{NM}(2;-5)$ .

Khi đó đường thẳng đi qua điểm N(0 ; 3) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{NM}(2;-5)$ có phương trình tham số là $\left(\begin{array}{c}x=2t\\ y=3-5t\end{array}\right)$

Vậy, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N là $\left(\begin{array}{c}x=2t\\ y=3-5t\end{array}\right)$:

Bài 2. Cho vectơ $\overrightarrow{n}(-5;2)$ và điểm A( $\frac{1}{2}$; 6). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến là .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A($\frac{1}{2}$ ; 6) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(-5;2)$ .

Khi đó ∆ có phương trình tổng quát là –5(x – $\frac{1}{2}$ ) + 2(y – 6) = 0, hay –5x + 2y – $\frac{19}{2}$ = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: –5x + 2y –$\frac{19}{2}$ = 0.

Bài 3. Cho tam giác PQR có P(–4; 1), Q(1; 3), R(2; 5).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ R của tam giác PQR.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{PQ}=(1+4;3-1)=(5;2)$

Đường cao của tam giác PQR kẻ từ R là đường thẳng đi qua điểm R(2 ; 5) và vuông góc với PQ. Do đó, nó nhận vectơ $\overrightarrow{PQ}(5;2)$ là một vectơ pháp tuyến.

Khi đó, phương trình tổng quát của đường cao này là: 5(x – 2) + 2(y – 5) = 0, hay 5x + 2y – 20 = 0.

Vậy đường cao kẻ từ R của tam giác PQR có phương trình tổng quát là: 5x + 2y – 20 = 0.

b) Gọi I là trung điểm của QR. Khi đó tọa độ của điểm I thỏa mãn:

$\left(\begin{array}{c}{x}_I=\frac{x_Q+x_R}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}\\ y_I=\frac{y_Q+y_R}{2}=\frac{3+5}{2}=4\end{array}\right)$

Suy ra I($\frac{3}{2}$ ; 4).

Ta có $\overrightarrow{PI}=(\frac{3}{2}+4;4-1)=(\frac{11}{2};3)$

Đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR chính là đường thẳng đi qua hai điểm P và I, tức là đường thẳng PI.

Do đó đường thẳng PI đi qua P(–4; 1), có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{PI}(\frac{11}{2};3)$.

Phương trình tham số của đương thẳng PI là $\left(\begin{array}{c}x=-4+\frac{11}{2}t\\ y=1+3t\end{array}\right)$: .

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR là: $\left(\begin{array}{c}x=-4+\frac{11}{2}t\\ y=1+3t\end{array}\right)$

Bài 4. Cho hai đường thẳng ∆₁: –x + 4y – 1 = 0 và ∆₂:$\left(\begin{array}{c}x=2+2t\\ y=-1+5t\end{array}\right)$

a) Viết phương trình tham số của ∆₁.

b) Viết phương trình tổng quát của ∆₂.

Hướng dẫn giải

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Lý thuyết Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Bài 22: Ba đường conic

Tổng hợp lý thuyết Chương 7

Lý thuyết Bài 23: Quy tắc đếm