Giải SBT Toán 10 trang 39 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 39 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 3.9 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có a = 4, $\widehat{C}=60°,$ b = 5.

a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác.

b) Tính diện tích của tam giác.

c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin cho DABC ta có:

c² = a² + b² – 2ab.cosC

$\Rightarrow$ c² = 4² + 5² – 2.4.5.cos60°

= 16 + 25 – 40. = 21.

$\Rightarrow$ c = $\sqrt{21}$

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Do đó:

• $\sin B=\frac{\sin C}{c}.b=\frac{\sin 60°}{\sqrt{21}}.5=\frac{5\sqrt{7}}{14}.$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx 70°{53}^{\text{'}}3{6^{\text{'}}}^{\text{'}}$

• $\sin A=\frac{\sin C}{c}.a=\frac{\sin 60°}{\sqrt{21}}.4=\frac{2\sqrt{7}}{7}.$

$\Rightarrow \widehat{A}\approx 49°6^{\text{'}}2{4^{\text{'}}}^{\text{'}}$

Vậy $c=\sqrt{21};\widehat{A}\approx 49°6^{\text{'}}2{4^{\text{'}}}^{\text{'}};\widehat{B}\approx 70°{53}^{\text{'}}3{6^{\text{'}}}^{\text{'}}.$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}.ab\sin C \\ =\frac{1}{2}\mathrm{.4.5.}\sin 60°=5\sqrt{3}. \end{gathered}$$

Vậy diện tích tam giác ABC bằng $5\sqrt{3}.$

c) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong phần Nhận xét của Ví dụ 3, trang 37, SBT, Toán 10, Tập một ta có:

$$\begin{gathered} m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4} \\ =\frac{5^2+{\left(\sqrt{21}\right)}^2}{2}-\frac{4^2}{4}=19. \end{gathered}$$

$\Rightarrow m_a=\sqrt{19}.$

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC bằng $\sqrt{19}$

Bài 3.10 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Một tàu cá xuất phát từ đảo A, chạy 50 km theo hướng N24°E đến đảo B để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng N36°W chạy tiếp 130 km đến ngư trường C.

a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát A đến C (làm tròn đến hàng đơn theo đơn vị đo kilômét).

b) Tìm hướng từ A đến C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

Lời giải:

Ba vị trí đảo A, đảo B và ngư trường C được mô tả như hình vẽ đưới đây:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{ABC}=\left(90°-24°\right)+\left(90°-36°\right) \\ =120° \end{gathered}$$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos$\widehat{ABC}$

= 50² + 130² – 2.50.130.$\left(\frac{-1}{2}\right)$ = 25 900

$\Rightarrow AC=10\sqrt{259}\approx 161\left(km\right)$ 

Vậy khoảng cách từ đảo A đến ngư trường C khoảng 161 km.

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}$

$\Rightarrow \sin \widehat{BAC}=\frac{\sin \widehat{ABC}}{AC}.BC$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sin \widehat{BAC}\approx \frac{\sin 120°}{161}.130 \\ \approx 0,699 \end{gathered}$$

$\Rightarrow \widehat{BAC}\approx 44°.$

Do đó AC có hướng chếch về hướng W một góc 44° – 24° = 22° so với hướng N.

Vậy từ A đến C có hướng N20°W.

Bài 3.11 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng N80°E với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng E20°S giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà. Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômet?

Lời giải:

Giả sử tàu du lịch xuất phát từ điểm A, chuyển động theo hướng N80°E tới B sau đó chuyển hướng E20°S tới điểm C như hình vẽ dưới đây.

Ta có: $\widehat{ABC}=180°-10°-20°=150°$

Tàu chạy từ A đến B với vận tốc 20 km/h trong 30 phút (= 0,5 giờ) nên:

AB = 20.0,5 = 10 (km).

Tàu chạy từ B đến C với vận tốc 20 km/h trong 36 phút (= 0,6 giờ) nên:

BC = 20.0,6 = 12 (km)

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta được:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos$\widehat{ABC}$

= 10² + 12² – 2.10.12.cos150°

= 100 + 144 – 240.$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ = 452 (km)

Suy ra $AC\approx \sqrt{452}\approx 21,26\left(km\right).$

Vậy khi tới đảo Cát Bà thì tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) khoảng 21,26 km.

Bài 3.12 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang. Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây 31 m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cây.

Lời giải:

Cây cổ thụ và con dốc được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Vì con dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang, người nhìn nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang nên ta có $\widehat{BAC}=40°-10°=30°.$

Và $\widehat{ACB}=90°-40°=50°$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}$

$\Rightarrow BC=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}.\sin \widehat{BAC}$

$\Rightarrow BC=\frac{31}{\sin 50°}.\sin 30°\approx 20,23\left(m\right)$

Vậy chiều cao của cây khoảng 20,23 m.

Bài 3.13 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\cot A+\cot B+\cot C$$=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S};$

b) $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right).$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$        (1)

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{bc}$                  (2)

Từ (1) và (2) ta có:

cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{2S}{bc}$

$\Rightarrow \cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\frac{bc}{2S}$

$\Rightarrow \cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}.$

Chứng minh tương tự ta cũng có:

$\cot B=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$ và  $\cot C=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$

Do đó cotA + cotB + cotC

$=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$$+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$

$=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

Vậy $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}.$

b) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:

$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4};$ $m_b^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}$ và $m_c^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}.$

Do đó:

Vậy $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right).$

Bài 3.14 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc.

Chứng minh rằng:

a) a² + b² = 5c²;

b) cotC= 2 (cot A + cot B).

Lời giải:

a)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $AG=\frac{2}{3}AM$ và $BG=\frac{2}{3}BN.$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABG vuông tại G (do AM ⊥ BN) có:

c² = AB² = AG² + BG²

$=\frac{4}{9}.A{M}^2+\frac{4}{9}.B{N}^2$

Mà AM, BN là hai đường trung tuyến kẻ từ A và B của tam giác ABC.

Do đó theo công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

$A{M}^2=m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$ và $B{N}^2=m_b^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}.$

Suy ra c² = $\frac{4}{9}.\left(\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)$$+\frac{4}{9}.\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\right)$

$=\frac{4}{9}.\left(\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\right)$

$=\frac{4}{9}.\left(\frac{a^2+b^2}{4}+c^2\right)$

$\Rightarrow$ c² $=\frac{4}{9}.\left(\frac{a^2+b^2}{4}+c^2\right)$

$\Rightarrow$ 9c² = a² + b² + 4c²

$\Rightarrow$ 5c² = a² + b².

b) Theo chứng minh phần a), Bài 3.13 ta có:

$\cot C=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$

Mà 5c² = a² + b² (chứng minh phần a))

Do đó $\cot C=\frac{5c^2-c^2}{4S}=\frac{4c^2}{4S}=\frac{c^2}{S}$       (1)

Mặt khác:

$\cot A+\cot B=$$\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$ 

$\Rightarrow$ cotA + cotB $=\frac{2c^2}{4S}=\frac{c^2}{2S}$

$\Rightarrow$ 2(cotA + cotB) $=\frac{c^2}{S}$   (2)

Từ (1) và (2) ta có: cotC = 2(cotA + cotB) = $\frac{c^2}{S}$

Vậy cotC = 2(cotA + cotB).

Bài 3.15 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn $\frac{\sin A}{1}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{\sqrt{3}}.$ Tính số đo các góc của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

Theo bài ta có: 

Đặt $\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{\sqrt{3}}=t$

Suy ra a = t; b = 2t; c = t$\sqrt{3}$

Suy ra a² = t²; b = 4t²; c = 3t².

Ta thấy: a² + c² = b² = 4t²

Theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác ABC vuông tại B.

$\Rightarrow$ sinB = 1.

$\Rightarrow \frac{\sin A}{1}=\frac{1}{2}=\frac{\sin C}{\sqrt{3}}.$

 $\Rightarrow \sin A=\frac{1}{2}$ và $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow$ $\widehat{A}=30°$ và $\widehat{C}=60°$

Vậy $\widehat{A}=30°;\widehat{B}=90°$ và $\widehat{C}=60°.$

Bài 3.16 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có S = 2R².sin A.sinB. Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow$ a = 2R.sinA; b = 2R.sinB và c = 2R.sinC.

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:

$$\begin{gathered} S=\frac{abc}{4R} \\ =\frac{\left(2R\sin A\right).\left(2R\sin B\right).\left(2R\sin C\right)}{4R} \end{gathered}$$

$\Rightarrow S=\frac{8R^3.\sin A.\sin B.\sin C}{4R}$

$\Rightarrow$ S = 2R².sin A.sinB.sinC.

Mà theo bài S = 2R².sin A.sinB.

Do đó sinC = 1

$\Rightarrow \widehat{C}=90°.$

Vậy tam giác ABC vuông tại C.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải SBT Toán 10 trang 38 Tập 1