Áp dụng định lí cô sin  trong tam giác  ta có: 

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2 AB.AC.\cos A=4^2+6^2-\mathrm{2.4.6.}\cos 120°$

$=4^2+6^2-\mathrm{2.4.6.}\left(-\frac{1}{2}\right)=76\Rightarrow BC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$.

Chọn B.

Áp dụng hệ quả của định lí cô sin trong tam giác ta có: 

 $cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(5^2+4^2-6^2)/2.5.4=1/8=0,125$.

Chọn A.

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:

 ${m_c}^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}=\frac{3^2+5^2}{2}-\frac{6^2}{4}=8\Rightarrow m_c=2\sqrt{2}$.

Chọn B.

Sử dụng công thức trung tuyến, ta có:

${m_a}^2+{m_b}^2+{m_c}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}+\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4}+\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$

$=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

Chọn D

 Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có$\frac{a}{\sin A}=2R$. Suy ra:

 $R=\frac{a}{2\sin 60°}=\frac{a}{2. \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Chọn A.

 $S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.10.12.}\sin 150°=60.\frac{1}{2}=30$.

Chọn B.

Đáp án đúng là D

Lời giải

Ta có: $A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=5^2\Rightarrow A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ 

⇒ ∆ABC vuông tại A.

Diện tích tam  giác ABC  là:

$S_{∆ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.3.4=6$ .

 Nửa chu vi của tam giác là $p=1/2 (3+4+5)=6$.

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là:

$r=\frac{S}{p}=\frac{6}{6}=1$. Chọn D.

*Phương pháp giải:

Sử dụng diện tích tam giác:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC,  là nửa chu vi. Khi đó .

*Lý thuyết:

- Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

2. Định lí

- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

- Trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.

3. Mở rộng

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.

- Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến một cạnh.

Cho n-giác đều cạnh a. Khi đó:

- Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi).

- Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng $\frac{(n-2).{180}^o}{n}$.

- Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng $\frac{{360}^o}{n}$.

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{a}{2\sin \frac{{180}^o}{n}}$$\Rightarrow a=2R.\sin \frac{{180}^o}{n}$

- Bán kính đường tròn nội tiếp: 

$$\begin{gathered} r=\frac{a}{2\tan \frac{{180}^o}{n}} \\ \Rightarrow a=2r.\tan \frac{{180}^o}{n} \end{gathered}$$

- Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp: $R^2-r^2=\frac{a^2}{4}$.

- Diện tích đa giác đều: $S=\frac{1}{2}nar$.

Xem thêm

Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp () - Toán 9 

Ta có:

 $a{h}_a=b{h}_b=2S\Rightarrow \frac{h_a}{h_b}=\frac{b}{a}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

Chọn A.

Nửa chu vi của tam giác ABC là:   $p=\frac{5+6+7}{2}=9$

Áp dụng công  thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC là: 

$S=\sqrt{9.\left(9-5\right).\left(9-6\right).\left(9-7\right)}=\sqrt{36.6}=6\sqrt{6}$.

Chọn C.

Nửa chu vi của tam giác ABC là:  $p=\frac{3+5+6}{2}=7$

Áp dụng công  thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC là: 

$S=\surd (7.(7-3).(7-5).(7-6) )=\surd 56=2\surd 14$

Bán kính đường trong nội tiếp của tam giác là:

$r=\frac{S}{p}=\frac{2\sqrt{14}}{7}$. Chọn A.

$a^2+b^2=5^2+{12}^2={13}^2\Rightarrow a^2+b^2=c^2$ ⇒ ∆ABC vuông tại C

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R=\frac{c}{2}=\frac{13}{2}=\mathrm{6,5}$.

Chọn C.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

 $c^2=2^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2-\mathrm{2.2.2}\sqrt{2}.\cos 135°=4+8-\mathrm{2.2.2}\sqrt{2}.\frac{-1}{\sqrt{2}}=20$

$c=2\sqrt{5}$

Chọn D

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 $\cos B=\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-4^2}{2.\sqrt{3}.2\sqrt{3}}=-\frac{1}{12}$

Chọn B

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 $\cos C=\frac{2^2+3^2-{\left(\sqrt{19}\right)}^2}{\mathrm{2.2.3}}=\frac{13-19}{12}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{C}=120°$

Chọn D

Ta có:  a² = b² +c² – bc nên b² + c² – a² = bc

 Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2.bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{A}=60°$

Chọn C

Ta có: ${\text{a}}^2=b^2+\text{}{c}^2+\sqrt{2}bc\Rightarrow b^2+c^2-a^2=-\sqrt{2}bc$

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2.bc}=\frac{-\sqrt{2}bc}{2bc}=\frac{-\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{A}=135°$

Chọn A

Chọn D

Ta có:  a² + b² = c² nên tam giác ABC là tam giác vuông.

Chọn C

Ta có: $\text{cosC = }\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{2ab}=\frac{8^2+\text{}{9}^2-{10}^2}{\mathrm{2.8.9}}>0$

$\Rightarrow 0^0<\text{}\widehat{C}<{90}^0$

Tam giác ABC có AB = c là cạnh lớn nhất. Do đó, góc C là góc lớn nhất.

Lại có:  $0^0<\text{}\widehat{C}<{90}^0$nên tam giác ABC là tam giác nhọn.

Chọn A

Ta có: $\text{cosC = }\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{2ab}=\frac{6^2+\text{}{7}^2-{10}^2}{\mathrm{2.6.7}}<0$

$\Rightarrow \text{}\widehat{C}>{90}^0$

Suy ra, tam giác ABC là tam giác tù.

Chọn B

ĐÁP ÁN C

Ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc . \cos A$

Suy ra: $bc.c\text{osA = }\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{2}$

Tương tự, $ab.c\text{osC = }\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{2};\text{\hspace{0.17em}}ac.c\text{osB = }\frac{a^2+\text{}{c}^2-b^2}{2}$

Do đó,  $\text{P = }\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{2}\text{+}\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{2}\text{+ }\frac{a^2+\text{}{c}^2-b^2}{2}=\frac{a^2+\text{}{b}^2+c^2}{2}$

Áp dụng hệ quả định lí cô sin trong tam giác ta có:

$\text{cosA = }\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\Rightarrow \frac{\text{cosA}}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$

$\text{cosB = }\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\Rightarrow \frac{\text{cosB}}{b}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}$

$\text{cosC = }\frac{a^2+b^2-c^2}{2bc}\Rightarrow \frac{\text{cosC}}{c}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$

Do đó, 

$\frac{\text{cosA}}{a}+\frac{\text{cosB}}{b}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{cosC}}{c}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$

ĐÁP ÁN B

ĐÁP ÁN B

Áp dụng công thức đường trung  tuyến trong tam giác ta có:

 ${m_c}^2=\frac{{\left(\sqrt{31}\right)}^2+{\left(\sqrt{29}\right)}^2}{2}-\frac{{\left(2\sqrt{7}\right)}^2}{4}=23 \Rightarrow m_c=\sqrt{23}$

Áp dụng công thức đường trung  tuyến trong tam giác ta có:

 ${m_c}^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\Rightarrow \frac{c^2}{4}=\frac{a^2+b^2}{2}-{m_c}^2=\frac{4^2+6^2}{2}-4^2=10$

$\Rightarrow c^2=40\Rightarrow c=2\sqrt{10}$

ĐÁP ÁN A

Đáp án đúng là A

*Lời giải: 

Ta có:

${m_a}^2-{m_b}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}-\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4}=\frac{3}{4}\left(b^2-a^2\right)$

*Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi m_a; m_b; m_c là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó

*Lý thuyết:

 Đường trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện.

- Các đường trung tuyến của tam giác giao nhau tại trọng tâm của tam giác.

- Trong tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC thì đường trung tuyến AM cũng là đường cao, đường phân giác và đường trung trực.

- Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

- Độ dài đường trung tuyến: Gọi $m_a,m_b,m_c$ là độ dài đường trung tuyến lần lượt vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta có:

II. Các công thức.

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC ta có: $AM=\frac{1}{2}BC$.

Gọi $m_a,m_b,m_c$ là độ dài đường trung tuyến lần lượt vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta có:

(với G là trọng tâm của tam giác ABC).

Xem thêm một số bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính độ dài đường trung tuyến chi tiết nhất

Giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: $GA\text{}=\frac{2}{3}{m}_a$. Suy ra: 

 $G{A}^2={\left(\frac{2}{3}{m}_a\right)}^2=\frac{4}{9}.\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{9}$

ĐÁP ÁN D

Theo hệ quả định lí cô sin trong tam giác ta có: $\text{cosB = }\frac{c^2+\text{}{a}^2-b^2}{2ca}$

Từ  giả thiết: c = a. cosB nên: 

$c=a.\frac{c^2+a^2-b^2}{2.ca}\Rightarrow c=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\Rightarrow 2c^2=c^2+a^2-b^2\Rightarrow a^2=b^2+c^2$

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

ĐÁP ÁN C

Áp dụng định lí sin trong tam giác: $\frac{a}{\sin A}=2R$

Suy ra: $R=\frac{a}{2.\sin A}=\frac{30}{2.\sin {60}^0}=10\sqrt{3}$

ĐÁP ÁN A

Diện tích tam giác  ABC là:

$S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}\mathrm{.10.3}=15$

ĐÁP ÁN B

Nửa chu vi tam giác ABC là:  $p=\frac{4+6+8}{2}=9$

Áp dụng công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC: 

$S=\sqrt{9\left(9-4\right)\left(9-6\right)\left(9-8\right)}=3\sqrt{15}$

ĐÁP ÁN A

Diện tích tam  giác ABC là: 

$S\text{}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.4.6.}\sin {30}^0=6$

ĐÁP ÁN B

Ta có: $A{B}^2 + A{C}^2 = B{C}^2 ( 3^2 + 4^2 = 5^2 )$

 Suy ra, tam giác vuông tại A.

Diện tích tam giác ABC là:  $S=\frac{1}{2}.AB.AC=6$

Nửa chu vi tam giác: $p=\frac{3+4+5}{2}=6$

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là: $r=\frac{S}{p}=1$

ĐÁP ÁN A

Nửa chu vi tam giác: $p=\frac{7+8+9}{2}=12$

Áp dụng công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC

$S=\sqrt{12\left(12-7\right)\left(12-8\right)\left(12-9\right)}=\sqrt{\mathrm{12.5.4.3}}=12\sqrt{5}$

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là $r=\frac{S}{p}=\frac{12\sqrt{5}}{12}=\sqrt{5}$ 

ĐÁP ÁN C

Nửa chu vi tam giác $p=\frac{5+7+8}{2}=10$

Áp dụng công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC

$S=\sqrt{10\left(10-5\right)\left(10-7\right)\left(10-8\right)}=10\sqrt{3}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

$R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{5.7.8}}{40\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ 

ĐÁP ÁN B.

Hình lục giác đã cho là hợp của 2 tam giác đều có độ dài cạnh là 4 và 1 hình chữ nhật với độ dài 2 cạnh là 4 và 6.

 Diện tích mỗi tam giác đều là $\frac{1}{2}\mathrm{.4.4.}\sin 60°=4\sqrt{3}$.

Diện tích hình chữ nhật là 24.

Diện tích của hình lục giác là: $4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+\text{}24=8\sqrt{3}+24$ 

ĐÁP ÁN D

Gọi O là tâm của hình lục giác đều – O là giao điểm các đường chéo.

Hình lục giác đều cạnh 8 cm được chia thành sáu tam giác đều cạnh 8 cm.

Diện tích mỗi tam giác đều là $\frac{1}{2}\mathrm{.8.8.}\sin 60°=16\sqrt{3}$.

Diện tích lục giác là $16\sqrt{3}.6=$ $96\sqrt{3} c{m}^2$.

ĐÁP ÁN C

Giả sử tam giác ABC cân tại C, AC = BC = a, C =  α

Diện tích tam giác là:

$\text{}S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}a.a.\sin \alpha =\frac{1}{2}{a}^2\sin \alpha$

ĐÁP ÁN B

Gọi O là tâm đa giác, giả sử A, B là hai đỉnh kề nhau của đa giác

Ta có $\widehat{AOB}=\left(\frac{360}{n}\right)°$. Diện tích đa giác đều bằng.

$S=n{S}_{OAB}=n.\frac{1}{2}OA.OB.\sin \widehat{AOB}=\frac{1}{2}n{R}^2.\sin \left(\frac{360}{n}\right)°$

ĐÁP ÁN A

Diện tích phần được tô màu bằng hiệu diện tích của hình vuông cạnh 8cm và 4 tam giác bằng nhau có 1 cạnh bằng 8 và đường cao ứng với cạnh đó bằng 2 cm.

Diện tích của 1 tam giác là: $S=\frac{1}{2}\mathrm{.2.8}=8$

Diện tích hình vuông là:  $S’ = 8^2 = 64$

Diện tích phần tô đậm là:  64 – 4.8 =  32.

ĐÁP ÁN B

$S=\frac{1}{2}\mathrm{.2.3.}\sin 120°+\frac{1}{2}\mathrm{.3.4.}\sin 120°+\frac{1}{2}\mathrm{.4.2.}\sin 120°$$=\frac{13\sqrt{3}}{2}$

ĐÁP ÁN B

ĐÁP ÁN D

Ta có: $S=\frac{1}{2}bc.\sin A\Rightarrow 4S\text{}=2bc.\sin A$  (1)

Theo giả thiết ta có: bc = 4S   (2)

Từ (1) (2) suy ra:

$\begin{array}{l}2bc.\sin A=bc\iff 2\sin A=1\\ \iff \sin A=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{c}\widehat{A}={30}^0\\ \widehat{A}={150}^0\end{array}\right.\end{array}$

Theo định lí sin trong tam giác ta có: $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow \sin \text{}A=\frac{a}{2R}$ 

 $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\cos A}{\frac{a}{2R}}=\frac{2Rcos A}{a}$

ĐÁP ÁN C

Theo định lí sin trong tam giác ta có: $$$\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow \sin \text{}A=\frac{a}{2R}$

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\cos A}{\frac{a}{2R}}=\frac{2Rcos A}{a}=\frac{2R\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{a}=\frac{R.\left(b^2+c^2-a^2\right)}{abc}$

ĐÁP ÁN A

Diện tích tam giác ABC là:  $S\text{}=\frac{1}{2}bc.\sin A\Rightarrow 4S=2bc\sin A$

 $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bcsin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$

ĐÁP ÁN D

* Diện tích tam giác ABC là:  $S\text{}=\frac{1}{2}bc.\sin A\Rightarrow 4S=2bc\sin A$

$\cot A=\frac{\text{cosA}}{\sin A}=\frac{\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{2bc}}{\sin A}=\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{2bc.sinA}=\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{4S}$

* Tương tự, ta có:  $\cot B=\frac{a^2+\text{}{c}^2-b^2}{4S};\cot C=\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{4S}$

* Do đó,

$\begin{array}{l}\cot A+\text{}\cot B+\cot C=\frac{b^2+\text{}{c}^2-a^2}{4S}+\text{}\frac{a^2+\text{}{c}^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+\text{}{b}^2-c^2}{4S}=\frac{a^2+\text{}{b}^2+c^2}{4S}\\ \end{array}$

ĐÁP ÁN B

Ta có: $S=\frac{1}{2}a.h_a\Rightarrow a=\frac{2S}{h_a}$  

Tương tự, $S=\frac{1}{2}b.h_b\Rightarrow b=\frac{2S}{h_b}$

Theo giả thiết  a= 2b nên $\frac{2S}{h_a}=2.\frac{2S}{h_b}\iff \frac{1}{h_a}=\frac{2}{h_b}\iff h_b=2h_a$

ĐÁP ÁN A

Theo định lí sin trong tam giác ta có: $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow a=2R.\sin A$

Tương tự, b = 2RsinB; c= 2R.sin C

Theo đầu bài:

 a + b =2c ⇒ 2Rsin A + 2Rsin B = 4Rsin C ⇒ sin A + sin B = 2sin C.

ĐÁP ÁN C

Theo định lí sin trong tam giác ta có:

$\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow a=2R\text{}.\sin A$

Tương tự, $b=2R.\sin B;c=2R.\sin C$

Ta có: $ab = c^2 nên 2R.\sin A . 2R. \sin B = {(2R\sin C)}^2$

Hay $\sin A. \sin B= {\left(\sin C\right)}^2$

^{ĐÁP ÁN A}

Theo định lí sin trong tam giác ta có:

$\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow a=2R\text{}.\sin A$

Tương tự,$b=2R.\sin B;c=2R.\sin C$

 Theo bất đẳng thức tam giác ta có:  a + b > c

Do đó,  2Rsin A + 2Rsin B > 2Rsin C ⇒ sin A + sin B > sin C

Tương tự, sin A + sin C > sin B và sin B + sin C > sin A

Vậy D sai.

ĐÁP ÁN D

ĐÁP ÁN B

Giả sử A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của đa giác đều.

Tam giác ABC cân tại B có góc ở đỉnh là α, góc ở đáy là $90°-\frac{\alpha }{2}$.

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R nên $a=2R\sin \left(90°-\frac{\alpha }{2}\right)=2R\cos \frac{\alpha }{2}$

Đáp án đúng: B

*Lời giải:    

Ta có:

$\begin{array}{l}S=pr=\frac{a+b+c}{2}.r\Rightarrow r=\frac{2S}{a+\text{}b+c}\\ S\text{}=\frac{1}{2}a.h_a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}\end{array}$

Suy ra:  $\frac{r}{h_a}=\frac{\frac{2S}{a+b+c}}{\frac{2S}{a}}=\frac{a}{a+b+c}$

*Phương pháp giải

- Căn cứ vào đáp án, ta sẽ áp dụng công thức tính diện tích dùng hệ thức lượng và diện tích tam giác vuông

+) S = pr = $\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\mathrm{r}}{2}$

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về hệ thức lượng trong tam giác:

Định lí Côsin 

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$.

Độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có ma, mb, mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C.

Ta có

 Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Công thức tính diện tích tam giác

Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:

+) S = pr = $\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\mathrm{r}}{2}$

+) S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$ca sin B =$\frac{1}{2}$ab sin C.

+) S = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$

+) Công thức Heron: S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác – Toán 10 Kết nối tri thức 

Giải Toán 10 Bài 6 (Kết nối tri thức): Hệ thức lượng trong tam giác 

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (Kết nối tri thức) | Chuyên đề dạy thêm Toán 10

Áp dụng định lí sin trong tam giác: $\frac{a}{\sin \text{}A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Suy ra:  b = 2R sin B;  c =  2R . sin C

 Ta có, $S\text{}=\frac{1}{2}a.h_a$ nên :

 $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\frac{abc}{4R}}{a}=\frac{bc}{2R}=\frac{2Rsin B.2Rsin C}{2R}=2Rsin Bsin C$

ĐÁP ÁN C

Ta có: $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}, \widehat{COA}=2\widehat{CBA}, \widehat{AOB}=2\widehat{ACB}$

( góc ở tâm gấp 2 lần số đo góc nội tiếp cùng chắn 1 cung )

$S=S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OCA}$ 

= $\frac{1}{2}OA.OB.\sin \widehat{AOB}+\frac{1}{2}OB.OC.\sin \widehat{BOC}+\frac{1}{2}OC.OA.\sin \widehat{COA}$

$S=\frac{1}{2}{R}^2\left(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C\right)$ .