Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC bằng

Đáp án đúng là D

Lời giải

Ta có: $A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=5^2\Rightarrow A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ 

⇒ ∆ABC vuông tại A.

Diện tích tam  giác ABC  là:

$S_{∆ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.3.4=6$ .

 Nửa chu vi của tam giác là $p=1/2 (3+4+5)=6$.

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là:

$r=\frac{S}{p}=\frac{6}{6}=1$. Chọn D.

*Phương pháp giải:

Sử dụng diện tích tam giác:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC,  là nửa chu vi. Khi đó .

*Lý thuyết:

- Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

2. Định lí

- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

- Trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.

3. Mở rộng

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.

- Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến một cạnh.

Cho n-giác đều cạnh a. Khi đó:

- Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi).

- Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng $\frac{(n-2).{180}^o}{n}$.

- Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng $\frac{{360}^o}{n}$.

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{a}{2\sin \frac{{180}^o}{n}}$$\Rightarrow a=2R.\sin \frac{{180}^o}{n}$

- Bán kính đường tròn nội tiếp: 

$$\begin{gathered} r=\frac{a}{2\tan \frac{{180}^o}{n}} \\ \Rightarrow a=2r.\tan \frac{{180}^o}{n} \end{gathered}$$

- Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp: $R^2-r^2=\frac{a^2}{4}$.

- Diện tích đa giác đều: $S=\frac{1}{2}nar$.

Xem thêm

Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp () - Toán 9 

50 bài tập về Đường tròn nội tiếp, Đường tròn ngoại tiếp (có đáp án 2024) - Toán 9