Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=105°,\widehat{B}=45°$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$ 

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-105°-45°=30°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{10}{\sin 45°}=\frac{AB}{\sin 30°}\Rightarrow AB=\frac{10.\sin 30°}{\sin 45°}=5\sqrt{2}.$

Vậy $AB=5\sqrt{2}.$ 

Đáp án đúng là: A

Lời giải

Trong tam giác ABC có $\widehat{A}$ là góc tù nên $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$ 

$\Rightarrow \frac{R\sqrt{2}}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}=2R$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin B=\frac{R\sqrt{2}}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ sinC=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{B}=45°\\ \widehat{C}=30°\end{array}\right.$ (vì $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}=45°,\widehat{C}=30°$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}$ 

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-45°-35°=105°$

Vậy $\widehat{A}=105°$ 

*Phương pháp giải:

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}=\frac{3^2+4^2-2^2}{\mathrm{2.3.4}}=\frac{7}{8}.$

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng $\frac{7}{8}$ 

*Phương pháp giải:

- giả sử ba cạnh lần lượt tương ứng để tính cho dễ 

- Áp dụng định lý cosin trong tam giác để tìm ra ra góc 

* Các lý thuyết cần nắm về các công thức trong hệ thức lượng tam giác:

Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c. Ta có

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = c² + a² – 2ca.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Hệ quả

Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Ta có

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Tất tần tật về Định lí Côsin và hệ quả chi tiết nhất 

Giải Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Định lí côsin và định lí sin 

Trắc nghiệm Định lí côsin và định lí sin (Chân trời sáng tạo) có đáp án - Toán 10

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}+\widehat{C}=135°$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$ 

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-135°=45°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=2R$

$\Rightarrow R=\frac{BC}{2.\sin A}=\frac{a}{2.\sin 45°}=\frac{a}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ 

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}=\frac{2.120}{10.24}=1$

Mà $0°<\widehat{A}<180°$ 

$\Rightarrow \widehat{A}=90°$

Þ DABC vuông tại A

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² Þ BC² = 10² + 24² = 676

Þ BC = 26.

Do đó trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC có độ dài là: $AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.26=13.$ 

Vậy độ dài đường trung tuyến AM bằng 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì BE là trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC.

Do đó $EC=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.30=15\left(cm\right)$ 

Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $GE=\frac{1}{3}BE$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay $\frac{GE}{BE}=\frac{1}{3}.$ 

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ G xuống AC.

Suy ra GH // AB.

Do đó $\frac{GH}{BA}=\frac{GE}{BE}$ (định lí Ta – let trong tam giác ABE)

Hay $\frac{GH}{BA}=\frac{1}{3}\Rightarrow GH=\frac{1}{3}.BA=\frac{1}{3}.30=10\left(cm\right)$

Diện tích tam giác GEC là: $S_{GEC}=\frac{1}{2}.GH.EC=\frac{1}{2}\mathrm{.10.15}=75\left(c{m}^2\right)$ 

Vậy diện tích tam giác GEC là 75 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B:

Hình bình hành có một cạnh là 4, hai đường chéo là 6 và 8 được mô tả như hình vẽ, do đó AD = 4, AC = 6, BD = 8.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).

Þ AO = 3 và DO = 4.

Áp dụng hệ quả định lí côsin vào tam giác ADO ta có:

$cos\widehat{ADO}=\frac{A{D}^2+D{O}^2-A{O}^2}{2.AD.DO}=\frac{4^2+4^2-3^2}{\mathrm{2.4.4}}=\frac{23}{32}$ $\Rightarrow cos\widehat{ADB}=\frac{23}{32}$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABD ta có:

AB² = AD² + BD² – 2.AD.BD.$cos\widehat{ADB}$ 

Þ AB² = 4² + 8² – 2.4.8.$\frac{23}{32}$ = 34

$\Rightarrow AB=\sqrt{34}.$ 

Vậy độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng 4 của hình bình hành đó là $\sqrt{34}$ 

Đáp án đúng là: A

Lời giải

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, giả sử AB = AC = a, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow BC=a\sqrt{2}.$ 

Do đó nửa chu vi tam giác ABC là $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{a+a+a\sqrt{2}}{2}=a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)$ 

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$ (đơn vị diện tích)

Mặt khác $S=pr=\frac{AB.AC.BC}{4R}$ 

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{a^2}{2}}{a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)}=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$  và $R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{a.a.a\sqrt{2}}{4.\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ 

Do đó $\frac{R}{r}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2+\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a}{2+\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2+\sqrt{2}}{a}=1+\sqrt{2}$ 

Vậy $\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}.$ 

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diệc tích tam giác để tính

*Lý thuyết:

Cho tam giác có BC = a, AC = b, AB = c với:

• $h_a,h_b,h_c$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

• $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác;

• S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:

+ Phương pháp giải: Dựa vào dữ kiện bài ra để sử dụng linh hoạt một trong các công thức ở trên.

Xem thêm

Các công thức tính diện tích tam giác (2024) đầy đủ, chi tiết nhất