Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{5^2+{\left(5\sqrt{2}\right)}^2-{\left(5\sqrt{5}\right)}^2}{\mathrm{2.5.5}\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{A}=135°.$ 

Vậy $\widehat{A}=135°.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{3^2+6^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}{\mathrm{2.3.6}}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{B}=60°.$ 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có $\widehat{A}$ là góc tù nên $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$ 

$\Rightarrow \frac{R\sqrt{2}}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}=2R$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin B=\frac{R\sqrt{2}}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ sinC=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{B}=45°\\ \widehat{C}=30°\end{array}\right.$ (vì $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}=45°,\widehat{C}=30°$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}$ 

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-45°-35°=105°$

Vậy $\widehat{A}=105°$ 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}=\frac{3^2+4^2-2^2}{\mathrm{2.3.4}}=\frac{7}{8}.$

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng $\frac{7}{8}$ 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.20.10.}\sin 60°=50\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác có độ dài ba cạnh $\sqrt{3},\sqrt{2}$, 1 là: $p=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{2}$ 

Diện tích tam giác theo công thức Heron là: $S=\sqrt{p.\left(p-\sqrt{3}\right).\left(p-\sqrt{2}\right).\left(p-1\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 

Vậy $S=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$

Nếu BC² < AB² + AC² thì AB² + AC² ‒ BC² > 0

Do đó $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}>0$ hay cosA > 0

Mà $0°<\widehat{A}<180°$ 

Þ Góc $\widehat{A}$ là góc nhọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác có độ dài ba cạnh là 5, 12, 13 ta có: 5² + 12² = 169 và 13² = 169.

Do đó 5² + 12² = 13² nên tam giác này là tam giác vuông (định lí Py – ta – go đảo)

Diện tích tam giác này là: $S=\frac{1}{2}\mathrm{.5.12}=30$ (đơn vị diện tích)

Nửa chu vi tam giác này là: $p=\frac{5+12+13}{2}=15$ 

Mặt khác S = pr $p=\frac{5+12+13}{2}=15$ 

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có diện tích ban đầu của tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.BC.AC.\sin C$.

Diện tích của tam giác mới sau khi thay đổi kích thước là:

$S^{\text{'}}=\frac{1}{2}.2BC.3AC.\sin C=6.\left(\frac{1}{2}.BC.AC.\sin C\right)=6S$.

Vậy diện tích của tam giác mới được tạo thành là 6S.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, giả sử AB = AC = a, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow BC=a\sqrt{2}.$ 

Do đó nửa chu vi tam giác ABC là $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{a+a+a\sqrt{2}}{2}=a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)$ 

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$ (đơn vị diện tích)

Mặt khác $S=pr=\frac{AB.AC.BC}{4R}$ 

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{a^2}{2}}{a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)}=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$  và $R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{a.a.a\sqrt{2}}{4.\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ 

Do đó $\frac{R}{r}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2+\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a}{2+\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2+\sqrt{2}}{a}=1+\sqrt{2}$ 

Vậy $\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}.$