TOP 20 câu Trắc nghiệm Định lí côsin và định lí sin (Chân trời sáng tạo 2024) có đáp án - Toán 10

Đáp án: D

Giải thích:

Theo định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = a² + c² – 2ac.cosB;

c² = b² + a² – 2ab.cosC.

Do đó phương án D là đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: C

Giải thích:

Theo định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$ Do đó A đúng.

Từ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ta suy ra $b=\frac{a}{\sin A}.\sin B=\frac{a.\sin B}{\sin A}.$ Do đó B đúng.

Ta cũng có hệ quả định lí sin: b = 2R.sinB và c = 2R.sinC.

Do đó C sai và D đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C.$

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$ah_a = $\frac{1}{2}$bh_b = $\frac{1}{2}$ch_c

Do đó ta có: h_a = $\frac{2S}{a};$ h_b = $\frac{2S}{b};$ h_c = $\frac{2S}{c}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án: D

Giải thích:

Theo hệ quả định lí côsin ta có: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}.$ Do đó C sai.

Theo định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=2R.$ Do đó B sai.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác như sau:

• S = $\frac{abc}{4R}.$ Do đó A sai.

• S = pr, suy ra $r=\frac{S}{p}.$ Do đó D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: B

Giải thích:

Theo định lí côsin ta có: c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Mà $\widehat{C}=120°$ nên cosC = $\frac{1}{2}$

Do đó c² = a² + b² – 2ab.$(-\frac{1}{2})$ = c² = a² + b² + ab.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án: A

Giải thích:

Theo hệ quả định lí côsin ta có: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Mà $\frac{b^2+c^2–a^2}{2bc}>0$ nên cosA > 0.

Do đó $\widehat{A}<90°.$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: D

Giải thích:

Nửa chu vi của tam giác ABC là:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{21+17+10}{2}=24$.

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

$=\sqrt{24\left(24-21\right)\left(24-17\right)\left(24-10\right)}=84$ (đơn vị diện tích)

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: C

Giải thích:

Nửa chu vi của ∆ABC là: $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+6+7}{2}=9$

Diện tích của ∆ABC là:

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

$=\sqrt{9\left(9-5\right)\left(9-6\right)\left(9-7\right)}=6\sqrt{6}$ (đơn vị diện tích)

Ta có S = p.r

$\iff r=\frac{S}{p}=\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

BC² = AB² + AC² –2.AB.AC.cosA

= 3² + 6² – 2.3.6.cos60°

= 27.

Suy ra $BC=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$.

Áp dụng định lí sin, ta có $\frac{BC}{\sin A}=2R$.

Suy ra $R=\frac{BC}{2.\sin A}=\frac{3\sqrt{3}}{2.\sin 60°}=3$.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có ∆ABC đều cạnh a.

Suy ra AB = AC = BC = a.

Nửa chu vi ∆ABC là: $p=\frac{a+a+a}{2}=\frac{3a}{2}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}$

$=\sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)}$

$=\sqrt{\frac{3a}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}}=\frac{a^2.\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích)

Ta có $S=\frac{AB.AC.BC}{4R}$.

Suy ra $R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{a.a.a}{4.\frac{a^2.\sqrt{3}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA

= 5² + 10² – 2.5.10.cos60°

= 75.

Suy ra BC = $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.5.10.}\sin 60°=\frac{25\sqrt{3}}{2}$ (đơn vị diện tích)

Ta có $S=\frac{1}{2}BC.h_a$

Suy ra $h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{2.25\sqrt{3}}{2.5\sqrt{3}}=5$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: C

Giải thích:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 cm nên ta có AB = BC = 1 cm và AC = $\sqrt{3}$ cm.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho DABC, ta có:

$\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}{\mathrm{2.1.}\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $\widehat{BAC}=30°$.

Vì ABCD là hình thoi nên đường chéo AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$.

Suy ra $\widehat{BAD}=2\widehat{BAC}=2.30°=60°$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho $∆$ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 5² + 8² – 2.5.8.cos60°

= 49.

Suy ra BC = $\sqrt{49}= 7$.

Diện tích ∆ABC là:

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.5.8.}\sin 60°=10\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích)

Nửa chu vi của ∆ABC là:

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{5+8+7}{2}=10$

Ta có S = pr

$\iff r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$.

Vậy bán kính r của đường tròn nội tiếp của ∆ABC bằng $\sqrt{3}$.

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án: C

Giải thích:

Do ∆ABC đều nên $\widehat{BAC}=60°$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta có $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R$

⇔ BC = 2R.sinA = 2.4.sin60° = $4\sqrt{3}$.

Vì ∆ABC đều nên ta có AB = AC = BC = $4\sqrt{3}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{4\sqrt{3}.4\sqrt{3}.4\sqrt{3}}{4.4}=12\sqrt{3}$ (cm²)

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án: A

Giải thích:

Giả sử AB = AC = a.

∆ABC vuông cân tại A nên BC² = AB² + AC² (Định lí Pythagore)

Do đó BC² = a² + a² = 2a².

Suy ra $BC=a\sqrt{2}$.

Diện tích ∆ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{a^2}{2}$ (đơn vị diện tích)

Ta có $S=\frac{AB.AC.BC}{4R}$

$\iff R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{a.a.a\sqrt{2}}{4.\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Nửa chu vi của ∆ABC là:

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{a+a+a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\left(2+\sqrt{2}\right)}{2}$.

Ta có S = p.r

$\iff r=\frac{S}{p}=\frac{a^2}{2}:\frac{a\left(2+\sqrt{2}\right)}{2}=\frac{a^2}{2}.\frac{2}{a\left(2+\sqrt{2}\right)}=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$.

Vì vậy tỉ số $\frac{R}{r}=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a}{2+\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2+\sqrt{2}}{a}=1+\sqrt{2}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho ∆ABC, ta có:

⦁ $\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{2-\sqrt{3}+2-3}{2.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$.

Suy ra $\widehat{BAC}=120°$.

⦁ $\cos \widehat{ABC}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{2-\sqrt{3}+3-2}{2.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra $\widehat{ABC}=45°$ hay $\widehat{ABD}=45°$.

Ta có AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Suy ra $\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.120°=60°$.

∆ABD có: $\widehat{BAD}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180°$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

$\iff \widehat{ADB}=180°-\left(\widehat{BAD}+\widehat{ABD}\right)=180°-\left(60°+45°\right)=75°$.

Vậy $\widehat{ADB}=75°$.

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án: D

Giải thích:

⦁ Ta xét khẳng định (I):

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC ta có:

b² – c² = c² + a² – 2ca.cosB – (a² + b² – 2ab.cosC)

= c² + a² – 2ca.cosB – a² – b² + 2ab.cosC

= c² – b² + 2a(b.cosC – c.cosB)

$\Rightarrow$ b² – c² = c² – b² + 2a(b.cosC – c.cosB)

$\Rightarrow$ 2(b² – c²) = 2a(b.cosC – c.cosB)

$\Rightarrow$ b² – c² = a(b.cosC – c.cosB).

Do đó khẳng định (I) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (II):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

(b + c)sinA = $\left(2R.\sin B+2R.\sin C\right).\frac{a}{2R}$

$=\left(\sin B+\sin C\right).\frac{2R.a}{2R}$

= a(sinB + sinC).

Vì vậy khẳng định (II) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (III):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

2R.sinB.sinC = $2R.\frac{b}{2R}.\frac{c}{2R}$

$=\frac{bc}{2R}=\frac{abc}{4R}.\frac{2}{a}$

$=\frac{2S}{a}=h_a$.

Vì vậy khẳng định (III) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (IV):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

R.r.(sinA + sinB + sin C) = $R.r.\left(\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\right)$

$=R.r.\frac{1}{R}\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)$

$=r.\frac{a+b+c}{2}=r.p=S$.

Vì vậy khẳng định (IV) đúng.

Vậy có 4 khẳng định đúng, ta chọn phương án D.

Đáp án: B

Giải thích:

Giả sử sau hai giờ, tàu 1 đến vị trí điểm B, tàu 2 đến vị trí điểm C.

Sau hai giờ, tàu 1 đi được 2.30 = 60 (hải lí).

Suy ra AB = 60.

Sau hai giờ, tàu hai đi được 2.25 = 50 (hải lí).

Suy ra AC = 50.

Ta có BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 60² + 50² – 2.60.50.cos120°

= 9100

Suy ra BC = $\sqrt{9100}=10\sqrt{91}\approx 95,4$.

Vì vậy sau hai giờ, hai tàu cách nhau khoảng 95,4 hải lí.

Vậy ta chọn phương án B.