TOP 20 câu Trắc nghiệm Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Chân trời sáng tạo 2024) có đáp án - Toán 10

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA

= 322 + 452 – 2.32.45.cos87°

≈ 2898,3

Suy ra a ≈ $\sqrt{2898,3}$ ≈ 53,8.

Theo định lí sin, ta có $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

Suy ra $\sin B=\frac{b.\sin A}{a}\approx \frac{32.\sin 87°}{53,8}\approx 0,6$.

Do đó $\widehat{B}\approx 37°$

($\widehat{B}\approx 180°-37°=143°$ không thỏa mãn do $\widehat{A}+\widehat{B}\approx 87°+143°=230°>180°)$

∆ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)\approx 180°-\left(87°+37°\right)=56°$.

Vậy a ≈ 53,8, $\widehat{B}\approx 37°,\widehat{C}\approx 56°$.

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án: D

Giải thích:

⦁ ∆ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)=180°-\left(60°+40°\right)=80°$.

Do đó phương án A đúng.

⦁ Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

Suy ra $a=\frac{c.\sin A}{\sin C}=\frac{14.\sin 60°}{\sin 80°}\approx 12,3$.

Do đó phương án B đúng.

Ta có $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Suy ra $b=\frac{c.\sin B}{\sin C}=\frac{14.\sin 40°}{\sin 80°}\approx 9,1$

Do đó phương án C đúng, phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: D

Giải thích:

Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

⦁ $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{2^2+{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{6}\right)}^2}{\mathrm{2.2.}\left(1+\sqrt{3}\right)}=\frac{1}{2}$.

Suy ra $\widehat{A}=60°$.

⦁ $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{{\left(\sqrt{6}\right)}^2+{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2-2^2}{2.\sqrt{6}.\left(1+\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra $\widehat{B}=45°$.

⦁ $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{{\left(\sqrt{6}\right)}^2+2^2-{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}{2.\sqrt{6}.2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

Suy ra $\widehat{C}=75°$.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: C

Giải thích:

Theo hệ quả định lí sin, ta có:

⦁ BC = 2R.sinA = 2.2.sin120° = $2\sqrt{3}$.

⦁ AC = 2R.sinB = 2.2.sin45° = $2\sqrt{2}$.

Theo định lí côsin, ta có BC2 = AC2 + AB2 – 2.AC.AB.cosA

Suy ra ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2+A{B}^2-2.2\sqrt{2}.AB.\cos 120°$

Khi đó $A{B}^2+2\sqrt{2}.AB-4=0$

Vì vậy $AB=\sqrt{6}-\sqrt{2}$ hoặc $AB=-\sqrt{6}-\sqrt{2}$

Vì AB là độ dài một cạnh của ∆ABC nên ta có AB > 0.

Do đó ta nhận $AB=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.

∆ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)=180°-\left(120°+45°\right)=15°$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: B

Giải thích:

⦁ Theo hệ quả định lí sin, ta có:

a = 2R.sinA = 2.6.sin60° = $6\sqrt{3}$.

⦁ Ta có S = $\frac{1}{2}c{h}_c=\frac{1}{2}bc\sin A$.

Suy ra hc = b.sinA

Do đó $b=\frac{h_c}{\sin A}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60°}=4$.

⦁ Theo định lí côsin, ta có a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

Suy ra $\left|{\left(6\sqrt{3}\right)}^2=4^2+c^2-\mathrm{2.4.}c.\cos 60°\right|$

Khi đó c² – 4c – 92 = 0

Vì vậy $c=2+4\sqrt{6}$ hoặc $c=2-4\sqrt{6}$.

Vì c là độ dài một cạnh của ∆ABC nên c > 0.

Do đó ta nhận $c=2+4\sqrt{6}$.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án: A

Giải thích:

Theo định lí côsin, ta có

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

$=4^2+5^2-\mathrm{2.4.5.}\frac{3}{5}=17$.

Suy ra $BC=\sqrt{17}$.

Nửa chu vi ∆ABC là:

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{4+5+\sqrt{17}}{2}=\frac{9+\sqrt{17}}{2}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}$

$=\sqrt{\frac{9+\sqrt{17}}{2}\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-4\right)\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-5\right)\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-\sqrt{17}\right)}$

= 8 (đơn vị diện tích).

$$\begin{gathered} Ta có: S=\frac{1}{2}.BC.h_a \\ \iff 8=\frac{1}{2}.\sqrt{17}.h_a \\ \iff h_a=\frac{16\sqrt{17}}{17} \end{gathered}$$

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án: B

Giải thích:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là R = 3.

∆ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)=180°-\left(30°+45°\right)=105°$.

Theo hệ quả định lí sin, ta có:

⦁ a = 2R.sinA = 2.3.sin30° = 3.

⦁ b = 2R.sinB = 2.3.sin45° = $3\sqrt{2}$.

⦁ c = 2R.sinC = 2.3.sin105° = $\frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$.

Nửa chu vi của ∆ABC là:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+3\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{6+9\sqrt{2}+3\sqrt{6}}{4}$.

Ta có S = pr = $\frac{1}{2}$ab.sinC

$\iff \frac{6+9\sqrt{2}+3\sqrt{6}}{4}.r=\frac{1}{2}\mathrm{.3.3}\sqrt{2}.\sin 105°$

$\iff \frac{6+9\sqrt{2}+3\sqrt{6}}{4}.r=\frac{9+9\sqrt{3}}{4}$

⇔ r ≈ 0,94.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án: C

Giải thích:

Vì nên c < b < a.

Do đó $\widehat{C}<\widehat{B}<\widehat{A}$.

Tức là, $\widehat{A}$ lớn nhất.

Theo hệ quả định lí côsin, ta có:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}{2.2\sqrt{2}.\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}=-\frac{1}{2}$.

Suy ra $\widehat{A}=120°$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: A

Giải thích:

Theo hệ quả định lí côsin, ta có $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Diện tích ∆ABC là: $S=\frac{1}{2}bc.\sin A$.

Ta có $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc.\sin A}$

$=\frac{b^2+c^2-a^2}{4.\frac{1}{2}bc.\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: D

Giải thích:

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

$\sin C=\frac{c}{2R}$ và $\sin B=\frac{b}{2R}$.

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

• Ta có sinC = 2sinB.cosA

$\iff \frac{c}{2R}=2.\frac{b}{2R}.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\iff c=2b.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\iff c=\frac{b^2+c^2-a^2}{c}$

⇔ c2 = b2 + c2 – a2

⇔ b2 = a2

⇔ b = a (vì a, b > 0)

Hay AC = BC.

Suy ra ∆ABC cân tại C.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: C

Giải thích:

• Theo hệ quả định lí sin ta có:

$\sin A=\frac{a}{2R}$, $\sin B=\frac{b}{2R}$ và $\sin C=\frac{c}{2R}$.

Ta có sin2A = sinB.sinC.

$\iff {\left(\frac{a}{2R}\right)}^2=\frac{b}{2R}.\frac{c}{2R}$

$\iff \frac{a^2}{{\left(2R\right)}^2}=\frac{bc}{{\left(2R\right)}^2}$

⇔ a2 = bc.

Do đó phương án A đúng.

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-bc}{2bc}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số b, c > 0, ta được b2 + c2 ≥ 2bc.

Do đó ta có $\cos A=\frac{b^2+c^2-bc}{2bc}\ge \frac{2bc-bc}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$.

Vì vậy $\cos A\ge \frac{1}{2}$.

Do đó phương án B đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: A

Giải thích:

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ và $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

$sinA=\frac{a}{2R};sinB=\frac{b}{2R};sinC=\frac{c}{2R}$.

• Ta có $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}$

⇔ sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC

$\iff \frac{a}{2R}.\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)=\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}$

$\iff \frac{a}{2R}.\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{b}\right)=\frac{b+c}{2R}$

$\iff \frac{1}{2}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{b}\right)=b+c$

$\iff \frac{b\left(a^2+c^2-b^2\right)+c\left(a^2+b^2-c^2\right)}{bc}=2\left(b+c\right)$

⇔ a²b + bc² – b³ + a²c + b²c – c³ = 2b²c + 2bc²

⇔ b³ + c³ – (a²b + a²c) + (b²c + bc²) = 0

⇔ (b + c)(b² – bc + c²) – a²(b + c) + bc(b + c) = 0

⇔ (b + c)(b² – bc + c² – a² + bc) = 0

⇔ (b + c)(b² + c² – a²) = 0

⇔ b + c = 0 (vô lí vì b, c > 0) hoặc b² + c² = a²

⇔ AC² + AB² = BC²

Áp dụng định lí Pytago đảo, ta được ∆ABC vuông tại A.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: B

Giải thích:

Diện tích ∆ABC là: $S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c$.

Suy ra $h_a=\frac{2S}{a};h_b=\frac{2S}{b};h_c=\frac{2S}{c}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}ac.\sin B=\frac{1}{2}ab.\sin C$.

Suy ra $\sin A=\frac{2S}{bc};\sin B=\frac{2S}{ac};\sin C=\frac{2S}{ab}$.

Ta có a.sinA + b.sinB + c.sinC = h_a + h_b + h_c

$\iff a.\frac{2S}{bc}+b.\frac{2S}{ac}+c.\frac{2S}{ab}=\frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}$

$\iff 2S.\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)=2S.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

$\iff \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

$\iff \frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}$

⇔ a² + b² + c2 = bc + ac + ab

⇔ 2a² + 2b² + 2c² = 2bc + 2ac + 2ab

⇔ (a² – 2ab + b²) + (a² – 2ac + c²) + (b² – 2bc + c²) = 0

⇔ (a – b)² + (a – c)² + (b – c)² = 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}a-b=0\\ a-c=0\\ b-c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=b\\ a=c\\ b=c\end{array}\right.$

⇔ a = b = c.

Vậy ∆ABC là tam giác đều.

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\frac{{\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B}{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}=\frac{1}{2}\left({\cot }^{2}A+{\cot }^{2}B\right)$.

$\iff \frac{{\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B}{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}+1=\frac{1}{2}\left(1+{\cot }^{2}A+1+{\cot }^{2}B\right)$

$\iff \frac{{\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\sin }^{2}A}+\frac{1}{{\sin }^{2}B}\right)$

$\iff \frac{2}{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}=\frac{1}{2}.\frac{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}{{\sin }^{2}A.{\sin }^{2}B}$

(Áp dụng kết quả Bài tập 5a và 5d, trang 65, Sách giáo khoa, Toán 10, Tập một).

⇔ (sin²A + sin²B)2 = 4.sin²A.sin²B

⇔ sin⁴A + 2.sin²A.sin²B + sin⁴B – 4.sin²A.sin²B = 0

⇔ sin⁴A – 2.sin²A.sin²B + sin⁴B = 0

⇔ (sin²A – sin²B)² = 0

⇔ sin²A = sin²B

Theo hệ quả định lí sin, ta được ${\left(\frac{a}{2R}\right)}^2={\left(\frac{b}{2R}\right)}^2$

$\iff \frac{a^2}{{\left(2R\right)}^2}=\frac{b^2}{{\left(2R\right)}^2}$

⇔ a² = b²

⇔ a = b hay BC = AC.

Vậy ∆ABC cân tại C.

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC, ta được:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

Suy ra 70² = 40² + AC² – 2.40.AC.cos45°

Do đó $A{C}^2-40\sqrt{2}.AC-3300=0$

Vì vậy $AC=10\sqrt{41}+20\sqrt{2}$ hoặc $AC=-10\sqrt{41}+20\sqrt{2}$.

Vì AC > 0 nên ta nhận $AC=10\sqrt{41}+20\sqrt{2}$ ≈ 92,3 (m)

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án: A

Giải thích:

Xét ∆ABH vuông tại H có $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{HB}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$.

Suy ra $\widehat{ABH}\approx 11°{19}^{\text{'}}$.

Ta có CB ⊥ BH (cái cây vuông góc với mặt đất)

Suy ra $\widehat{CBH}=90°$.

Do đó $\widehat{CBA}+\widehat{ABH}=90°$

Vì vậy $\widehat{CBA}=90°-\widehat{ABH}\approx 90°-11°{19}^{\text{'}}=78°{41}^{\text{'}}$.

∆ABC có $\widehat{CAB}+\widehat{CBA}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}\right)\approx 180°-\left(45°+78°{41}^{\text{'}}\right)=56°{19}^{\text{'}}$.

∆ABH vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta có:

AB² = AH² + BH²

= 4² + 20² = 416

Suy ra AB = $4\sqrt{26}$ (m)

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

Suy ra $\frac{BC}{\sin 45°}=\frac{4\sqrt{26}}{\sin 56°{19}^{\text{'}}}$

Do đó $BC=\frac{4\sqrt{26}.\sin 45°}{\sin 56°{19}^{\text{'}}}\approx 17,33$ (m).

Giá trị này gần với 17,5 (m)

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=180°$ (hai góc kề bù).

$\Rightarrow \widehat{BAD}=180°-\widehat{CAD}=180°-63°=117°$.

∆ABD có: $\widehat{BAD}+\widehat{ADB}+\widehat{ABD}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=180°-\left(\widehat{BAD}+\widehat{ABD}\right)=180°-\left(117°+48°\right)=15°$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABD, ta được $\frac{BD}{\sin \widehat{BAD}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}$

Suy ra $\frac{BD}{\sin 117°}=\frac{24}{\sin 15°}$

Do đó $BD=\frac{24.\sin 117°}{\sin 15°}\approx 82,6$ (m)

∆BCD vuông tại C: $\sin \widehat{CBD}=\frac{CD}{BD}$.

Suy ra $h=CD=BD.\sin \widehat{CBD}\approx 82,6.\sin 48°=61,4$ (m)

Giá trị này gần với 60,5 m.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=\widehat{BAD}=50°$

Do đó $\widehat{BAC}=50°-\widehat{CAD}=50°-40°=10°$.

∆ABD có: $\widehat{ABD}+\widehat{BAD}+\widehat{ADB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ABD}=180°-\left(\widehat{BAD}+\widehat{ADB}\right)=180°-\left(50°+90°\right)=40°$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}$

Suy ra $AC=\frac{BC.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{5.\sin 40°}{\sin 10°}\approx 18,5$ (m)

∆ACD vuông tại D: $\sin \widehat{CAD}=\frac{CD}{AC}$.

Suy ra $CD=AC.\sin \widehat{CAD}\approx 18,5.\sin 40°\approx 11,9$ (m)

Chiều cao của tòa nhà là:

CH = CD + DH = 11,9 + 7 = 18,9 (m)

Giá trị này gần với 19 m nhất.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{CAH}=\widehat{BAH}=90°$.

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90°-30°=60°$.

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=90°+15°{30}^{\text{'}}=105°{30}^{\text{'}}$$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$.

∆ABC có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=180°-\left(60°+105°{30}^{\text{'}}\right)=14°{30}^{\text{'}}$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

Suy ra $AC=\frac{AB.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{70.\sin 105°{30}^{\text{'}}}{\sin 14°{30}^{\text{'}}}\approx 269,4$ (m)

∆ACH vuông tại H: $\sin \widehat{CAH}=\frac{CH}{AC}$

Suy ra $CH=AC.\sin \widehat{CAH}\approx 269,4.\sin 30°=134,7$ (m)

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.

Giá trị này gần với 135 m nhất.

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án: C

Giải thích:

Bài toán trở thành tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp R của ∆ABC.

Nửa chu vi của ∆ABC là:

$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{2,56+4,18+6,17}{2}=6,455$ (cm)

Diện tích của ∆ABC là:

$S=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-BC\right)\left(p-AC\right)}$

$=\sqrt{6,455\left(6,455-2,56\right)\left(6,455-4,18\right)\left(6,455-6,17\right)}$

≈ 4,0375 (cm2).

Ta có $S=\frac{AB.BC.AC}{4R}$

Suy ra $R=\frac{AB.BC.AC}{4S}=\frac{2,56.4,18.6,17}{4.4,0375}\approx 4,088$ (cm).

Vậy bán kính của chiếc đĩa bằng khoảng 4,088 cm.

Do đó ta chọn phương án C.