Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{15}^2+{13}^2-{24}^2}{\mathrm{2.15.13}}=-\frac{7}{15}$

Do đó $\widehat{A}\approx 117°49\text{'}.$ 

Vậy  $\widehat{A}\approx 117°49\text{'}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=68°12\text{'},\widehat{B}=34°44\text{'},$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$ 

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-68°12\text{'}-34°44\text{'}=77°4\text{'}.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{117.\sin 34°44\text{'}}{\sin 77°4\text{'}}\approx 68.$ 

Vậy AC ≈ 68.

Đáp án đúng là: D

*Phương pháp giải:

- Tính góc A dựa vào công thức tính diện tích tam giác

- Tính BC theo định lý cosin

*Lời giải:

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2.12}{5.8}=\frac{3}{5}\Rightarrow \widehat{A}\approx 36°52\text{'}$  (vì góc A là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và $\widehat{A}\approx 36°52\text{'}$, áp dụng định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

BC² ≈ 5² + 8² – 2.5.8.cos36°52' ≈ 25

Þ BC ≈ 5.

Vậy BC ≈ 5.

* Các dạng bài tập và lý thuyết thêm giá trị lượng giác

Dạng 1: Tính toán các tỉ số lượng giác, độ dài các cạnh trong tam giác

 * Phương pháp giải: Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng gác, các góc

* Phương pháp giải : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại, áp dụng tính chất nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia và so sánh dựa trên các tính chất:

Nếu hai góc nhọn $\alpha , \beta$, có $\sin \alpha =\sin \beta$ hoặc $\cos \alpha =\cos \beta$ thì $\alpha =\beta$.

Dạng 3: Rút gọn, tính toán các biểu thức lượng giác

* Phương pháp giải: Áp dụng các tính chất: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia. Nếu là một góc nhọn bất kì thì:

Dạng 4: Chứng minh biểu thức, đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác

* Phương pháp giải:  Áp dụng các tính chất: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtan góc kia. Nếu là một góc nhọn bất kì thì:

Đối với bài chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của góc thì cần phải biến đổi sao cho không còn tồn tại các góc trong biểu thức.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Giải tam giác. Tính diện tích tam giác – Toán 10 Cánh diều 

Bài tập Giải tam giác và ứng dụng thực tế có đáp án

Trắc nghiệm Định lí côsin và định lí sin(có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\widehat{ABM}=\widehat{MBN}=\widehat{NBC}=\frac{\widehat{ABC}}{3}=\frac{90°}{3}=30°$ 

$\Rightarrow \widehat{ABN}=\widehat{MBC}=60°$ 

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABM ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AB.BM.$cos\widehat{ABM}$ 

Þ AM² = q² + x² – 2.q.x.cos30°

$\Rightarrow A{M}^2=q^2+x^2-2.q.x.\frac{\sqrt{3}}{2}=q^2+x^2-qx\sqrt{3}.$      (1)

Do đó phương án B là mệnh đề sai.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABN ta có:

AN² = AB² + BN² – 2.AB.BN.$cos\widehat{ABN}$ 

Þ AN² = q² + y² – 2.q.y.cos60°

$\Rightarrow A{N}^2=q^2+y^2-2.q.y.\frac{1}{2}=q^2+y^2-qy.$    (2)

Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

Từ (1) và (2) suy ra AM² ≠ AN² nên phương án A là mệnh đề sai.

Tam giác ABC vuông tại B nên AC² = AB² + BC² = q² + m².

Do đó phương án D là mệnh đề sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\widehat{CAB}=180°-51°40\text{'}=128°20\text{'}$

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-\widehat{CAB}-\widehat{ABC}$ 

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-128°20\text{'}-45°39\text{'}=6°1\text{'}.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow \frac{AC}{\sin 45°39\text{'}}=\frac{10}{\sin 6°1\text{'}}$ $\Rightarrow AC=\frac{10.\sin 45°39\text{'}}{\sin 6°1\text{'}}$

Xét tam giác ACH vuông tại H có: $CH=AC.\sin \widehat{CAH}$ 

$\Rightarrow CH=\frac{10.\sin 45°39\text{'}}{\sin 6°1\text{'}}.\sin 51°40\text{'}$ ≈ 53,51 (m)

Chiều cao của cột cờ là khoảng: 1,5 + 53,51 = 55,01 (m)

Vậy cột cờ cao khoảng 55,01 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ hình vẽ ta có $\widehat{ABC}=90°+15°30\text{'}=105°30\text{'}$ 

Xét tam giác ABC có $\widehat{CAB}=60°,\widehat{ABC}=105°30\text{'}$ ta có:

$\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-\widehat{CAB}-\widehat{ABC}$ 

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-60°-105°30\text{'}=14°30\text{'}.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{70.\sin 105°30\text{'}}{\sin 14°30\text{'}}\approx 269,4\left(m\right)$ 

Tam giác ACH vuông tại H nên ta có: $CH=AC.\sin \widehat{CAH}\approx 269,4.\sin 30°\approx 134,7\left(m\right)$ 

Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m.