10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Giải tam giác và ứng dụng thực tế có đáp án

Câu 1:

20/07/2024

Với số liệu đo được từ một bên bờ sông như hình vẽ bên, bạn hãy giúp nhân viên đo đạc tính khoảng cách giữa hai cái cây bên kia bờ sông.

Media VietJack

Xem đáp án

Gọi vị trí của người đo đạc đứng là điểm A và gọi B, C lần lượt là vị trí hai cái cây bên kia sông. Ta có tam giác ABC với AC = 100 m ; AB = 75 m và $\hat{A} = 32^{o}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có :

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = 75² + 100² – 2.75.100.cos32° ≈ 2 904,3.

⇒ BC ≈ $\sqrt{2904, 3}$ ≈ 53,9 m.

Vậy hai cái cây bên kia sông cách nhau khoảng 53,9 m.

Câu 2:

23/07/2024

Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) a = 17,4; $\hat{B} = 44^{o} 30'; \hat{C} = 64^{o}$ .

b) a = 10; b = 6; c = 8.

Xem đáp án

a) Tam giác ABC có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \Rightarrow \hat{A} = 180^{o} - (\hat{B} + \hat{C}) = 180^{o} - (44^{o} 30' + 64^{o}) = 71^{o} 30'$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \frac{17, 4}{\sin 71^{o} 30'} = \frac{b}{\sin 44^{o} 30'} = \frac{c}{\sin 64^{o}}$

Suy ra:

$b = \frac{17, 4. \sin 44^{o} 30'}{\sin 71^{o} 30'} \approx 12, 9$ ; $c = \frac{17, 4. \sin 64^{o}}{\sin 71^{o} 30'} \approx 16, 5$

Vậy tam giác ABC có: $\hat{A} = 71^{o} 30'$ ; $\hat{B} = 44^{o} 30'; \hat{C} = 64^{o}$ ; a = 17,4; b ≈ 12,9; c ≈ 16,5.

b) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{6^{2} + 8^{2} - 10^{2}}{2.6.8} = \frac{0}{96} = 0$

⇒ $\hat{A} = 90^{o}$ .

cosB = $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{10^{2} + 8^{2} - 6^{2}}{2.10.8} = \frac{128}{160} = 0, 8$

⇒ $\hat{B} \approx 36^{o} 52'$ .

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \Rightarrow \hat{C} = 180^{o} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{o} - (90^{o} + 36^{o} 52') = 53^{o} 8'$

Vậy tam giác ABC có: $\hat{A} = 90^{o}$ ; $\hat{B} = 36^{o} 52'$ ; $\hat{C} = 53^{o} 8'$ ; a = 10; b = 6; c = 8.

Câu 3:

18/07/2024

Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với vận tốc 450 km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc 25° về phía tây với tốc độ 630 km/h (Hình 5). Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilômét? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.

Media VietJack

Xem đáp án

Gọi A và B lần lượt là vị trí của hai máy bay sau khi cất cánh 90 phút.

Đổi 90 phút = 1,5 giờ.

Sau 90 phút (tức là sau 1,5 giờ) chiếc máy bay di chuyển theo hướng tây đi được quãng đường là: 450.1,5 = 675 km, tức là OA = 675 km.

Sau 90 phút (tức là sau 1,5 giờ) chiếc máy bay di chuyển theo hướng lệch bắc 25° về phía tây đi được quãng đường là: 630.1,5 = 945 km, tức là OB = 945 km.

Ta có $\hat{A O B} = 90^{o} - 25^{o} = 65^{o}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta có:

AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.cos = 675² + 945² – 2.675.945.cos65^o ≈ 809 494,8

⇒ AB = $\sqrt{809 494, 8} \approx 899, 7$ .

Vậy sau 90 phút hai máy bay cách nhau khoảng 899,7 km.

Câu 4:

16/07/2024

Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên Hình 6, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.

Media VietJack

Xem đáp án

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác CHL ta có:

cos $\hat{C L H}$ =

$\frac{C L^{2} + H L^{2} - C H^{2}}{2. C L . H L} = \frac{49^{2} + 104^{2} - 78^{2}}{2.49.104} \approx 0, 6999$

⇒ $\hat{C L H}$ ≈ 45°35'.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác RHL ta có:

cos $\hat{R L H}$ =

$\frac{R L^{2} + H L^{2} - R H^{2}}{2. R L . H L} = \frac{56^{2} + 104^{2} - 77^{2}}{2.56.104} \approx 0, 6888$

⇒ $\hat{R L H}$ ≈ 46°28'.

Suy ra $\hat{C L R} = \hat{C L H} + \hat{R L H} \approx 45^{o} 35 ’ + 46^{o} 28 ’ \approx 92^{o} 3'$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác LCR ta có:

CR² = CL² + LR² – 2.CL.LR.cos $\hat{C L R}$ = 49² + 56² – 2.49.56.cos92^o3’ ≈ 5 733,3

⇒ CR ≈ 75,7.

Vậy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá khoảng 75,7 km.

Câu 5:

22/07/2024

Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB = 14, AC = 23, $\hat{A} = 125^{o}$ ;

b) BC = 22, $\hat{B} = 64^{o}, \hat{C} = 38^{o}$ ;

c) AC = 22, $\hat{B} = 120^{o}, \hat{C} = 28^{o}$ ;

d) AB = 23, AC = 32, BC = 44.

Xem đáp án

a) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = 14² + 23² – 2.14.23.cos125° ≈ 1 094,4.

⇒ BC ≈ $\sqrt{1 094, 4} \approx 33, 1$ .

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosB = $\frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} = \frac{14^{2} + 33, 1^{2} - 23^{2}}{2.14.33, 1} \approx 0, 823$

⇒ $\hat{B} \approx 34^{o} 37'$

Mặt khác tam giác ABC có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \Rightarrow \hat{C} = 180^{o} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{o} - (125^{o} + 34^{o} 37') = 20^{o} 23'$

Vậy tam giác ABC có:

AB = 14, AC = 23, BC ≈ 33,1; $\hat{A} = 125^{o}$ ; $\hat{B} \approx 34^{o} 37'$ ; $\hat{C} \approx 20^{o} 23'$ .

b) Tam giác ABC có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \Rightarrow \hat{A} = 180^{o} - (\hat{B} + \hat{C}) = 180^{o} - (64^{o} + 38^{o}) = 78^{o}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Rightarrow \frac{22}{\sin 78^{o}} = \frac{A C}{\sin 64^{o}} = \frac{A B}{\sin 38^{o}}$

Suy ra: $A C = \frac{22. \sin 64^{o}}{\sin 78^{o}} \approx 20, 2$ ; $A B = \frac{22. \sin 38^{o}}{\sin 78^{o}} \approx 13, 8$

Vậy tam giác ABC có:

$\hat{A} = 78^{o}; \hat{B} = 64^{o}, \hat{C} = 38^{o}$ ; AB ≈ 13,8; AC ≈ 20,2; BC = 22.

c) Tam giác ABC có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \Rightarrow \hat{A} = 180^{o} - (\hat{B} + \hat{C}) = 180^{o} - (120^{o} + 28^{o}) = 32^{o}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Rightarrow \frac{B C}{\sin 32^{o}} = \frac{22}{\sin 120^{o}} = \frac{A B}{\sin 28^{o}}$

Suy ra: $B C = \frac{22. \sin 32^{o}}{\sin 120^{o}} \approx 13, 5$ ; $A B = \frac{22. \sin 28^{o}}{\sin 120^{o}} \approx 11, 9$

Vậy tam giác ABC có:

$\hat{A} = 32^{o}; \hat{B} = 120^{o}, \hat{C} = 28^{o}$ ; AB ≈ 11,9; AC = 22; BC = 13,5.

d) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{23^{2} + 32^{2} - 44^{2}}{2.23.32} = \frac{- 383}{1472} \approx - 0, 26$

⇒ $\hat{A} \approx 105^{o} 4'$

cosB =

$\frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} = \frac{23^{2} + 44^{2} - 32^{2}}{2.23.44} = \frac{1441}{2024} \approx 0, 712$

⇒ $\hat{B} = 44^{o} 36'$

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \Rightarrow \hat{C} = 180^{o} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{o} - (105^{o} 4' + 44^{o} 36') = 30^{o} 20'$

Vậy tam giác ABC có: $\hat{A} \approx 105^{o} 4'$ ; $\hat{B} = 44^{o} 36'$ ; $\hat{C} = 30^{o} 20'$ ; AB = 23, AC = 32, BC = 44.

Câu 6:

22/07/2024

Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 70°. Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.

Media VietJack

Xem đáp án

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cosC = 10² + 8² – 2.10.8.cos70° ≈ 109,3

⇒ AB ≈ $\sqrt{109, 3} \approx 10, 5$

Ta có : (AC + CB) – AB =(10 + 8) – 10,5 = 7,5.

Vậy vì không thể nối trực tiếp từ A đến B nên chiều dài dây tăng thêm 7,5 km.

Câu 7:

13/07/2024

Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 56,5° (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5 m.

Media VietJack

Xem đáp án

Gọi A, B, C, D lần lượt là điểm biểu diễn vị trí mắt của người quan sát, tâm cánh quạt, giao của hướng mắt nằm ngang và thân của quạt gió, vị trí chân cây quạt.

Vì tam giác ABC vuông tại C nên ta có :

tanA = $\frac{B C}{A C} = \frac{B C}{16}$

⇒ BC = 16.tan A = 16.tan56,5° ≈ 24,2 m

Do đó: BD = BC + CD = 24,2 + 1,5 = 25,7 m.

Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất khoảng 25,7 m.

Câu 8:

07/11/2024

Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 32° và 40° (Hình 9).

Media VietJack

Xem đáp án

Lời giải

Đặt BD = x km, khi đó ta có CB = BD + CD = x + 1.

Trong tam giác ABC vuông tại B ta có: $\tan \hat{A C B} = \tan 32^{o} = \frac{A B}{C B} = \frac{A B}{x + 1} \Rightarrow A B = (x + 1) \tan 32^{o} = x \tan 32^{o} + \tan 32^{o}$ (1)

Trong tam giác ABD vuông tại B ta có:

$\tan \hat{A D B} = \tan 40^{o} = \frac{A B}{B D} = \frac{A B}{x} \Rightarrow A B = x \tan 40^{o}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $x \tan 32^{o} + \tan 32^{o} = x \tan 40^{o} \Rightarrow x = \frac{\tan 32^{o}}{\tan 40^{o} - \tan 32^{o}} \approx 2, 92$

Suy ra AB = x.tan40° ≈ 2,92.tan40° ≈ 2,45 km.

Vậy chiều cao AB của một ngọn núi khoảng 2,45 km.

*Phương pháp giải:

Nắm vững công thức tỉ số lượng giác

*Lý thuyết:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.

Xem thêm

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

TOP 40 câu Trắc nghiệm Tỉ số lượng giác của góc nhọn và Bảng lượng giác (có đáp án 2024) - Toán 9

Câu 9:

22/07/2024

Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32° so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62°. Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là 70°. Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.

Media VietJack

Xem đáp án

Gọi R là vị trí của khinh khí cầu.

Do quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62° nên $\hat{R P Q} = 62^{o} - 32^{o} = 30^{o}$

Do quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu là 70° nên $\hat{R Q P} = 180^{o} - (70^{o} - 32^{o}) = 142^{o}$

Tam giác RPQ có:

$\hat{R} + \hat{R P Q} + \hat{R Q P} = 180^{o} \Rightarrow \hat{R} = 180^{o} - (\hat{R P Q} + \hat{R Q P}) = 180^{o} - (30^{o} + 142^{o}) = 8^{o}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác RPQ ta có:

$\frac{R Q}{\sin \hat{R P Q}} = \frac{P Q}{\sin R} \Rightarrow \frac{R Q}{\sin 30^{o}} = \frac{60}{\sin 8^{o}} \Rightarrow R Q = \frac{60 \sin 30^{o}}{\sin 8^{o}} \approx 215, 6$

Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu khoảng 215,6 m.

Câu 10:

21/07/2024

Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là 43°, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 62° và điểm mốc khác là 54° (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.

Media VietJack

Xem đáp án

Gọi vị trí người đứng ở trên tháp truyền hình là A, hai cột mốc ở dưới đất lần lượt là B và C, chân tháp truyền hình là D.

Khi đó ta có các tam giác ABD và ACD vuông tại D.

$\hat{B A D} = 62^{o}; \hat{C A D} = 54^{o}; \hat{B A C} = 43^{o}$ ; AD = 352 m.

Trong tam giác ABD vuông tại D ta có:

$\cos \hat{B A D} = \cos 62^{o} = \frac{A D}{A B} = \frac{352}{A B} \Rightarrow A B = \frac{352}{\cos 62^{o}} \approx 749, 8$

Trong tam giác ACD vuông tại D ta có:

$\cos \hat{C A D} = \cos 54^{o} = \frac{A D}{A C} = \frac{352}{A C} \Rightarrow A C = \frac{352}{\cos 54^{o}} \approx 598, 9$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC. cos $\hat{B A C}$

= 749,8² + 598,9² – 2.749,8.598,9. cos43° ≈ 264 044,9

⇒ BC = $\sqrt{264044, 9} \approx 513, 9$ m.

Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc khoảng 513,9 m.

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3