Lời giải

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right).\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=81$ nên chọn B.

Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} \left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt[]{{\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2} \\ =\sqrt[]{{\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}} \\ =\sqrt[]{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)} \\ =\sqrt{7-2\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Lời giải

$$\begin{gathered} \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}={\overrightarrow{CM}}^2 \\ \iff \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}-{\overrightarrow{CM}}^2=0 \\ \iff \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{MB}=0 \end{gathered}$$

Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC.

Lời giải

Ta có

$\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt[]{{\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2}$

$$\begin{gathered} =\sqrt[]{{\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}} \\ =\sqrt[]{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)} \\ =\sqrt{21} \end{gathered}$$

Lời giải

Phương án  A: 

$$\begin{gathered} \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right) \\ ={180}^0-\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\right)={130}^{\text{o}} \end{gathered}$$

nên loại A.

Phương án  B:

$$\begin{gathered} \left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\right) \\ =\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\right)={40}^{\text{o}} \end{gathered}$$

 nên loại B.

Phương án  C:

$$\begin{gathered} \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\right) \\ =\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)={50}^{\text{o}} \end{gathered}$$

 nên loại C.

Phương án  D:

$$\begin{gathered} \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right) \\ ={180}^0-\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)={140}^{\text{o}} \end{gathered}$$

nên chọn D.

Lời giải

$\overrightarrow{a}=\left(3;6\right);\overrightarrow{b}=\left(8;-4\right)$

Phương án  A:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=24-24=0$ nên loại  A

Phương án  B: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

 suy ra $\overrightarrow{a}$  vuông góc $\overrightarrow{b}$ nên loại  B

Phương án  C:

$$\begin{gathered} \left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right| \\ =\sqrt[]{3^2+6^2}.\sqrt[]{8^2+{\left(-4\right)}^2}\ne 0 \end{gathered}$$

 nên chọn C.

Lời giải

Ta có

$\overrightarrow{AB}=\left(3;-1\right)$,  $\overrightarrow{AC}=\left(4;2\right)$

suy ra

$$\begin{gathered} \cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC} \\ =\frac{10}{\sqrt{10}.\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)={45}^{\text{o}}$.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}=10$,$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-13$

 suy ra $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)=-16$.

Lời giải

Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)$ sau đó mới tính $\text{cos}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)$

Vì $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)={180}^{\text{o}}-\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)$

$={135}^{\text{o}}\Rightarrow \text{cos}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Lời giải

Ta có

$A\left(-3,2\right),B\left(4,3\right)$, gọi $M\left(x;0\right),x>0$.

Khi đó $\overrightarrow{AM}=\left(x+3;-2\right)$,$\overrightarrow{BM}=\left(x-4;-3\right)$

Theo YCBT $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$

$$\begin{gathered} \iff x^2-x-6=0 \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=-2\left(l\right)\\ x=3\end{array}\right.\Rightarrow M\left(3;0\right) \end{gathered}$$

Lời giải

Gọi $K\left(x;y\right)$ với $x,y\in ℝ$.

Khi đó $\overrightarrow{AK}=\left(x-2;y-5\right)$,

$3\overrightarrow{BC}=\left(12;-12\right)$ ,

$2\overrightarrow{CK}=\left(2x-10;2y+2\right)$ .

Theo YCBT $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CK}$

 nên $\left\{\begin{array}{l}x-2=12+2x-10\\ y-5=-12+2y+2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=5\end{array}\right.\Rightarrow K\left(-4;5\right)$

Lời giải

Ta có

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=a.a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$

$$\begin{gathered} =\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}\right).\overrightarrow{BC} \\ =\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC} \\ =\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}=-24{\text{\hspace{0.33em}cm}}^{\text{2}} \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=\left(-2\right).4+\left(-1\right).\left(-3\right)=-5$

Lời giải

Phương án A: do $\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$ nên loại A.

Phương án B:

$\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$,$\overrightarrow{BC}=\left(0;-4\right)$,$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-8$

suy ra $\overrightarrow{AB}$ không vuông góc $\overrightarrow{BC}$ nên loại B.

Phương án C : Ta có

$\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$,$\overrightarrow{AC}=\left(2;-2\right)$ ,$\overrightarrow{BC}=\left(0;-4\right)$ 

suy ra $AB=AC=\sqrt{8}$,$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$.

Nên Tam giác ABC vuông cân tại A.Do đó chọn C.

Lời giải

$$\begin{gathered} \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} \\ \iff \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0 \\ \iff \left(\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}\right).\overrightarrow{CB}=0 \\ \iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CB}=0 \end{gathered}$$

Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

Lời giải

Gọi $M\left(x;0\right)$, với $x\in ℝ$. Khi đó:

$\overrightarrow{AM}=\left(x-2;-2\right),\overrightarrow{BM}=\left(x-5;2\right)$

Theo YCBT ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0 \\ \iff \left(x-2\right)\left(x-5\right)-4 \\ =x^2-7\text{x}+6=0 \end{gathered}$$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=1\Rightarrow M\left(1;0\right)\\ x=6\Rightarrow M\left(6;0\right)\end{array}\right.$,nên chọn C.

Lời giải

Phương án A: $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-2\right)$, nên loại A.

Phương án B: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ nên loại B.

Phương án C :$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{13}$  nên loại C.$\overrightarrow{AC}=\left(3;-\frac{9}{2}\right)$

Phương án D:

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(6;-\frac{5}{2}\right)$

suy ra $BC=\sqrt[]{6^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\frac{13}{2}$

nên chọn D.

Lời giải

Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.

Bài toán cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ suy ra $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0^0$

Do đó :

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos 0^{\text{o}}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$

nên chọn A

Lời giải

Ta có:

$\overrightarrow{a}=\left(1;-2\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;-6\right)$,

suy ra:

$$\begin{gathered} \cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|} \\ =\frac{10}{\sqrt{5}.\sqrt{40}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)={\text{45}}^{\text{o}}$

Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} \cos \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}\right) \\ =\frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}}{\left|\overrightarrow{OM}\right|.\overrightarrow{\left|ON\right|}}=\frac{-5}{\sqrt{5}.\sqrt{10}} \\ =-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}\right)={135}^{\text{o}} \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{a}=\left(1;3\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;1\right)$

suy ra :

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.\left(-2\right)+3.1=1$

Lời gi

Phương án A:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.\left(-3\right)+\left(-1\right).4 \\ =-10\ne 0 \end{gathered}$$

Lời giải

Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2$ nên loại A

Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ nên loại B

Phương án C:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\left[\overrightarrow{a^2}+\overrightarrow{b^2}-{\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{a^2}+\overrightarrow{b^2}-\left(\overrightarrow{a^2}+\overrightarrow{b^2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right)\right] \\ =-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

 nên chọn C.

Lời giải

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.

Phương án  A:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC\cos {60}^{\text{o}} \\ =2x\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC} \end{gathered}$$

nên loại A.

Phương án B:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}=BC.AC\cos {120}^{\text{o}} \\ =-2 \end{gathered}$$

nên loại B.

Phương án C:

$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=4$,

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}=\mathrm{2.2.}\cos {120}^{\text{o}}=-2$

 nên chọn C.