15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Thông hiểu)

Câu 1:

23/07/2024

Trong mặt phẳng $(O; \vec{i}, \vec{j})$ cho 2 vec tơ $\vec{a} = 3 \vec{i} + 6 \vec{j}$ và $\vec{b} = 8 \vec{i} - 4 \vec{j}$ . Kết luận nào sau đây sai?

A. $\vec{a} . \vec{b} = 0$

B. $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

C. $|\vec{a}| . |\vec{b}| = 0$

D. $|\vec{a} . \vec{b}| = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

$\vec{a} = (3; 6), \vec{b} = (8; - 4)$

Phương án A: $\vec{a} . \vec{b} = 24 - 24 = 0$ nên loại A

Phương án B: $\vec{a} . \vec{b} = 0$ suy ra $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ nên loại B

Phương án C: $|\vec{a}| . |\vec{b}| = \sqrt{3^{2} + 6^{2}} . \sqrt{8^{2} + {(- 4)}^{2}} \neq 0$ nên chọn C

Câu 2:

23/07/2024

Trong mặt phẳng Oxy cho $A (1; 2), B (4; 1), C (5; 4)$ . Tính $\hat{B A C}$

A. $60^{\circ}$

B. $45^{\circ}$

C. $90^{\circ}$

D. $120^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\vec{A B} = (3; - 1), \vec{A C} = (4; 2)$

Suy ra $\cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C} = \frac{10}{\sqrt{10} . \sqrt{20}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (\vec{A B}; \vec{A C}) = 45^{0}$

Câu 3:

19/07/2024

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm $A (1; 2), B (- 1; 1), C (5; - 1)$ . Tính cosin góc giữa hai vec tơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$

A. $\cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = - \frac{1}{2}$

B. $\cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = - \frac{2}{5}$

D. $\cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\vec{A B} = (- 2; - 1), \vec{A C} = (4; - 3)$

Suy ra

$\cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{|\vec{A B}| . |\vec{A C}|} = \frac{- 2.4 + (- 1) . (- 3)}{\sqrt{4 + 1} . \sqrt{16 + 9}} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Câu 4:

16/07/2024

Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c, AC = b. Tính $\vec{B A} . \vec{B C}$

A. $\vec{B A} . \vec{B C} = b^{2}$

B. $\vec{B A} . \vec{B C} = c^{2}$

C. $\vec{B A} . \vec{B C} = b^{2} + c^{2}$

D. $\vec{B A} . \vec{B C} = b^{2} - c^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$\vec{B A} . \vec{B C} = B A . B C . \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = B A . B C . \cos \hat{B} = c \sqrt{b^{2} + c^{2}} . \frac{c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} = c^{2}$

Cách khác:

Tam giác ABC vuông tại A suy ra $A B ⊥ A C \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 0$

Ta có:

$\vec{B A} . \vec{B C} = \vec{B A} . (\vec{B A} + \vec{A C}) = {\vec{B A}}^{2} + \vec{B A} . \vec{A C} = A B^{2} = c^{2}$

Câu 5:

24/09/2024

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính $\vec{A E} . \vec{A B}$

A. $\vec{A E} . \vec{A B} = 2 a^{2}$

B. $\vec{A E} . \vec{A B} = \sqrt{3} a^{2}$

C. $\vec{A E} . \vec{A B} = \sqrt{5} a^{2}$

D. $\vec{A E} . \vec{A B} = 5 a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có C là trung điểm của DE nên DE = 2a

Khi đó

$\vec{A E} . \vec{A B} = (\vec{A D} + \vec{D E}) . \vec{A B} = \underset{0}{\underset{⏟}{\vec{A D} . \vec{A B}}} + \vec{D E} . \vec{A B} = D E . A B . \cos (\vec{D E}, \vec{A B}) = D E . A B . \cos 0^{0} = 2 a^{2}$

*Lý thuyết liên quan

Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau.

+ Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

+ Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu là $\vec{a}$ = $\vec{b}$ , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Ví dụ:

Trong hình trên đường thẳng m đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ $\vec{a}$ , nên đường thẳng m gọi là giá của vectơ $\vec{a}$ .

Tương tự, đường thẳng n là giá của hai vectơ $\vec{b}$ và $\vec{c}$ .

Đường thẳng m và n song song với nhau nên ba vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ và $\vec{c}$ là các vectơ cùng phương.

$\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương nhưng ngược hướng; $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng phương và cùng hướng.

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng hướng, ngoài ra chúng có độ dài bằng nhau nên $\vec{a}$ = $\vec{c}$ .

Chú ý:

+ Ta cũng xét các vectơ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn $\vec{A A}$ , $\vec{B B}$ ), gọi là các vectơ–không.

+ Ta quy ước vectơ–không có độ dài bằng 0, cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.

+ Các vectơ–không có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau và được kí hiệu chung là $\vec{0}$ .

+ Với mỗi điểm O và vectơ $\vec{a}$ cho trước, có duy nhất điểm A sao cho $\vec{O A} = \vec{a}$ .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ cùng phương.

Chú ý: Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.

Xem thêm các bài toán hay, chi tiết khác

Lý thuyết Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu - Kết nối tri thức

Giải Toán 10 Bài 7 (Kết nối tri thức): Các khái niệm mở đầu

Câu 6:

18/07/2024

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\vec{D A} . \vec{C B} = a^{2}$

B. $\vec{A B} . \vec{C D} = - a^{2}$

C. $(\vec{A B} + \vec{B C}) . \vec{A C} = a^{2}$

D. $\vec{A B} . \vec{A D} + \vec{C B} . \vec{C D} = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương án A: Do $\vec{D A} . \vec{C B} = D A . C B . \cos 0^{\circ} = a^{2}$ nên A đúng, loại A.

Phương án B: Do $\vec{A B} . \vec{C D} = A B . C D . \cos 180^{\circ} = - a^{2}$ nên B đúng, loại B.

Phương án C: $(\vec{A B} + \vec{B C}) . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A C} = A C^{2} = {(a \sqrt{2})}^{2} = 2 a^{2}$ nên C sai, chọn C.

Phương án D: $\vec{A B} . \vec{A D} + \vec{C B} . \vec{C D} = 0$ đúng vì AB⊥AD, CB⊥CD

Câu 7:

22/07/2024

Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 4a, đáy nhỏ CD = 2a, đường cao AD = 3a; I là trung điểm của AD. Câu nào sau đây sai?

A. $\vec{A B} . \vec{D C} = 8 a^{2}$

B. $\vec{A D} . \vec{C D} = 0$

C. $\vec{A D} . \vec{A B} = 0$

D. $\vec{D A} . \vec{D B} = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương án A: $\vec{A B} . \vec{D C} = A B . D C . \cos 0^{0} = 8 a^{2}$ nên loại A

Phương án B: $A D ⊥ C D$ suy ra $\vec{A D} . \vec{C D} = 0$ nên loại B

Phương án C: $A D ⊥ A B$ suy ra $\vec{A D} . \vec{A B} = 0$ nên loại C

Phương án D: $\vec{D A}$ không vuông góc với $\vec{D B}$ suy ra $\vec{D A} . \vec{D B} \neq 0$ nên chọn D

Câu 8:

23/07/2024

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $\vec{A B} . \vec{A C}$

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = a^{2}$

B. $\vec{A B} . \vec{A C} = a^{2} \sqrt{2}$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{\sqrt{2}}{2} a^{2}$

D. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C} = 45^{0}$ nên

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos 45^{0} = a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2}$

Câu 9:

21/07/2024

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính $\vec{A B} . \vec{B C}$

A. $\vec{A B} . \vec{B C} = - a^{2}$

B. $\vec{A B} . \vec{B C} = a^{2}$

C. $\vec{A B} . \vec{B C} = - \frac{a^{2}}{2}$

D. $\vec{A B} . \vec{B C} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Xác định được góc $(\vec{A B}, \vec{B C})$ là góc ngoài của góc $\hat{B}$ nên $(\vec{A B}, \vec{B C}) = 135^{0}$

Do đó

$\vec{A B} . \vec{B C} = A B . B C . \cos (\vec{A B}, \vec{B C}) = a . a \sqrt{2} . \cos 135^{0} = - a^{2}$

Câu 10:

12/07/2024

Cho hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều có độ dài bằng 1 thỏa mãn $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ . Hãy xác định $(3 \vec{a} - 4 \vec{b}) (2 \vec{a} + 5 \vec{b})$

A. 7

B. 5

C. -7

D. -5

Xem đáp án

Đáp án C

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1; |\vec{a} + \vec{b}| = 2 \Leftrightarrow {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = 4 \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 1 (3 \vec{a} - 4 \vec{b}) (2 \vec{a} + 5 \vec{b}) = 6 {\vec{a}}^{2} - 20 {\vec{b}}^{2} + 7 \vec{a} . \vec{b} = - 7$

Câu 11:

19/07/2024

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vec tơ $\vec{u} = \frac{1}{2} \vec{i} - 5 \vec{j}$ và $\vec{v} = k \vec{i} - 4 \vec{j}$ . Tìm k để vec tơ $\vec{u} ⊥ \vec{v}$

A. k = 20

B. k = -20

C. k = -40

D. k = 40

Xem đáp án

Đáp án C

Từ giả thiết suy ra $\vec{u} = (\frac{1}{2}; - 5), \vec{v} = (k; - 4)$

Yêu cầu bài toán $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} k + (- 5) (- 4) = 0 \Leftrightarrow k = - 40$

Câu 12:

19/07/2024

Cho M là trung điểm AB, tìm biểu thức sai:

A. $\vec{M A} . \vec{A B} = - M A . A B$

B. $\vec{M A} . \vec{M B} = - M A . M B$

C. $\vec{A M} . \vec{A B} = A M . A B$

D. $\vec{M A} . \vec{M B} = M A . M B$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương án A: $\vec{M A}, \vec{A B}$ ngược hướng suy ra

$\vec{M A} . \vec{A B} = M A . A B . \cos 180^{0} = - M A . A B$ nên loại A

Phương án B: $\vec{M A}, \vec{M B}$ ngược hướng suy ra

$\vec{M A} . \vec{M B} = M A . M B . \cos 180^{0} = - M A . M B$ nên loại B

Phương án C: $\vec{A M}, \vec{A B}$ cùng hướng suy ra

$\vec{A M} . \vec{A B} = A M . A B . \cos 0^{0} = A M . A B$ nên loại C

Phương án D: $\vec{M A}, \vec{M B}$ ngược hướng suy ra

$\vec{M A} . \vec{M B} = M A . M B . \cos 180^{0} = - M A . M B$ nên chọn D

Câu 13:

22/07/2024

Cho hình vuông ABCD tâm O. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\vec{O A} . \vec{O B} = 0$

B. $\vec{O A} . \vec{O C} = \frac{1}{2} \vec{O A} . \vec{A C}$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A B} . \vec{C D}$

D. $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A D}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương án A: $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ suy ra $\vec{O A} . \vec{O B} = 0$ nên loại A

Phương án B: $\vec{O A} . \vec{O C} = \vec{O A} . (\frac{1}{2} \vec{A C}) = \frac{1}{2} \vec{O A} . \vec{A C}$ nên loại B

Phương án C:

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos 45^{0} = A B . A B . \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = A B^{2} \vec{A B} . \vec{C D} = A B . D C . \cos 180^{0} = - A B^{2}$

$\Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} \neq \vec{A B} . \vec{C D}$ nên chọn C

Câu 14:

15/07/2024

Cho tam giác đều ABC cạnh a, với đường cao BK. Câu nào sau đây đúng?

A. $(\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C} = a^{2}$

B. $\vec{C B} . \vec{C K} = \frac{a^{2}}{8}$

C. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{a^{2}}{2}$

D. $\vec{C B} . \vec{C K} = \frac{a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương án A: do

$(\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C} = \vec{A B} . \vec{B C} + \vec{A C} . \vec{B C} = - \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2} = 0$

nên loại A

Phương án B: do $\vec{C B} . \vec{C K} = C B . C K . \cos 60^{0} = \frac{a^{2}}{4}$ nên loại B và loại D

Phương án C: do $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos 60^{0} = \frac{a^{2}}{2}$ nên chọn C

Câu 15:

22/07/2024

Cho hình vuông ABCD, tính $\cos (\vec{A B}, \vec{C A})$

A. $\frac{1}{2}$

B. $- \frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì:

$(\vec{A B}, \vec{C A}) = 180^{0} - (\vec{A B}, \vec{A C}) = 135^{0} \Rightarrow \cos (\vec{A B}, \vec{C A}) = \cos 135^{0} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3