Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Tích vô hướng của hai vectơ

Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Giải Toán 10 trang 98 Tập 1

Hoạt động khám phá 1 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

a) Tính $\widehat{IDC}$.

b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.

c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

a) Hình vuông ABCD có tâm I nên IA = IB = IC = ID và AC $\perp$ BC tại I.

Do đó tam giác IDC vuông cân tại I.

Khi đó $\widehat{I\text{D}C}$ = 45^o.

b) Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là I là vectơ $\overrightarrow{DI}$.

Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là C là vectơ $\overrightarrow{DC}$.

c) Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\overrightarrow{IB}$ là vectơ $\overrightarrow{DI}$.

Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ $\overrightarrow{DC}$.

Giải Toán 10 trang 99 Tập 1

Thực hành 1 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right),\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right),\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right),\left(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC}\right)$,$\left(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{BC}\right)$.

Lời giải:

Dựng hình bình hành ABCD.

Do tam giác ABC đều nên $\widehat{BAC}$ = 60^o, do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ = 60^o.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A\text{D}}$.

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\text{D}}\right)$.

Do ABCD là hình bình hành nên $\widehat{ABC}+\widehat{BA\text{D}}=180°$.

Do đó $\widehat{BA\text{D}}=180°-\widehat{ABC}$ = 180^o - 60^o = 120^o.

Khi đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\text{D}}\right)$ = 120^o hay $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)$ = 120^o.

Tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC nên AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác ABC.

Do đó AH $\perp$ BC nên $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right)$ = 90^o.

Hai vectơ $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $\left(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC}\right)$ = 0^o.

Hai vectơ $\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng nên $\left(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{BC}\right)$ = 180^o.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Hoạt động khám phá 2 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ kéo môt chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$, biết rằng góc giữa vectơ $\overrightarrow{F}$ và hướng di chuyển là 45°. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\overrightarrow{F}$, độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{F}$ và độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$).

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng:

$\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)$ = 10 . 100 . cos 45^o ≈ 707 J.

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ khoảng 707 J.

Giải Toán 10 trang 100 Tập 1

Thực hành 2 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền bằng $\sqrt{2}$. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AB $\perp$ AC.

Do đó $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông cân tại A ta có:

AB² + AC² = BC²

$\Rightarrow$2AB² = 2

$\Rightarrow$ AB² = 1

$\Rightarrow$ AB = 1 (do AB là độ dài đoạn thẳng nên AB > 0)

Tam giác vuông cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ = 45^o.

Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CA}.\left(-\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$.

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{CB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\right)$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos $\widehat{ACB}$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos 45^o = 1.

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$ = 1.

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{BA}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos $\widehat{ABC}$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos 45^o = 1.

Do đó $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ = 1.

Thực hành 3 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là $12\sqrt{2}$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=12\sqrt{2}$

$\Rightarrow$ 3 . 8 . $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=12\sqrt{2}$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 45^o.

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng 45°.

Vận dụng 1 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\overrightarrow{F}$. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$.

Lời giải:

Do vật dịch chuyển cùng hướng với $\overrightarrow{F}$ nên góc tạo bởi vectơ hướng di chuyển của vật và $\overrightarrow{F}$ bằng 0^o.

Khi đó công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng:

20 . 50 . cos 0^o = 1 000 J.

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng 1 000 J.

3. Tính chất của tích vô hướng

Giải Toán 10 trang 101 Tập 1

Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính: ${\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)}^2;{\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)}^2;\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$.

b) Cho $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j},\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và tính góc $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải:

Do hai vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ vuông góc nên $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|cos90°=0$.

a) Ta có ${\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)}^2={\overrightarrow{i}}^2+2\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+{\overrightarrow{j}}^2={\left|\overrightarrow{i}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|.cos90°+{\left|\overrightarrow{j}\right|}^2$ = 1² + 2 . 0 + 1² = 2.

${\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)}^2={\overrightarrow{i}}^2-2\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+{\overrightarrow{j}}^2={\left|\overrightarrow{i}\right|}^2-2\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|.cos90°+{\left|\overrightarrow{j}\right|}^2$ = 1² - 2 . 0 + 1² = 2.

$\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)={\overrightarrow{i}}^2-{\overrightarrow{j}}^2$ = ${\left|\overrightarrow{i}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{j}\right|}^2$= 1² - 1² = 0.

b) $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}=2\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)$; $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}=3\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).3\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)=6\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$ = 6 . 0 = 0.

Khi đó cos $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$= 0 (do $\left|\overrightarrow{a}\right|$ > 0 và $\left|\overrightarrow{b}\right|$ > 0).

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 90^o.

Vận dụng 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Phân tử sulfur dioxide (SO₂) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\widehat{OSO}$ gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ $\overrightarrow{{\mu }_1}$ và $\overrightarrow{{\mu }_2}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\overrightarrow{\mu }=\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO₂. Tính độ dài của $\overrightarrow{\mu }$.

Lời giải:

Do $\overrightarrow{\mu }=\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}$ nên $\left|\overrightarrow{\mu }\right|=\left|\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right|$.

Ta có ${\left|\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right|}^2={\left(\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right)}^2={\overrightarrow{{\mu }_1}}^2+2\overrightarrow{{\mu }_1}.\overrightarrow{{\mu }_2}+{\overrightarrow{{\mu }_2}}^2$

$=1,6^2+2\left|\overrightarrow{{\mu }_1}\right|.\left|\overrightarrow{{\mu }_2}\right|.\cos \left(\overrightarrow{{\mu }_1},\overrightarrow{{\mu }_2}\right)+1,6^2$

= 1,6² + 2 . 1,6 . 1,6 . cos 120^o + 1,6²

= 2,56

Do đó $\left|\overrightarrow{\mu }\right|=\left|\overrightarrow{{\mu }_1}+\overrightarrow{{\mu }_2}\right|=\sqrt{2,56}$ = 1,6.

Vậy độ dài của $\overrightarrow{\mu }$ bằng 1,6 đơn vị.

Bài tập

Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}$,$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{BD}}$.

Lời giải:

AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh bằng a nên

AC = $\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$.

Ta có ABCD là hình vuông nên AC = BD = $\sqrt{2}a$.

Vì AB $\perp$ AD nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{A\text{D}}$ ⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}$ = 0.

Tam giác ABC vuông cân tại B nên $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$ = 45^o.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ = a . $\sqrt{2}a$. cos $\widehat{BAC}$ = $\sqrt{2}$a² . cos 45^o = a².

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = a².

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{\text{CB}}=-\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{CB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$

= -$\sqrt{2}a$ . a . cos $\widehat{BCA}$ = $-\sqrt{2}$a² . cos 45^o = -a².

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}$ = -a².

Do ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD.

Do đó $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{B\text{D}}$ nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B\text{D}}=$0.

Bài 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}$

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}$

Lời giải:

a) AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài hai cạnh lần lượt là 2a và a.

Do đó AC = $\sqrt{{\left(2\text{a}\right)}^2+a^2}=\sqrt{5}a$ (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0).

Hình chữ nhật ABCD có tâm O nên O là trung điểm của AC.

Do đó AO = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{\sqrt{5}a}{2}$.

Tam giác ABC vuông tại B nên $\text{cos}\widehat{BAC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AO}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}\right)$ = 2a . $\frac{\sqrt{5}a}{2}$ . cos $\widehat{BAO}$ = = 2a . $\frac{\sqrt{5}a}{2}$ . $\frac{2}{\sqrt{5}}$ = 2a².

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=2a^2$.

b) Do AB $\perp$ AD nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{A\text{D}}$ do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}=0$.

Bài 3 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

Lời giải:

a)

Do O nằm ngoài đoạn thẳng AB nên hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng.

Do đó $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$ = 0^o.

Khi đó $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$ = a . b . cos 0^o = a.b.

b)

Do O nằm trong đoạn thẳng AB nên hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng.

Do đó $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$ = 180^o.

Khi đó $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$ = a . b . cos 180^o = -a.b.

Bài 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=M{O}^2-O{A}^2$.

Lời giải:

Do O là trung điểm của AB nên $-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$.

Khi đó $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{OA}\right)$

$={\overrightarrow{MO}}^2-{\overrightarrow{OA}}^2$ = MO² - OA².

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ = MO² - OA².

Bài 5 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực $\overrightarrow{F}$ hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$.

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng: $\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|.cos\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)=$ 90 . 100 . cos 60^o = 4 500 J.

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng 4 500 J.

Bài 6 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Lời giải:

Gọi hai vectơ đó lần lượt là $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Khi đó ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = -6.

$\Rightarrow$ 3 . 4 . $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = -6

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{-1}{2}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 120^o.

Vậy góc giữa hai vectơ đó bằng 120^o.

Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ- Chân trời sáng tạo

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$.

Góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Nếu $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90°$ thì ta nói rằng $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

Chú ý:

+ Từ định nghĩa, ta có $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\right)$.

+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác $\overrightarrow{0}$ luôn bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác $\overrightarrow{0}$ luôn bằng 180°.

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}$ hoặc $\overrightarrow{b}$ là $\overrightarrow{0}$ thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và $\widehat{BAD}=60°$. Tính số đo các góc:

a) $\left(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{CD}\right)$.

b) $\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{AO}\right)$.

c) $\left(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{AC}\right)$.

d) $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AC}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm BD (tính chất hình thoi).

Suy ra OD = BO.

Mà $\overrightarrow{OD},\overrightarrow{BO}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}$ (1).

Vì ABCD là hình thoi nên ta có CD // BA và CD = BA.

Mà $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{BA}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (2).

Từ (1) (2), ta suy ra $\left(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BA}\right)=\widehat{OBA}$.

Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

Mà $\widehat{BAD}=60°$.

Suy ra tam giác ABD đều.

Do đó $\widehat{DBA}=60°$ hay $\widehat{OBA}=60°$.

Vậy $\left(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{CD}\right)=\widehat{OBA}=60°$.

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm AC (tính chất hình thoi).

Do đó AO = OC.

Mà $\overrightarrow{AO},\overrightarrow{OC}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$.

Ta suy ra $\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{AO}\right)=\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)=\widehat{BOC}$.

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó $\widehat{BOC}=90°$.

Vậy $\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{AO}\right)=\widehat{BOC}=90°$.

c) Vì $\overrightarrow{OC},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng nên $\left(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{AC}\right)=0°$.

d) Vì $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AC}$ ngược hướng nên $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AC}\right)=180°$.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$.

Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$, được xác định bởi công thức:$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Chú ý:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng $\overrightarrow{0}$, ta quy ước $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.

b) Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta có $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.

c) Khi $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ thì tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ được kí hiệu là ${\overrightarrow{a}}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}$.

Ta có ${\overrightarrow{a}}^2=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|.\cos 0°={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$. Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải

- Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC.

Do đó $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$.

- Vẽ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$. Khi đó ta có $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CBD}$.

Vì $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$ nên ta có ABDC là hình bình hành.

Mà $\widehat{BAC}=90°$ và AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A).

Do đó ABDC là hình vuông.

Ta suy ra đường chéo BC là phân giác của $\widehat{ABD}$.

Do đó $\widehat{CBD}=\frac{\widehat{ABD}}{2}=\frac{90°}{2}=45°$.

Khi đó ta có $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CBD}=45°$.

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC² = AB² + AC² (Định lý Py ‒ ta ‒ go)

⇔ BC² = a² + a² = 2a²

⇒ BC = $a\sqrt{2}$.

Ta có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{AC}.\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=AC.BC.\cos 45°=a.a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$.

- Tam giác ABC cân tại A. Ta suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$.

Tam giác ABC vuông tại A: $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90°$ .

$\iff 2\widehat{ABC}=90°$.

Do đó $\widehat{ABC}=45°$.

Suy ra $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{ABC}=45°$.

Ta có $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{BA}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=BA.BC.\cos 45°=a.a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$.

Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{d}$ biểu diễn công A sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ khi thực hiện độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$. Ta có công thức: $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}$.

Ví dụ: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 150 N kéo một thùng gỗ trượt trên sàn nhà bằng một sợi dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ khi thùng gỗ trượt được 40 m.

Hướng dẫn giải

Gọi A, $\overrightarrow{d}$ lần lượt là công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ và độ dịch chuyển của thùng gỗ.

Theo đề, ta có lực $\overrightarrow{F}$ hợp với phương ngang (hướng dịch chuyển) một góc 45°.

Suy ra $\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)=45°$.

Ta có A = $\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)=\mathrm{150.40.}\cos 45°=3000\sqrt{2}$ (J).

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là $3000\sqrt{2}$ (J).

3. Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ bất kì và mọi số k, ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$; $\left(k\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{b}=k\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}.\left(k\overrightarrow{b}\right)$.

Ví dụ: Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng:

${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:

${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$;

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = BC, b = AC, c = AB. Tính cạnh BC theo hai cạnh còn lại và góc A bằng cách sử dụng tính chất của vectơ và tích vô hướng của hai vectơ.

Hướng dẫn giải

Ta có BC² = ${\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2.\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

$=A{C}^2+A{B}^2-2.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$

= AC² + AB² – 2AC.AB.cosA

Vậy BC² = AC² + AB² – 2AC.AB.cosA hay a² = b² + c² – 2bc.cosA.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ