Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Với giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 4.

1 1914 lượt xem
Tải về


Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ 

Giải Toán 10 trang 64 Tập 2

Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán lớp 10 Tập 2: Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm F1 và F2. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn F1F2. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Cho biết 2c là khoảng cách F1F2 và 2a + 2c là độ dài của vòng dây. Tính tổng hai khoảng cách F1M và F2M.

Lời giải:

Ta có độ dài vòng dây là : F1M + F2M + F1F2  = 2a + 2c

F1M + F2M = (2a + 2c) − F1F2  = (2a + 2c) – 2c  = 2a

Vậy F1M + F2M = 2a.

Hoạt động khám phá 2 trang 64 Toán lớp 10 Tập 2: Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2 và đặt F1F2 = 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(−c; 0) và F2(c; 0). Xét điểm M(x; y).

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

a) Tính F1M và F2M theo x, y và c.

b) Giải thích phát biểu sau:  M(x; y)  (E)  (x+c)2+y2+(xc)2+y2  = 2a

Lời giải:

a) Ta có: F1M  = ( x + c; y) ; F2M  = (x – c ; y).

Khi đó F1M  = F1M = (x+c)2+y2 ; F2M  = F2M = (xc)2+y2 ;

Vậy F1M = (x+c)2+y2 ; F2M = (xc)2+y2 .

b) Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M + F2M = 2a

 (x+c)2+y2+(xc)2+y2  = 2a.

Vậy M(x; y)  (E)  (x+c)2+y2+(xc)2+y2  = 2a

Giải Toán 10 trang 65 Tập 2

Thực hành 1 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2:  Viết phương trình chính tắc của elip trong Hình 4.

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Lời giải:

Ta có: a = 3; b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: x29+y24=1 .

Vận dụng 1 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao 4m, rộng 10m (Hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Lời giải:

Ta có: 2a = 10  a = 5b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: x225+y216=1 .

Hoạt động khám phá 3 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm F1 và F2. Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d − l = 2a nhỏ hơn khoảng cách F1F2 (Hình 6a).

Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm F2. Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm F1 và đoạn thẳng BA có thể quay quanh F1. Tựa đầu bút chì M vào đoạn dây, di chuyển M  trên tấm bìa và giữ một đường (H) (xem Hình 6b).

a) Chứng tỏ rằng khi M di động, ta luôn có MF1 – MF2 = 2a.

b) Vẫn đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F1, đầu B của thước trùng với F2 sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F2 và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (Hình 6c). Tính MF2 – MF1.

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Lời giải:

a) Ta có: MF2 + MA = l   MA = l – MF2

Lại có MF1 + MA = d  MF1 + l – MF2 = d  MF1 – MF2 = d − l = 2a

Vậy MF1 – MF2 = 2a.

b) Khi đính một đầu dây vào đầu A của thướcvà đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F1, đầu B của thước trùng với F2 sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F2 và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (Hình 6c) thì ta có:  MF1+ MA = l   MA = l – MF1

Lại có MF2+ MA = d  MF2 + l – MF1 = d  MF2 – MF1 = d − l = 2a

Vậy MF2 – MF1 = 2a.

Giải Toán 10 trang 66 Tập 2

Hoạt động khám phá 4 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hypebol (H) có các tiêu điểm F1 và F2 và đặt F1F2 = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi và chỉ khi |F1M – F2M| = 2a. Chọn hệ trục tóa độ Oxy sao cho F1 = (−c; 0) và F2 = (c; 0). Xét điểm M(x; y).

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

a) Tính F1M và F2M theo x, y và c.

b) Giải thích phát biểu sau: M(x; y)  (H)  (x+c)2+y2(xc)2+y2  = 2a

Lời giải:

a) Ta có: F1M  = ( x + c; y) ; F2M  = (x – c ; y).

Khi đó F1M  = F1M = (x+c)2+y2 ; F2M  = F2M = (xc)2+y2 ;

Vậy F1M = (x+c)2+y2 ; F2M = (xc)2+y2 .

b) Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F1M  F2M |= 2a

 (x+c)2+y2(xc)2+y2 = 2a.

Vậy M(x; y)  (H (x+c)2+y2(xc)2+y2  = 2a

Giải Toán 10 trang 67 Tập 2

Thực hành 2 trang 67 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục ảo bằng 6.

Lời giải:

Ta có tiêu cự bằng 10 nên 2c = 10  c = 5; độ dài trục ảo bằng 6 nên 2b = 6  b = 3

Ta lại có a2c2 – b2 52 – 32 = 16 a = 4

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là:

x2a2y2b2=1x242y232=1x216y29=1

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: x216y29=1 .

Vận dụng 2 trang 67 Toán lớp 10 Tập 2: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là một hypebol có phương trình x2272y2402=1 (Hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc thấp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp.

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Lời giải:

Theo bài ra khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy mà tổng hai khoảng cách này bằng 120m nên ta có:

− Khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng 40m;

− Khoảng cách từ tâm O đến đáy bằng 80m.

Thay y = 40 vào phương trình (H), ta được: 

x2272y2402=1  x2 = 1 107 x = ±  1107  x ≈ ± 33,3

 Bán kính đường tròn nóc bằng 33,3 m.

Thay y = 80 vào phương trình (H), ta được:  

x2272802402=1  x2 = 3 645  x = ± 3645  x ≈ ± 60,4

 Bán kính đường tròn đáy bằng 60,4 m.

Vậy bán kính nóc và bán kính đáy của tháp lần lượt là 33,3 (m) và  60,4 (m).

Giải Toán 10 trang 68 Tập 2

Hoạt động khám phá 5 trang 68 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm F(0;12), đường thẳng Δ: y + 12 = 0 và điểm M(x; y). Để tìm hệ thức liên hệ giữa x và y sao cho M cách đều F và Δ, một học sinh đã làm như sau:

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

+ Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M lên Δ):

MF = x2+y122, MH = d(M, Δ) = y+12 .

+ Điều kiện để M cách đều F và Δ:

MF = d(M, Δ x2+y122 y+12

 x2+y122 y+122

 x2 = 2y  y = 12 x2. (*)

Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.

Lời giải:

Đồ thị (P) của hàm số y = 12 x2 (*) là một parabol.

Hoạt động khám phá 6 trang 68 Toán lớp 10 Tập 2: Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi khoảng cách từ tiêu diểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên p > 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F(p2 ; 0) và Δ: x + p2  = 0.

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Xét điểm M(x; y).

a) Tính MF và d(M, Δ).

b) Giải thích phát biểu sau: M(x; y)  (P)   xp22+y2=x+p2.

Lời giải:

a) Ta có MF  = ( p2− x; 0 – y) = (p2 − x; – y)

MF = MF  = p2x2+(y)2  xp22+y2

d(M, Δ) = x + p212+02 = x+p2 .

Vậy MF = xp22+y2  d(M, Δ) = x+p2 .

b) Ta có (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và Δ nên: 

MF = d(M, Δ)   xp22+y2 =  x+p2

Giải Toán 10 trang 70 Tập 2

Thực hành 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y2 = 2px

(P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0  p2 =1   p = 2

Thay p = 2 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y2 = 2.2.x = 4x

Vậy (P) có phương trình y2 = 4x.

Vận dụng 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Một cổng chào có hình parabol cao 10m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi phương trình của parabol là y2 = 2px.

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Ta có chiều cao của cổng là OC = 10 m  C(10; 0)

Bề rộng của cổng tại chân cổng là AB = 5 m  AC = 2,5 m  A(10; 2,5)

Vì A(10; 2,5)  (P) nên thay tọa độ của A vào phương trình (P), ta được: 2,52 = 2p. 10

 p =  516  (P): y2 = 58 x.

Thay tọa độ điểm D(2; a) vào phương trình (P), ta được: a2 = 58 . 2  a = 52

Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là: 2a = 2. 525  (m).

Bài tập 1 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của:

a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16;

b) Hypebol có tiêu cự 2c = 20 và độ dài trục thực 2a = 12;

c) Parabol có tiêu điểm F( 12; 0).

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là x2a2+y2b2=1

Ta có 2a = 20  a = 10;

2b = 16  b = 8.

Thay a = 10 và b = 8 vào phương trình x2a2+y2b2=1 , ta được:

x2102+y282=1  x2100+y264=1 .

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:  x2100+y264=1.

b) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là x2a2y2b2=1 .

Ta có: 2c = 20  c = 10

2a = 12  a = 6 

Ta lại có: b2c2 a2 = 102 – 62 = 64 b = 8.

Thay a = 6 và b = 8 vào phương trình x2a2y2b2=1 , ta được:

x262y282=1 x236y264=1 .

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: x236y264=1

c) Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y2 = 2px

(P) có tiêu điểm F( 12; 0)  p2  = 12 p = 1.

Thay p = 1 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y2 = 2.1.x = 2x

Vậy parabol (P) có phương trình: y2 = 2x.

Bài tập 2 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên là tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng.

a) (C1): 4x2 + 16y2 = 1;

b) (C2): 16x2 4y2 = 144;

c) (C3): x = 18 y2.

Lời giải:

a) Ta có: 4x2 + 16y2 = 1 x214+y2116=1 .

Suy ra x214+y2116=1  là phương trình của elip.

a = 12 và b = 14   c = a2b2  = 122142 = 34 .

 Tọa độ các tiêu điểm của (C1) là F134;0 ; 0) F234;0 .

Vậy elip (C1): 4x2 + 16y2 = 1 có các tiêu điểm là F134;0 ; 0) F234;0 .

b) Ta có: 16x2 4y2 = 144   x29y236=1.

x29y236=1   phương trình của hypebol.

 a = 3, b = 6  c = a2+b2 = 32+62  = 35 .

 Tọa độ các tiêu điểm của (C2) là F135;0 ; F235;0 .

Vậy hypebol (C2): 16x2 4y2 = 144 có các tiêu điểm là F135;0 ; F235;0 .

c) Ta có: x = 18 y2  y2 = 8x

(C3) có dạng y2 = 2px nên (C3) là phương trình của parabol và p = 4.

 Tọa độ tiêu điểm của (C3) là F(2; 0).

Vậy parabol (C3): x = 18 y2 có tiêu điểm là F = (2; 0).

Bài tập 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Để cắt một bảng quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hướng dẫn sau:

Chuẩn bị:

− Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.

Thực hiện:

− Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván).

− Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh vào kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip (Xem minh họa trong Hình 15).

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Phải ghim hai cái đinh cách mép tấm ván ép bao nhiêu xentimet và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải:

Gắn hệ trục tọa độ cho elip như hình sau:

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1) 

Ta có: hình elip có trục lớn là 80 cm, trục nhỏ là 40 cm nên 2a = 80 cm và 2b = 40 cm 

 a = 40 cm, b = 20cm

 c = a2b2 402202 = 203  (cm).

Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều dài của tấm ván là:

F1A1  = F2A2 = a – c = 40 – 203   5,36 (cm).  

Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều rộng của tấm ván là F1D = OB2 = b = 20 cm.

Vòng dây có độ dài là 2a + 2c = 2.40 + 2. 203   74,64 cm.

Vậy, hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván khoảng 5,36 cm, cách mép chiều rộng của tấm ván là 20 cm và lấy vòng dây có độ dài khoảng 74,64 cm.

Giải Toán 10 trang 71 Tập 2

Bài tập 4 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2: Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8 m, rộng 20 m (Hình 16).

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.

b) Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm.

Lời giải:

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Ta có: b = 8 m 2a = 20 m  a = 10 m

Vậy phương trình của elip (E) là: x2102+y282=1

b) Điểm A cách chân tường 5 m nên A(5; 0). Ta có độ dài AB chính là khoảng cách từ điểm A đến nóc nhà vòm.

Gọi B(5; y). Vì B  (E) nên thay tọa độ B vào phương trình (E), ta được: 52102+y282=1

 y2 = 48  y = 48   6,9 AB  6,9.

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm khoảng 6,9 mét.

Bài tập 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2:  Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình là x2282y2422=1 (Hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150m và khoảng cách từ nóc tháp đến tấm đối xứng của hypebol bằng 23 khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Theo bài ra ta có: OA + OB = 150 m và OA = 23 OB  OA = 60 m, OB = 90 m.

 A(0; 60), B(0; −90).

Thay y = 60 vào phương trình x2282y2422=1 , ta được: 

x2282602422=1  x2 = 2 384  x = ± 2384  ± 48,8

 Bán kính nóc khoảng 48,8 m.

Thay y = −90 vào phương trình x2282y2422=1 , ta được: 

x2282(90)2422=1  x2 = 4 384  x = ± 4384  ± 66,2

 Bán kính đáy khoảng 66,2 m.

Vậy bán kính nóc và bán kính đáy của tháp lần lượt khoảng 48,8 (m) và 66,2 (m).

Bài tập 6 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2: Một cái cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài 100 m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là 30 m, thanh ngắn nhất là 6 m (Hình 18). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m.

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ  (ảnh 1)

Theo bài ra ta có: AO = 6m, AD = 50 m, BD = 30 m  điểm B có tọa độ B(24; 50).

Gọi phương trình của parabol (P) là y2 = 2px.

Vì B(24; 50)  (P) nên thay tọa độ điểm B vào phương trình (P), ta được:

502 = 2p.24  p = 5022.24 = 62512 .

 Phương trình (P) là: y2 6256 x.

Ta có: Độ dài đoạn ME chính là chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18 m. Gọi E(m, 18), vì E  (P) nên thay tọa độ E vào phương trình P, ta được: 182 6256 .

 m = 3,1104

 ME = 6 + 3,1104 = 9,1104 (m).

Vậy thanh cáp cách điểm giữa cầu 18m có chiều dài là 9,1104 m.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 10

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai bằng phần mềm Geogebra

1 1914 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: