Giải Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Giải Toán 10 trang 64 Tập 2

Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán lớp 10 Tập 2: Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm F₁ và F₂. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn F₁F₂. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.

Cho biết 2c là khoảng cách F₁F₂ và 2a + 2c là độ dài của vòng dây. Tính tổng hai khoảng cách F₁M và F₂M.

Lời giải:

Ta có độ dài vòng dây là : F₁M + F₂M + F₁F₂ = 2a + 2c

⇒ F₁M + F₂M = (2a + 2c) − F₁F₂ = (2a + 2c) – 2c = 2a

Vậy F₁M + F₂M = 2a.

Hoạt động khám phá 2 trang 64 Toán lớp 10 Tập 2: Cho elip (E) có các tiêu điểm F₁ và F₂ và đặt F₁F₂ = 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁(−c; 0) và F₂(c; 0). Xét điểm M(x; y).

a) Tính F₁M và F₂M theo x, y và c.

b) Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈ (E) ⇔ $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$ = 2a

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{F_{1}M}$ = ( x + c; y) ; $\overrightarrow{F_{2}M}$ = (x – c ; y).

Khi đó F₁M = $\left|\overrightarrow{F_{1}M}\right|$ = $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$ ; F₂M = $\left|\overrightarrow{F_{2}M}\right|$ = $\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$ ;

Vậy F₁M = $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$ ; F₂M = $\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$ .

b) Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F₁M + F₂M = 2a

⇔ $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$ = 2a.

Vậy M(x; y) ∈ (E) ⇔ $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$ = 2a

Giải Toán 10 trang 65 Tập 2

Thực hành 1 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip trong Hình 4.

Lời giải:

Ta có: a = 3; b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ .

Vận dụng 1 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao 4m, rộng 10m (Hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Lời giải:

Ta có: 2a = 10 ⇒ a = 5 và b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .

Hoạt động khám phá 3 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm F₁ và F₂. Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d − l = 2a nhỏ hơn khoảng cách F₁F₂ (Hình 6a).

Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm F₂. Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm F₁ và đoạn thẳng BA có thể quay quanh F₁. Tựa đầu bút chì M vào đoạn dây, di chuyển M trên tấm bìa và giữ một đường (H) (xem Hình 6b).

a) Chứng tỏ rằng khi M di động, ta luôn có MF₁ – MF₂ = 2a.

b) Vẫn đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F₁, đầu B của thước trùng với F₂ sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F₂ và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (Hình 6c). Tính MF₂ – MF₁.

Lời giải:

a) Ta có: MF₂ + MA = l ⇒ MA = l – MF₂

Lại có MF₁ + MA = d ⇒ MF₁ + l – MF₂ = d ⇒ MF₁ – MF₂ = d − l = 2a

Vậy MF₁ – MF₂ = 2a.

b) Khi đính một đầu dây vào đầu A của thướcvà đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F₁, đầu B của thước trùng với F₂ sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F₂ và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (Hình 6c) thì ta có: MF₁+ MA = l ⇒ MA = l – MF₁

Lại có MF₂+ MA = d ⇒ MF₂ + l – MF₁ = d ⇒ MF₂ – MF₁ = d − l = 2a

Vậy MF₂ – MF₁ = 2a.

Giải Toán 10 trang 66 Tập 2

Hoạt động khám phá 4 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Cho hypebol (H) có các tiêu điểm F₁ và F₂ và đặt F₁F₂ = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi và chỉ khi |F₁M – F₂M| = 2a. Chọn hệ trục tóa độ Oxy sao cho F₁ = (−c; 0) và F₂ = (c; 0). Xét điểm M(x; y).

a) Tính F₁M và F₂M theo x, y và c.

b) Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈ (H) ⇔ $\left|\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}-\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}\right|$ = 2a

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{F_{1}M}$ = ( x + c; y) ; $\overrightarrow{F_{2}M}$ = (x – c ; y).

Khi đó F₁M = $\left|\overrightarrow{F_{1}M}\right|$ = $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$ ; F₂M = $\left|\overrightarrow{F_{2}M}\right|$ = $\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$ ;

Vậy F₁M = $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$ ; F₂M = $\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$ .

b) Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F₁M − F₂M |= 2a

⇔ $\left|\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}-\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}\right|$ = 2a.

Vậy M(x; y) ∈ (H) ⇔ $\left|\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}-\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}\right|$ = 2a

Giải Toán 10 trang 67 Tập 2

Thực hành 2 trang 67 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục ảo bằng 6.

Lời giải:

Ta có tiêu cự bằng 10 nên 2c = 10 ⇒ c = 5; độ dài trục ảo bằng 6 nên 2b = 6 ⇒ b = 3

Ta lại có a² = c² – b² = 5² – 3² = 16 ⇔ a = 4

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\iff \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\iff \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ .

Vận dụng 2 trang 67 Toán lớp 10 Tập 2: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là một hypebol có phương trình $\frac{x^2}{{27}^2}-\frac{y^2}{{40}^2}=1$ (Hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc thấp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp.

Lời giải:

Theo bài ra khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy mà tổng hai khoảng cách này bằng 120m nên ta có:

− Khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng 40m;

− Khoảng cách từ tâm O đến đáy bằng 80m.

Thay y = 40 vào phương trình (H), ta được:

$\frac{x^2}{{27}^2}-\frac{y^2}{{40}^2}=1$ ⇔ x² = 1 107⇔ x = ± $\sqrt{1107}$ ⇔ x ≈ ± 33,3

⇒ Bán kính đường tròn nóc bằng 33,3 m.

Thay y = 80 vào phương trình (H), ta được:

$\frac{x^2}{{27}^2}-\frac{{80}^2}{{40}^2}=1$ ⇔ x² = 3 645 ⇔ x = ± $\sqrt{3645}$ ⇔ x ≈ ± 60,4

⇒ Bán kính đường tròn đáy bằng 60,4 m.

Vậy bán kính nóc và bán kính đáy của tháp lần lượt là 33,3 (m) và 60,4 (m).

Giải Toán 10 trang 68 Tập 2

Hoạt động khám phá 5 trang 68 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm F(0;$\frac{1}{2}$), đường thẳng Δ: y + $\frac{1}{2}$ = 0 và điểm M(x; y). Để tìm hệ thức liên hệ giữa x và y sao cho M cách đều F và Δ, một học sinh đã làm như sau:

+ Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M lên Δ):

MF = $\sqrt{x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2}$, MH = d(M, Δ) = $\left|y+\frac{1}{2}\right|$ .

+ Điều kiện để M cách đều F và Δ:

MF = d(M, Δ) ⇔ $\sqrt{x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2}$ = $\left|y+\frac{1}{2}\right|$

⇔ $x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2$ = ${\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2$

⇔ x² = 2y ⇔ y = $\frac{1}{2}$ x². (*)

Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.

Lời giải:

Đồ thị (P) của hàm số y = $\frac{1}{2}$ x² (*) là một parabol.

Hoạt động khám phá 6 trang 68 Toán lớp 10 Tập 2: Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi khoảng cách từ tiêu diểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên p > 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F($\frac{p}{2}$ ; 0) và Δ: x + $\frac{p}{2}$ = 0.

Xét điểm M(x; y).

a) Tính MF và d(M, Δ).

b) Giải thích phát biểu sau: M(x; y) ∈ (P) ⇔ $\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{MF}$ = ( $\frac{p}{2}$− x; 0 – y) = ($\frac{p}{2}$ − x; – y)

⇒ MF = $\left|\overrightarrow{MF}\right|$ = $\sqrt{{\left(\frac{p}{2}-x\right)}^2+{(-y)}^2}$ = $\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}$

d(M, Δ) = $\frac{\left|x+ \frac{p}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$ = $\left|x+\frac{p}{2}\right|$ .

Vậy MF = $\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}$ và d(M, Δ) = $\left|x+\frac{p}{2}\right|$ .

b) Ta có (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và Δ nên:

MF = d(M, Δ) ⇔ $\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}$ = $\left|x+\frac{p}{2}\right|$

Giải Toán 10 trang 70 Tập 2

Thực hành 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y² = 2px

(P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0 ⇒ $\frac{p}{2}$ =1 ⇔ p = 2

Thay p = 2 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y² = 2.2.x = 4x

Vậy (P) có phương trình y² = 4x.

Vận dụng 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Một cổng chào có hình parabol cao 10m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi phương trình của parabol là y² = 2px.

Ta có chiều cao của cổng là OC = 10 m ⇒ C(10; 0)

Bề rộng của cổng tại chân cổng là AB = 5 m ⇒ AC = 2,5 m ⇒ A(10; 2,5)

Vì A(10; 2,5) ∈ (P) nên thay tọa độ của A vào phương trình (P), ta được: 2,5² = 2p. 10

⇒ p = $\frac{5}{16}$ ⇒ (P): y² = $\frac{5}{8}$ x.

Thay tọa độ điểm D(2; a) vào phương trình (P), ta được: a² = $\frac{5}{8}$ . 2 ⇒ a = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là: 2a = 2. $\frac{\sqrt{5}}{2}$= $\sqrt{5}$ (m).

Bài tập 1 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của:

a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16;

b) Hypebol có tiêu cự 2c = 20 và độ dài trục thực 2a = 12;

c) Parabol có tiêu điểm F( $\frac{1}{2}$; 0).

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Ta có 2a = 20 ⇒ a = 10;

2b = 16 ⇒ b = 8.

Thay a = 10 và b = 8 vào phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , ta được:

$\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1$ ⇔ $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ .

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

b) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ .

Ta có: 2c = 20 ⇒ c = 10

2a = 12 ⇒ a = 6

Ta lại có: b² = c² − a² = 10² – 6² = 64 ⇒ b = 8.

Thay a = 6 và b = 8 vào phương trình $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , ta được:

$\frac{x^2}{6^2}-\frac{y^2}{8^2}=1$ ⇔ $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$ .

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

c) Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y² = 2px

(P) có tiêu điểm F( $\frac{1}{2}$; 0) ⇒ $\frac{p}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ⇒ p = 1.

Thay p = 1 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y² = 2.1.x = 2x

Vậy parabol (P) có phương trình: y² = 2x.

Bài tập 2 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên là tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng.

a) (C₁): 4x² + 16y² = 1;

b) (C₂): 16x² − 4y² = 144;

c) (C₃): x = $\frac{1}{8}$ y².

Lời giải:

a) Ta có: 4x² + 16y² = 1 ⇔ $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1$ .

Suy ra $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1$ là phương trình của elip.

⇒ a = $\frac{1}{2}$ và b = $\frac{1}{4}$ ⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

⇒ Tọa độ các tiêu điểm của (C₁) là $F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ ; 0) và $F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ .

Vậy elip (C₁): 4x² + 16y² = 1 có các tiêu điểm là $F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ ; 0) và $F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ .

b) Ta có: 16x² − 4y² = 144 ⇔ $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$.

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$ là phương trình của hypebol.

⇒ a = 3, b = 6 ⇒ c = $\sqrt{a^2+b^2}$ = $\sqrt{3^2+6^2}$ = $3\sqrt{5}$ .

⇒ Tọa độ các tiêu điểm của (C₂) là $F_1\left(-3\sqrt{5};0\right)$ ; $F_2\left(3\sqrt{5};0\right)$ .

Vậy hypebol (C₂): 16x² − 4y² = 144 có các tiêu điểm là $F_1\left(-3\sqrt{5};0\right)$ ; $F_2\left(3\sqrt{5};0\right)$ .

c) Ta có: x = $\frac{1}{8}$ y² ⇔ y² = 8x

(C₃) có dạng y² = 2px nên (C₃) là phương trình của parabol và p = 4.

⇒ Tọa độ tiêu điểm của (C₃) là F(2; 0).

Vậy parabol (C₃): x = $\frac{1}{8}$ y² có tiêu điểm là F = (2; 0).

Bài tập 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Để cắt một bảng quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hướng dẫn sau:

Chuẩn bị:

− Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.

Thực hiện:

− Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván).

− Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh vào kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip (Xem minh họa trong Hình 15).

Phải ghim hai cái đinh cách mép tấm ván ép bao nhiêu xentimet và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải:

Gắn hệ trục tọa độ cho elip như hình sau:

Ta có: hình elip có trục lớn là 80 cm, trục nhỏ là 40 cm nên 2a = 80 cm và 2b = 40 cm

⇒ a = 40 cm, b = 20cm

⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{{40}^2-{20}^2}$ = $20\sqrt{3}$ (cm).

⇒ Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều dài của tấm ván là:

F₁A₁ = F₂A₂ = a – c = 40 – $20\sqrt{3}$ ≈ 5,36 (cm).

Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều rộng của tấm ván là F₁D = OB₂ = b = 20 cm.

Vòng dây có độ dài là 2a + 2c = 2.40 + 2. $20\sqrt{3}$ ≈ 74,64 cm.

Vậy, hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván khoảng 5,36 cm, cách mép chiều rộng của tấm ván là 20 cm và lấy vòng dây có độ dài khoảng 74,64 cm.

Giải Toán 10 trang 71 Tập 2

Bài tập 4 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2: Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8 m, rộng 20 m (Hình 16).

a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.

b) Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm.

Lời giải:

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Ta có: b = 8 m và 2a = 20 m ⇒ a = 10 m

Vậy phương trình của elip (E) là: $\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1$

b) Điểm A cách chân tường 5 m nên A(5; 0). Ta có độ dài AB chính là khoảng cách từ điểm A đến nóc nhà vòm.

Gọi B(5; y). Vì B ∈ (E) nên thay tọa độ B vào phương trình (E), ta được: $\frac{5^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1$

⇒ y² = 48 ⇒ y = $\sqrt{48}$ ≈ 6,9 ⇒ AB ≈ 6,9.

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm khoảng 6,9 mét.

Bài tập 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình là $\frac{x^2}{{28}^2}-\frac{y^2}{{42}^2}=1$ (Hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150m và khoảng cách từ nóc tháp đến tấm đối xứng của hypebol bằng $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Lời giải:

Theo bài ra ta có: OA + OB = 150 m và OA = $\frac{2}{3}$ OB ⇒ OA = 60 m, OB = 90 m.

⇒ A(0; 60), B(0; −90).

Thay y = 60 vào phương trình $\frac{x^2}{{28}^2}-\frac{y^2}{{42}^2}=1$ , ta được:

$\frac{x^2}{{28}^2}-\frac{{60}^2}{{42}^2}=1$ ⇔ x² = 2 384 ⇔ x = ± $\sqrt{2384}$ ≈ ± 48,8

⇒ Bán kính nóc khoảng 48,8 m.

Thay y = −90 vào phương trình $\frac{x^2}{{28}^2}-\frac{y^2}{{42}^2}=1$ , ta được:

$\frac{x^2}{{28}^2}-\frac{{(-90)}^2}{{42}^2}=1$ ⇔ x² = 4 384 ⇔ x = ± $\sqrt{4384}$ ≈ ± 66,2

⇒ Bán kính đáy khoảng 66,2 m.

Vậy bán kính nóc và bán kính đáy của tháp lần lượt khoảng 48,8 (m) và 66,2 (m).

Bài tập 6 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2: Một cái cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài 100 m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là 30 m, thanh ngắn nhất là 6 m (Hình 18). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m.

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Theo bài ra ta có: AO = 6m, AD = 50 m, BD = 30 m ⇒ điểm B có tọa độ B(24; 50).

Gọi phương trình của parabol (P) là y² = 2px.

Vì B(24; 50) ∈ (P) nên thay tọa độ điểm B vào phương trình (P), ta được:

50² = 2p.24 ⇒ p = $\frac{{50}^2}{2.24}$ = $\frac{625}{12}$ .

⇒ Phương trình (P) là: y² = $\frac{625}{6}$ x.

Ta có: Độ dài đoạn ME chính là chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18 m. Gọi E(m, 18), vì E ∈ (P) nên thay tọa độ E vào phương trình P, ta được: 18² = $\frac{625}{6}$ .m

⇒ m = 3,1104

⇒ ME = 6 + 3,1104 = 9,1104 (m).

Vậy thanh cáp cách điểm giữa cầu 18m có chiều dài là 9,1104 m.

Lý thuyết Toán 10 Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ - Chân trời sáng tạo

1. Elip

1.1. Nhận biết elip

Cho hai điểm cố định F₁, F₂ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F₁F₂. Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F₁M + F₂M = 2a.

Các điểm F₁ và F₂ gọi là các tiêu điểm của elip.

Độ dài F₁F₂ = 2c gọi là tiêu cự của elip (a > c).

1.2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) có các tiêu điểm F₁ và F₂ và đặt F₁F₂ = 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁(–c; 0) và F₂(c; 0).

Người ta chứng minh được:

$M\left(x;y\right)\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (1),

trong đó $b=\sqrt{a^2-c^2}$.

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.

Chú ý:

• (E) cắt Ox tại hai điểm A₁(–a; 0), A₂(a; 0) và cắt Oy tại hai điểm B₁(0; –b), B₂(0; b).

• Các điểm A₁, A₂, B₁, B₂ gọi là các đỉnh của elip.

• Đoạn thẳng A₁A₂ = 2a gọi là trục lớn, đoạn thẳng B₁B₂ = 2b gọi là trục nhỏ của elip.

• Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.

• Nếu M(x; y) ∈ (E) thì |x| ≤ a, |y| $\le$ b.

Ví dụ: Cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10, tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là $\frac{2}{5}$.

a) Tính độ dài trục nhỏ của elip.

b) Viết phương trình chính tắc của elip.

Hướng dẫn giải

a) Ta có độ dài trục lớn bằng 10. Ta suy ra 2a = 10.

Suy ra a = 5.

Theo đề, ta có tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là $\frac{2}{5}$.

Suy ra $\frac{2c}{2a}=\frac{2}{5}$.

$\iff c=\frac{2}{5}.a=\frac{2}{5}.10=4$.

Ta có $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.

Suy ra 2b = 2.3 = 6.

Vậy độ dài trục nhỏ của elip (E) bằng 6.

b) Ta có a = 5 và b = 3.

Phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

2. Hypebol

2.1. Nhận biết hypebol

Cho hai điểm cố định F₁, F₂ và một độ dài không đổi 2a nhỏ hơn F₁F₂. Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F₁M – F₂M| = 2a.

Các điểm F₁ và F₂ gọi là các tiêu điểm của hypebol.

Độ dài F₁F₂ = 2c gọi là tiêu cự của hypebol (c > a).

2.2. Phương trình chính tắc của hypebol

Cho hypebol (H) có các tiêu điểm F₁ và F₂ và đặt F₁F₂ = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi và chỉ khi |F₁M – F₂M| = 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁(–c; 0) và F₂(c; 0).

Người ta chứng minh được:

$M\left(x;y\right)\in \left(H\right)\iff \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (2),

trong đó $b=\sqrt{c^2-a^2}$.

Phương trình (2) gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

Chú ý:

• (H) cắt Ox tại hai điểm A₁(–a; 0) và A₂(a; 0). Nếu ta vẽ hai điểm B₁(0; –b) và B₂(0; b) vào hình chữ nhật OA₂PB₂ thì $OP=\sqrt{a^2+b^2}=c$.

• Các điểm A₁, A₂ gọi là các đỉnh của hypebol.

• Đoạn thẳng A₁A₂ = 2a gọi là trục thực, đoạn thẳng B₁B₂ = 2b gọi là trục ảo của hypebol.

• Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol.

• Nếu M(x; y) ∈ (H) thì x ≤ –a hoặc x ≥ a.

Ví dụ: Cho hypebol (H) có một tiêu điểm F₂(8; 0) và (H) đi qua điểm A(5; 0). Viết phương trình chính tắc của hypebol (H).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của (H) có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a, b > 0.

Vì A(5; 0) ∈ (H) nên ta có $\frac{5^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$. Suy ra a = 5.

Do (H) có một tiêu điểm F₂(8; 0) nên ta có c = 8.

Suy ra $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{64-25}=\sqrt{39}$.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{39}=1$.

3. Parabol

3.1. Nhận biết parabol

Cho một điểm F và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và ∆.

F gọi là tiêu điểm và ∆ gọi là đường chuẩn của parabol (P).

3.2. Phương trình chính tắc của parabol

Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn ∆. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên p > 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ và ∆: $x+\frac{p}{2}=0$.

Người ta chứng minh được:

M(x; y) ∈ (P) ⇔ y² = 2px (3).

Phương trình (3) gọi là phương trình chính tắc của parabol.

Chú ý:

• O gọi là đỉnh của parabol (P).

• Ox gọi là trục đối xứng của parabol (P).

• p gọi là tham số tiêu của parabol (P).

• Nếu M(x; y) ∈ (P) thì x ≥ 0 và M’(x; –y) ∈ (P).

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết (P) có đường chuẩn ∆: x + 4 = 0.

Hướng dẫn giải

(P) có đường chuẩn ∆: x + 4 = 0.

Ta suy ra $\frac{p}{2}=4$.

Khi đó p = 2.4 = 8.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y² = 16x.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 10

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai bằng phần mềm Geogebra