Giải Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 9

Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 9

Giải Toán 10 trang 73 Tập 2

Bài tập 1 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2).

a) Chứng minh ABCD là hình vuông.

b) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (−1; 3), $\overrightarrow{DC}$ = (−1; 3) ⇒ $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ .

⇒ ABCD là hình bình hành.

Lại có: $\overrightarrow{AD}$ = (3; 1) ⇒ $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AD}$ = −1. 3 + 3. 1 = 0

⇒ $\overrightarrow{AB}$ ⊥ $\overrightarrow{AD}$ hay AB ⊥ AD

⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: AD = $\left|\overrightarrow{AD}\right|$ = $\sqrt{3^2+1^2}$ = $\sqrt{10}$

AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = $\sqrt{{(-1)}^2+3^2}$ = $\sqrt{10}$

⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông.

Vậy ABCD là hình vuông.

b) Tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm của AC

⇒ $I\left(\frac{2+4}{2};\frac{1+5}{2}\right)$ ⇒ I = (3; 3).

Vậy tâm của hình vuông ABCD là I(3; 3).

Bài tập 2 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Cho AB và CD là dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh EF vuông góc với DB.

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c).

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

⇒ K là trung điểm của AB ⇒ $K\left(\frac{a+b}{2};0\right)$.

H là trung điểm của CD ⇒ $H\left(0;\frac{c+d}{2}\right)$

⇒ $I\left(\frac{a+b}{2};\frac{c+d}{2}\right)$ .

Ta có: $\overrightarrow{IA}$ = $\left(a-\frac{a+b}{2};-\frac{c+d}{2}\right)$ ⇒ IA = $\left|\overrightarrow{IA}\right|$ = $\sqrt{{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$ .

$\overrightarrow{IC}$ = $\left(-\frac{a+b}{2};c-\frac{c+d}{2}\right)$ ⇒ IC = $\left|\overrightarrow{IC}\right|$ = $\sqrt{{\left(-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$ .

Vì IA = IC (= R) ⇒ $\sqrt{{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$ = $\sqrt{{\left(-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$

⇔ (a − b)² + (c + d)² = (a + b)² + (c − d)²

⇔ a² − 2ab + b² + c² + 2cd + d² = a² + 2ab + b² + c² − 2cd + d²

⇔ 4ab = 4cd ⇔ ab = cd ⇔ ab − cd = 0 (1)

Ta có: $\overrightarrow{EF}$ = (−a; −c}, = (−b; d)

⇒ $\overrightarrow{EF}$ . $\overrightarrow{BD}$ = (−a).(−b) − c.d = ab − cd = 0 (theo (1))

⇒ $\overrightarrow{EF}$ ⊥ $\overrightarrow{BD}$ hay EF ⊥ BD.

Vậy EF ⊥ BD.

Bài tập 3 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong mỗi trường hợp sau:

a) d₁: x – y + 2 = 0 và d₂: x + y + 4 = 0;

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}\right.$ và d₂: x − 3y + 2 = 0;

c) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\text{'}\\ y=3+t\text{'}\end{array}\right.$ .

Lời giải:

⇒ d₁ ⊥ d₂ ⇒ (d₁, d₂) = 90°.

Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x–y+2=0 \\ x+y+4=0\end{array}\right.$ .

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}x–y+2=0 \\ x+y+4=0\end{array}\right.$ ta được $\left\{\begin{array}{l}x=-3 \\ y=-1\end{array}\right.$ ⇒ M(−3; −1).

Vậy d₁ và d₂ vuông góc và cắt nhau tại M(−3; −1).

⇒ d₁ và d₂ cắt nhau.

Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Tọa độ giao điểm M của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2x–y+1=0\\ x-3y+2=0\end{array}\right.$ .

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}2x–y+1=0\\ x-3y+2=0\end{array}\right.$ ta được $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{5}\\ y=\frac{3}{5}\end{array}\right.$ ⇒ $M\left(-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right)$ .

⇒ (d₁, d₂) = 45°.

Vậy d₁ cắt d₂ tại điểm $M\left(-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right)$ và (d₁, d₂) = 45°.

c) Đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ đi qua điểm (2; 5) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$ = (−1; 3) ⇒ d₁ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$ = (3; 1),

Khi đó phương trình tổng quát của d₁ là 3x + y – 11 = 0.

Đường thẳng d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\text{'}\\ y=3+t\text{'}\end{array}\right.$ đi qua điểm (1; 3) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}$ =(3; 1) ⇒ d₂ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$ = (1; −3),

Khi đó phương trình tổng quát của d₂ là x − 3y + 8 = 0.

Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+y–11=0\\ x-3y+8=0\end{array}\right.$ .

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}3x+y–11=0\\ x-3y+8=0\end{array}\right.$ ta được $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=\frac{7}{2}\end{array}\right.$ ⇒ $M\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$

Vậy d₁ và d₂ vuông góc và cắt nhau tại $M\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$ .

Giải Toán 10 trang 74 Tập 2

Bài tập 4 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tính bán kính của đường tròn tâm M(−2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0.

Lời giải:

Vì đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0 nên R = d(M; d)

Ta có: d(M; d) = $\frac{\left|14.(-2)-5.3+60\right|}{\sqrt{{14}^2+{(-5)}^2}}$ = $\frac{\sqrt{221}}{13}$ .

⇒ R = d(M; d) = $\frac{\sqrt{221}}{13}$

Vậy bán kính của đường tròn tâm M(−2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0 là $\frac{\sqrt{221}}{13}$ .

Bài tập 5 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0.

Lời giải:

Ta có Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ =(6 ; 8) và $\overrightarrow{n_2}$ = (3 ; 4).

Khi đó: ⇒ Δ và Δ′ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $A\left(0;\frac{13}{8}\right)$ ∈ Δ.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình Δ′ ta được : 3.0 + 4. $\frac{13}{8}$ – 27 = $-\frac{41}{2}$ ≠ 0.

Suy ra Δ // Δ′.

Khi đó d(Δ, Δ′) = d(A; Δ′) = $\frac{\left|3.0+4.\frac{13}{8}-27\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}$ = $\frac{41}{10}$ = 4,1.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng: Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0 là 4,1.

Bài tập 6 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

a) (x − 2)² + (y − 7)² = 64;

b) (x + 3)² + (y + 2)² = 8;

c) x² + y² − 4x − 6y – 12 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn (x − 2)² + (y − 7)² = 64 có dạng (x − a)² + (y − b)² = R².

⇒ Đường tròn có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

Vậy đường tròn (x − 2)² + (y − 7)² = 64 có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

b) Phương trình đường tròn (x + 3)² + (y + 2)² = 8 có dạng (x − a)² + (y − b)² = R².

⇒ Đường tròn có tâm I(−3; −2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$ .

Vậy đường tròn (x + 3)² + (y + 2)² = 8 có tâm I(−3; −2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$ .

c) Phương trình x² + y² − 4x − 6y – 12 = 0 có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 2, b = 3, c = −12

Ta có: a² + b² − c = 2² + 3² + 12 = 25 ⇒ bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2-c }=\sqrt{25}$ = 5.

Vậy đường tròn x² + y² − 4x − 6y – 12 = 0 có tâm I(2; 3) và bán kính R = 5.

Bài tập 7 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(−2; 4) và bán kính bằng 9;

b) Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);

c) Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0;

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn có tâm I(−2; 4) và bán kính R = 9 là: (x + 2)² + (y − 4)² = 81.

b) Ta có

Vì đường tròn đi qua điểm A nên ta có: R = IA = $3\sqrt{2}$

Vậy phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = $3\sqrt{2}$ là: (x − 1)² + (y − 2)² = 18.

c) Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng: x² + y² − 2ax − 2by + c = 0.

Vì I(a; b) thuộc đường thẳng 4x + y − 16 = 0 và các điểm A(4; 1), B(6; 5) thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}4a+b-16=0\\ 4^2+1^2-8a-2b+c=0\\ 6^2+5^2-12a-10b+c=0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}4a+b-16=0\\ -8a-2b+c=-17\\ -12a-10b+c=-61\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=4\\ c=15\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường tròn là: x² + y² − 6x − 8y + 15 = 0.

d) Phương trình đường tròn (C) tâm I(m; n) có dạng: x² + y² – 2mx – 2ny + c = 0.

Vì O(0; 0) ∈ (C) nên thay tọa độ O(0; 0) vào (C) ta được c = 0

Vì (C) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (a; 0) và cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; b) nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}{a}^2-2ma=0\\ b^2-2nba=0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{a}{2}\\ n=\frac{b}{2}\end{array}\right.$ (vì a ≠ 0, b ≠ 0).

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x² + y² – ax – by = 0.

Bài tập 8 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 5)² + (y − 3)² = 100 tại điểm M(11; 11).

Lời giải:

Đường tròn (C): (x − 5)² + (y − 3)² = 100 có tâm I(5; 3).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M(11; 11) là:

(5 − 11)(x − 11) + (3 − 11)(y − 11) = 0

⇔ −6x − 8y + 154 = 0

⇔ 3x + 4y – 77 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 5)² + (y − 3)² = 100 tại điểm M(11; 11) là : 3x + 4y – 77 = 0.

Bài tập 9 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ ;

b) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ ;

c) x² + 16y² = 16.

Lời giải:

a) Với (E): $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$

Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

⇒ a = 10; b = 6 ⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{{10}^2-6^2}$ = 8.

Vậy tọa độ các tiêu điểm là: (−8; 0) và (8; 0).

Tọa độ các đỉnh là: (−10; 0), (10; 0), (0; −6); (0; 6).

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 10 = 20; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2.6 = 12.

b) Với (E): $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

⇒ a = 5; b = 4 ⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{5^2-4^2}$ = 3.

Vậy tọa độ các tiêu điểm là: (−3; 0) và (3; 0).

Tọa độ các đỉnh là: (−5; 0), (5; 0), (0; −4); (0; 4)

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 5 = 10; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 4 = 8.

c) Ta có: x² + 16y² = 16 ⇔ $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1^2}=1$ .

Phương trình elip (E) có dạng:

⇒ a = 4; b = 1 ⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{4^2-1^2}$ = $\sqrt{15}$ .

Vậy tọa độ các tiêu điểm là: $\left(-\sqrt{15};0\right)$ và $\left(\sqrt{15};0\right)$ .

Tọa độ các đỉnh là: (−4; 0), (4; 0), (0; −1); (0; 1).

Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 1 = 2.

Bài tập 10 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:

a) Đỉnh (5; 0), (0; 4);

b) Đỉnh (5; 0), tiêu điểm (3; 0);

c) Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12;

d) Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12.

Lời giải:

a) Elip có đỉnh (5; 0), (0; 4) ⇒ a = 5; b = 4.

⇒ Phương trình elip (E) là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .

Vậy elip thỏa mãn điều kiện đỉnh (5; 0), (0; 4) là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .

b) Elip có đỉnh (5; 0) ⇒ a = 5; tiêu điểm (3; 0) ⇒ c = 3

⇒ b = $\sqrt{a^2-c^2}$ = $\sqrt{5^2-3^2}$ = 4

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .

c) Vì độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12 nên ta có: 2a = 16; 2b = 12

⇒ a = 8; b = 6

⇒ Phương trình elip (E) là: $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ .

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ .

d) Vì độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12 nên ta có: 2a = 20; 2c = 12

⇒ a = 10; c = 6

⇒ b = $\sqrt{a^2-c^2}$ = $\sqrt{{10}^2-6^2}$ = 8.

⇒ Phương trình elip (E) là: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ .

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ .

Bài tập 11 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:

a) $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$;

b) $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$ ;

c) x² − 16y² =16;

d) 9x² − 16y² = 144.

Lời giải:

a) Với hypebol (H): $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Phương trình hypebol (H) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c = $\sqrt{a^2+b^2}$ = $\sqrt{4^2+3^2}$ = 5.

Vậy tọa độ các tiêu điểm là (−5; 0), (5; 0).

Tọa độ các đỉnh là (−4; 0), (4; 0).

Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 3 = 6.

b) Với hypebol (H): $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$

Phương trình hypebol (H) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

⇒ a = 8; b = 6 ⇒ c = $\sqrt{a^2+b^2}$ = $\sqrt{8^2+6^2}$ = 10.

Vậy tọa độ các tiêu điểm là (−10; 0), (10; 0)

Tọa độ các đỉnh là (−8; 0), (8; 0)

Độ dài trục thực là: 2a = 2. 8 = 16; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 6 = 12.

c) Ta có: x² − 16y² =16 ⇔ $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{1^2}=1$

⇒ a = 4; b = 1 ⇒ c = $\sqrt{a^2+b^2}$ = $\sqrt{4^2+1^2}$ = $\sqrt{17}$ .

Vậy tọa độ các tiêu điểm là $\left(-\sqrt{17};0\right)$ , $\left(\sqrt{17};0\right)$

Tọa độ các đỉnh là (−4; 0), (4; 0)

Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 1 = 2.

d) Ta có: 9x² − 16y² = 144 ⇔ $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c = $\sqrt{a^2+b^2}$ = $\sqrt{4^2+3^2}$ =5.

Vậy tọa độ các tiêu điểm là (−5; 0), (5; 0)

Tọa độ các đỉnh là (−4; 0), (4; 0).

Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 3 = 6.

Bài tập 12 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Đỉnh (3; 0), tiêu điểm (5; 0);

b) Độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6.

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ .

Hypebol có đỉnh (3; 0) ⇒ a = 3; tiêu điểm (5; 0) ⇒ c = 5.

⇒ b = $\sqrt{c^2-a^2}$ =$\sqrt{5^2-3^2}$ = 4.

Thay a = 3 và b = 4 vào phương trình $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , ta được:

$\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$ ⇔ $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ .

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

b) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Hypebol có độ dài trục thực 8, độ dài trục ảo 6 nên 2a = 8; 2b = 6

⇒ a = 4; b = 3.

Thay a = 4 và b = 3 vào phương trình $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , ta được:

$\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$ ⇔ $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ .

Vậy phương trình hypebol là: $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

Bài tập 13 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) y² = 12x;

b) y² = x.

Lời giải:

a) Với parabol y² = 12x :

Phương trình parabol có dạng: y² = 2px ⇒ 2p = 12 ⇒ p = 6 ⇒ $\frac{p}{2}$ = 3.

Vậy tọa độ tiêu điểm là (3; 0) và phương trình đường chuẩn là x + 3 = 0.

b) Với parabol y² = x:

Phương trình parabol có dạng: y² = 2px ⇒ 2p = 1 ⇒ p = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{p}{2}$ = $\frac{1}{4}$ .

Vậy tọa độ tiêu điểm là $\left(\frac{1}{4};0\right)$ và phương trình đường chuẩn là x + $\frac{1}{4}$ = 0.

Bài tập 14 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Tiêu điểm (4; 0);

b) Đường chuẩn có phương trình x = $-\frac{1}{6}$ ;

c) Đi qua điểm (1; 4);

d) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8.

Lời giải:

a) Parabol (P) có tiêu điểm (4; 0) ⇒ $\frac{p}{2}$ = 4 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y² = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y² = 16x.

b. Parabol (P) có đường chuẩn là x = $-\frac{1}{6}$ ⇒ p = $\frac{1}{3}$

⇒ Phương trình parabol (P) là: y² = 2. $\frac{1}{3}$ x = $\frac{2}{3}$ x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y² = $\frac{2}{3}$ x.

c) Parabol (P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình : y² = 2px, ta được: 4² = 2p. 1 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y² = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y² = 16x.

d) Parabol (P) tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ , phương trình đường chuẩn ∆ : x + $\frac{p}{2}$ = 0.

Vì parabol (P) có khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8 nên:

d(F, Δ) = 8 ⇔ $\frac{\left|\frac{p}{2}+\frac{p}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$ = 8 ⇔ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y² = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y² = 16x.

Bài tập 15 trang 74 Toán lớp 10 Tập 2: Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như Hình 1, có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm. Cho biết bề sâu của gương là 45 cm, tính khoảng cách AB.

Lời giải:

Vì parabol (P) có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm ⇒ Tiêu điểm có tọa độ (5; 0) ⇒ p = 10

⇒ Phương trình parabol (P): y² = 20x.

Ta có điểm A(45; y_A) ∈ (P) nên thay tọa độ A vào phương trình (P), ta được:

y_A² = 20. 45 ⇒ y_A = 30

⇒ AB = 2. 30 = 60 (cm).

Vậy khoảng cách AB là 60cm.

Giải Toán 10 trang 75 Tập 2

Bài tập 16 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol (Hình 2). Nước sẽ chảy thông qua một dường ống nằm ở tiêu điểm của parabol.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol.

b) Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol.

Lời giải:

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Phương trình parabol (P) có dạng: y² = 2px.

Ta có: A(1; 3) ∈ (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

3² = 2p. 1 ⇒ p = $\frac{9}{2}$ .

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y² = 9x.

b) Vì đường ống nằm ở tiêu điểm của (P) nên khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol bằng: $\frac{p}{2}$ = 2,25 (m).

Vậy khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol khoảng 2,25 mét.

Bài tập 17 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Cổng chào của một thành phố có dạng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m (Hình 3). Từ một điểm M trên thân cổng, người ta đo được khoảng cách đến mặt đất là 2 m và khoảng cách từ chân đường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến chân cổng gần nhất là 0,5 m. Tính chiều cao của cổng.

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Gọi phương trình parabol là y² = 2px.

Gọi chiều cao của cổng là OH = h.

Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 192 ⇒ AH = 96 ⇒ Điểm A có tọa độ (h; 96).

Ta có: AC = 0,5; DH = MC = 2 ⇒ Điểm M có tọa độ (h − 2; 95,5).

Vì A và M thuộc parabol (P) nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}{96}^2=2ph\\ {\mathrm{95,5}}^2=2p(h-2)\end{array}\right.$ ⇒ $\frac{{96}^2}{{\mathrm{95,5}}^2}=\frac{h}{h-2}$ ⇒ h = $\frac{{2.96}^2}{{96}^2-{\mathrm{95,5}}^2}$ ≈ 192,5 (m)

Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5 m.

Bài tập 18 trang 75 Toán lớp 10 Tập 2: Một người đứng ở giữa một tấm ván gỗ đặt trên một giàn giáo để sơn tường nhà. Biết rằng giàn giáo dài 16 m và độ võng tại tâm của ván gỗ (điểm ở giữa ván gỗ) là 3 cm (Hình 4). Cho biết đường cong của ván gỗ có hình parabol.

a) Giả sử tấm ván gỗ trùng với đỉnh của parabol, tìm phương trình chính tắc của parabol.

b) Điểm có độ võng 1 cm cách tâm ván gỗ bao xa?

Lời giải:

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ sau:

Gọi phương trình của parabol (P) có dạng: y² = 2px.

Ta có giàn giáo dài 16 m và độ võng tại tâm của ván gỗ (điểm ở giữa ván gỗ) là 3cm = 0,03m, nên AB = 16, OH = 0,03 ⇒ điểm A có tọa độ (0,03; 8).

Vì A thuộc (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

8² = 2p. 0,03 ⇒ p = $\frac{8^2}{\mathrm{2.0,03}}$ = $\frac{3200}{3}$ .

⇒ Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y² = 2. $\frac{3200}{3}$ x = $\frac{6400}{3}$ x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y² = $\frac{6400}{3}$ x.

b) Tại điểm có độ võng 1 cm = 0,01 m. Khi đó MI = 0,01 ⇒ M(0,02; y_M)

Vì M ∈ (P) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình (P), ta được:

y_M² = $\frac{6400}{3}$ . 0,02 ⇒ y_M = $\frac{8\sqrt{6}}{3}$.

⇒ $M\left(\mathrm{0,02};\frac{8\sqrt{6}}{3}\right)$ ⇒ OM = $\left|\overrightarrow{OM}\right|$ = $\sqrt{{(\mathrm{0,02}-0)}^2+{\left(\frac{8\sqrt{6}}{3}-0\right)}^2}$ ≈ 6,53.

Vậy điểm M có độ võng 1 cm cách tâm ván gỗ khoảng 6,53 mét.

Lý thuyết Toán 10 Bài tập cuối chương 9 - Chân trời sáng tạo

1. Tọa độ của vectơ đối với một hệ trục tọa độ

1.1. Trục tọa độ

Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O (gọi là điểm gốc) và một vectơ $\overrightarrow{e}$ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục.

Ta kí hiệu trục đó là $\left(O;\overrightarrow{e}\right)$.

1.2. Hệ trục tọa độ

Hệ trục tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ gồm hai trục $\left(O;\overrightarrow{i}\right)$ và $\left(O;\overrightarrow{j}\right)$ vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục $\left(O;\overrightarrow{i}\right)$ được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục $\left(O;\overrightarrow{j}\right)$ được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$ là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy. Hệ trục tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ còn được kí hiệu là Oxy.

Chú ý: Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy, hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

1.3. Tọa độ của một vectơ

Trong mặt phẳng Oxy, cặp số (x; y) trong biểu diễn $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$, kí hiệu $\overrightarrow{a}=\left(x;y\right)$, x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{a}$.

Ví dụ:

+) Cho $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$.

Ta có cặp số (3; 2) là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$.

Ta kí hiệu là $\overrightarrow{a}=\left(3;2\right)$.

Trong đó 3 là hoành độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ và 2 là tung độ của vectơ .

+) Cho $\overrightarrow{p}=-5\overrightarrow{j}=0\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}$.

Ta có cặp số (0; –5) là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{p}$.

Ta kí hiệu là $\overrightarrow{p}=\left(0;-5\right)$.

Trong đó 0 là hoành độ của vectơ $\overrightarrow{p}$ và –5 là tung độ của vectơ $\overrightarrow{p}$.

Chú ý:

• $\overrightarrow{a}=\left(x;y\right)\iff \overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$.

• Nếu cho $\overrightarrow{a}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}}\right)$ thì $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \left\{\begin{array}{l}x=x^{\text{'}}\\ y=y^{\text{'}}\end{array}\right.$.

Ví dụ:

+) Ta có $\overrightarrow{h}=\left(-1;7\right)\iff \overrightarrow{h}=-1.\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}=-\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}$.

+) Ta có $\overrightarrow{a}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(2;-4\right)$. Khi đó $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4\end{array}\right.$.

Nghĩa là, $\overrightarrow{a}=\left(2;-4\right)$.

1.4. Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ, cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ được gọi là tọa độ của điểm M.

Nhận xét:

• Nếu $\overrightarrow{OM}=\left(x;y\right)$ thì cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M, kí hiệu M(x; y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm M.

• M(x; y) $\iff \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$.

Ví dụ:

+) Nếu $\overrightarrow{OM}=\left(-3;8\right)$ thì cặp số (–3; 8) là tọa độ của điểm M.

Ta kí hiệu là M(–3; 8).

Trong đó –3 là hoành độ của điểm M và 8 là tung độ của điểm M.

+) Cho điểm M(4; 9) $\iff \overrightarrow{OM}=4\overrightarrow{i}+9\overrightarrow{j}$.

Chú ý: Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x_M, tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y_M. Khi đó ta viết M(x_M; y_M).

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm M, N, P được biểu diễn như hình bên.

a) Hãy biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OP}$ qua hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{m},\overrightarrow{n},\overrightarrow{p}$ và các điểm M, N, P.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

+) $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$.

+) $\overrightarrow{ON}=-3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$.

+) $\overrightarrow{OP}=0\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$.

Vậy $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{ON}=-3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{OP}=0\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$.

b) Từ kết quả ở câu a), ta có:

+) $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left(3;3\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{m}=\overrightarrow{OM}=\left(3;3\right)$ và M(3; 3).

+) $\overrightarrow{ON}=-3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\Rightarrow \overrightarrow{ON}=\left(-3;2\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\overrightarrow{ON}=\left(-3;2\right)$ và N(–3; 2).

+) $\overrightarrow{OP}=0\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\left(0;-2\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP}=\left(0;-2\right)$ và P(0; –2).

Vậy $\overrightarrow{m}=\left(3;3\right),\overrightarrow{n}=\left(-3;2\right),\overrightarrow{p}=\left(0;-2\right)$ và M(3; 3), N(–3; 2), P(0; –2).

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right),\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)$ và số thực k. Khi đó:

(1) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(a_1+b_1;a_2+b_2\right)$;

(2) $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(a_1-b_1;a_2-b_2\right)$;

(3) $k\overrightarrow{a}=\left(k{a}_1;k{a}_2\right)$;

(4) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2$.

Ví dụ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(10;-8\right),\overrightarrow{b}=\left(2;5\right)$.

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},2\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$, $2\overrightarrow{a}.\left(-4\overrightarrow{b}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Với $\overrightarrow{a}=\left(10;-8\right),\overrightarrow{b}=\left(2;5\right)$ ta có:

+) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(10+2;-8+5\right)=\left(12;-3\right)$;

+) $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(10-2;-8-5\right)=\left(8;-13\right)$;

+) $2\overrightarrow{a}=\left(2.10;2.\left(-8\right)\right)=\left(20;-16\right)$;

+) $4\overrightarrow{b}=\left(4.2;4.5\right)=\left(8;20\right)$.

Ta suy ra $\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}=\left(10+8;-8+20\right)=\left(18;12\right)$.

Vậy $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(12;-3\right)$, $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(8;-13\right)$, $2\overrightarrow{a}=\left(20;-16\right)$, $\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}=\left(18;12\right)$.

b) Với $\overrightarrow{a}=\left(10;-8\right),\overrightarrow{b}=\left(2;5\right)$ ta có:

+) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=10.2+\left(-8\right).5=20-40=-20$;

+) Từ kết quả câu a), ta có $2\overrightarrow{a}=\left(20;-16\right)$ và $4\overrightarrow{b}=\left(8;20\right)$.

Ta suy ra $2\overrightarrow{a}=\left(20;-16\right)$ và $-4\overrightarrow{b}=\left(-8;-20\right)$.

Khi đó ta có $2\overrightarrow{a}.\left(-4\overrightarrow{b}\right)=20.\left(-8\right)+\left(-16\right).\left(-20\right)=-160+320=160$.

Vậy $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-20$ và $2\overrightarrow{a}.\left(-4\overrightarrow{b}\right)=160$.

3. Áp dụng của tọa độ vectơ

3.1. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.

Ví dụ: Cho ba điểm A(2; 5), B(–1; 1), C(5; –7). Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BA}$.

Hướng dẫn giải

Với A(2; 5), B(–1; 1), C(5; –7) ta có:

• $\overrightarrow{AC}=\left(x_C-x_A;y_C-y_A\right)=\left(5-2;-7-5\right)=\left(3;-12\right)$.

• $\overrightarrow{CB}=\left(x_B-x_C;y_B-y_C\right)=\left(-1-5;1-\left(-7\right)\right)=\left(-6;8\right)$.

• $\overrightarrow{BA}=\left(x_A-x_B;y_A-y_B\right)=\left(2-\left(-1\right);5-1\right)=\left(3;4\right)$.

Vậy $\overrightarrow{AC}=\left(3;-12\right),\overrightarrow{CB}=\left(-6;8\right),\overrightarrow{BA}=\left(3;4\right)$.

3.2. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

Cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Tọa độ trung điểm M(x_M; y_M) của đoạn thẳng AB là:

$x_M=\frac{x_A+x_B}{2},y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.

Cho ∆ABC có A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C). Tọa độ trọng tâm G(x_G; y_G) của tam giác ABC là:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3},y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$.

Ví dụ: Cho ∆DEF có tọa độ các đỉnh là D(3; 1), E(5; 8), F(9; 4).

a) Tìm tọa độ trung điểm H của cạnh EF.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆DEF.

Hướng dẫn giải

a) Với E(5; 8), F(9; 4):

Vì H là trung điểm của cạnh EF.

Ta suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_H=\frac{x_E+x_F}{2}=\frac{5+9}{2}=7\\ y_M=\frac{y_E+y_F}{2}=\frac{8+4}{2}=6\end{array}\right.$

Vậy H(7; 6).

b) Với D(3; 1), E(5; 8), F(9; 4):

Vì G là trọng tâm của ∆DEF.

Ta suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_D+x_E+x_F}{3}=\frac{3+5+9}{3}=\frac{17}{3}\\ y_G=\frac{y_D+y_E+y_F}{3}=\frac{1+8+4}{3}=\frac{13}{3}\end{array}\right.$

Vậy $G\left(\frac{17}{3};\frac{13}{3}\right)$.

3.3. Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right),\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)$ và hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Ta có:

• $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$;

• $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương ⇔ a₁b₂ – a₂b₁ = 0;

• $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$;

• $AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$;

• $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$ ($\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$).

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆MNP có M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8).

a) Tìm tọa độ H là chân đường cao của ∆MNP kẻ từ N.

b) Giải tam giác MNP.

Hướng dẫn giải

a) Với M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8).

Gọi H(x; y).

Ta có:

+) $\overrightarrow{NH}=\left(x-\left(-3\right);y-\left(-2\right)\right)=\left(x+3;y+2\right)$.

+) $\overrightarrow{MH}=\left(x-2;y-1\right)$.

+) $\overrightarrow{MP}=\left(7-2;-8-1\right)=\left(5;-9\right)$

Vì H(x; y) là chân đường cao của ∆MNP kẻ từ N nên ta có NH ⊥ MP.

Ta suy ra $\overrightarrow{NH}\perp \overrightarrow{MP}$.

Do đó $\overrightarrow{NH}.\overrightarrow{MP}=0$.

⇔ (x + 3).5 + (y + 2).( –9) = 0.

⇔ 5x – 9y – 3 = 0 (1).

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{MH},\overrightarrow{MP}$ cùng phương

⇔ (x – 2).( –9) – (y – 1).5 = 0.

⇔ –9x – 5y + 23 = 0 (2).

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}5x-9y-3=0\\ -9x+5y+23=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{24}{7}\\ y=\frac{11}{7}\end{array}\right.$

Vậy $H\left(\frac{24}{7};\frac{11}{7}\right)$.

b) Với M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8) ta có:

+) $\overrightarrow{MN}=\left(-5;-3\right)$ và $\overrightarrow{NM}=\left(5;3\right)$

$\Rightarrow MN=\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{\left(-5\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{34}$.

+) $\overrightarrow{NP}=\left(10;-6\right)$. $\Rightarrow NP=\left|\overrightarrow{NP}\right|=\sqrt{{10}^2+{\left(-6\right)}^2}=2\sqrt{34}$.

+) $\overrightarrow{MP}=\left(5;-9\right)$.

$\Rightarrow MP=\left|\overrightarrow{MP}\right|=\sqrt{5^2+{\left(-9\right)}^2}=\sqrt{106}$.

+) $\cos M=\cos \left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right)=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}}{MN.MP}=\frac{-5.5+\left(-3\right).\left(-9\right)}{\sqrt{34}.\sqrt{106}}\approx 0,033$.

Suy ra $\widehat{M}\approx 88°7^{\text{'}}$.

+) $\cos N=\cos \left(\overrightarrow{NM},\overrightarrow{NP}\right)=\frac{\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP}}{NM.NP}=\frac{5.10+3.\left(-6\right)}{\sqrt{34}.2\sqrt{34}}=\frac{8}{17}$.

Suy ra $\widehat{N}\approx 61°{56}^{\text{'}}$.

+) Ta có $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180°$ (định lí tổng ba góc của một tam giác).

$\widehat{P}=180°-\widehat{M}-\widehat{N}\approx 180°-88°7^{\text{'}}-61°{56}^{\text{'}}=29°{57}^{\text{'}}$.

Vậy $MN=\sqrt{34},MP=\sqrt{106},NP=2\sqrt{34},$

$\widehat{M}\approx 88°7^{\text{'}},\widehat{N}\approx 61°{55}^{\text{'}},\widehat{P}\approx 29°{57}^{\text{'}}.$

4. Phương trình đường thẳng

4.1. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với ∆.

Vectơ $\overrightarrow{n}$được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{n}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

Chú ý:

• Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ thì ∆ sẽ nhận $\overrightarrow{u}=\left(b;-a\right)$ hoặc $\overrightarrow{u}=\left(-b;a\right)$ là một vectơ chỉ phương.

• Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì $k\overrightarrow{u}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.

• Nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì $k\overrightarrow{n}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.

Ví dụ:

a) Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(\frac{2}{3};\frac{-1}{3}\right)$. Tìm một vectơ pháp tuyến của d.

b) Cho đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;7\right)$. Tìm ba vectơ chỉ phương của d’.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(\frac{2}{3};\frac{-1}{3}\right)$.

Suy ra d cũng có vectơ chỉ phương $3\overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$.

Vậy d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$.

b)

• d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;7\right)$.

Suy ra d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-7;3\right)$; $-\overrightarrow{u}=\left(7;-3\right)$.

• d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-7;3\right)$.

Suy ra d’ cũng có vectơ chỉ phương $2\overrightarrow{u}=\left(-14;6\right)$.

Vậy ba vectơ chỉ phương của d’ là $\overrightarrow{u}=\left(-7;3\right)$; $-\overrightarrow{u}=\left(7;-3\right)$; $2\overrightarrow{u}=\left(-14;6\right)$.

4.2. Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi:

$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+t{u}_1\\ y=y_0+t{u}_2\end{array}\right.$ (với $u_1^2+u_2^2>0,t\in ℝ$)

là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)$.

Chú ý: Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆ và ngược lại.

Ví dụ:

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và nhận $\overrightarrow{u}=\left(2;9\right)$ làm vectơ chỉ phương.

b) Trong các điểm A(2; 5), B(3; 12), C(–4; 6) thì điểm nào thuộc đường thẳng d?

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;9\right)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+9t\end{array}\right..$

b)

• Thay tọa độ điểm A vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}2=1+2t\\ 5=3+9t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\\ t=\frac{2}{9}\end{array}\right.$ (vô lý).

Khi đó A(2; 5) ∉ d.

• Thay tọa độ điểm B vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}3=1+2t\\ 12=3+9t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=1\\ t=1\end{array}\right.\iff t=1$.

Khi đó B(3; 12) ∈ d.

• Thay tọa độ điểm C vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}-4=1+2t\\ 6=3+9t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{-5}{2}\\ t=\frac{1}{3}\end{array}\right.$ (vô lý).

Khi đó C(–4; 6) ∉ d.

Vậy chỉ có điểm B thuộc đường thẳng d.

4.3. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng: ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0.

Chú ý:

• Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$.

• Khi cho phương trình đường thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0.

Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(-2;-1\right)$.

b) Đường thẳng ∆ đi qua điểm K(5; –8) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(3;-4\right)$.

c) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(6; 3), N(9; 1).

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(-2;-1\right)$ nên ta có phương trình tổng quát của ∆ là: –2(x – 2) – 1(y – 1) = 0

⇔ –2x – y + 5 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của ∆ là –2x – y + 5 = 0.

b) ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(3;-4\right)$ nên ∆ nhận $\overrightarrow{n}=\left(4;3\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm K(5; –8) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(4;3\right)$ nên ta có phương trình tổng quát của ∆ là: 4(x – 5) + 3(y + 8) = 0

⇔ 4x + 3y + 4 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 4x + 3y + 4 = 0.

c) Với M(6; 3), N(9; 1) ta có: $\overrightarrow{MN}=\left(3;-2\right)$.

∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=\left(3;-2\right)$ nên ∆ nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(6; 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)$ nên phương trình tổng quát của ∆ là: 2(x – 6) + 3(y – 3) = 0

⇔ 2x + 3y – 21 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 2x + 3y – 21 = 0.

Nhận xét:

• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B) có dạng:

$\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$ (với x_B ≠ x_A, y_B ≠ y_A).

• Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy tại A(a; 0) và B(0; b) (a, b khác 0) thì phương trình ∆ có dạng:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ (1).

Phương trình (1) còn được gọi là phương trình đoạn chắn.

Ví dụ:

+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm P(2; 5), Q(1; 8).

Suy ra phương trình đường thẳng ∆: $\frac{x-2}{1-2}=\frac{y-5}{8-5}\iff \frac{x-2}{-1}=\frac{y-5}{3}$.

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-5}{3}$.

+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm X(–4; 0) và Y(0; 5).

Vậy phương trình đoạn chắn của ∆: $\frac{x}{-4}+\frac{y}{5}=1$.

4.4. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

Ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + y₀ (k ≠ 0) là một đường thẳng d đi qua điểm M(0; y₀) và có hệ số góc k. Ta có thể viết: y = kx + y₀ ⇔ kx – y + y₀ = 0.

Như vậy, đồ thị hàm bậc nhất y = kx + y₀ là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(k;-1\right)$ và có phương trình tổng quát là kx – y + y₀ = 0. Đường thẳng này không vuông góc với Ox và Oy.

Ngược lại, cho đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 với a và b đều khác 0, khi đó ta có thể viết: ax + by + c = 0 $\iff y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ ⇔ y = kx + y₀.

Như vậy d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y₀ với hệ số góc $k=-\frac{a}{b}$ và tung độ gốc $y_0=-\frac{c}{b}$.

Ví dụ:

+) Cho đường thẳng d có phương trình: y = 2x + 1 ⇔ 2x – y + 1 = 0.

Ta suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$.

+) Cho đường thẳng d’ có phương trình: x + 5y – 2 = 0 $\iff y=-\frac{1}{5}x+\frac{2}{5}$.

Khi đó ta có d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y₀, với hệ số góc $k=-\frac{1}{5}$ và tung độ gốc $y_0=\frac{2}{5}$.

Chú ý:

• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành $y=-\frac{c}{b}$.

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm $\left(0;-\frac{c}{b}\right)$.

• Nếu b = 0 và a ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành $x=-\frac{c}{a}$.

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm $\left(-\frac{c}{a};0\right)$.

Trong cả hai trường hợp trên, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 ($a_1^2+b_1^2>0$) có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1$ và đường thẳng ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 ($a_2^2+b_2^2>0$) có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2$.

Ta có thể dùng phương pháp tọa độ để xét vị trí tương đối của ∆₁ và ∆₂ như sau:

– Nếu ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ cùng phương thì ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên ∆₁.

+ Nếu P ∈ ∆₂ thì ∆₁ ≡ ∆₂.

+ Nếu P ∉ ∆₂ thì ∆₁ // ∆₂.

– Nếu ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ không cùng phương thì ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại một điểm M(x₀; y₀) với (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}\right.$.

Chú ý:

a) Nếu ${\overrightarrow{n}}_1.{\overrightarrow{n}}_2=0$ thì ${\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2$, suy ra ∆₁ ⊥ ∆₂.

b) Để xét hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_1\left(a_1;b_1\right)$ và ${\overrightarrow{n}}_2\left(a_2;b_2\right)$ cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức a₁b₂ – a₂b₁:

+ Nếu a₁b₂ – a₂b₁ = 0 thì hai vectơ cùng phương.

+ Nếu a₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0 thì hai vectơ không cùng phương.

Trong trường hợp tất cả các hệ số a₁, a₂, b₁, b₂ đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:

+ Nếu $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$ thì hai vectơ cùng phương.

+ Nếu $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$ thì hai vectơ không cùng phương.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: 4x – 10y + 1 = 0 và ∆₂: x + y + 2 = 0.

b) ∆₁: 12x – 6y + 6 = 0 và ∆₂: 2x – y + 5 = 0.

c) ∆₁: 8x + 10y – 12 = 0 và ∆₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-6+5t\\ y=6-4t\end{array}\right.$

d) ∆₁: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-5t\\ y=2+4t\end{array}\right.$ và ∆₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-6+4t^{\text{'}}\\ y=2+5t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

a) ∆₁: 4x – 10y + 1 = 0 và ∆₂: x + y + 2 = 0.

∆₁ và ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(4;-10\right)$ và ${\overrightarrow{n}}_2=\left(1;1\right)$.

Ta có $\frac{4}{1}\ne \frac{-10}{1}$.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ không cùng phương.

Khi đó ta có ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại một điểm M.

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}4x-10y+1=0\\ x+y+2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\ y=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Suy ra $M\left(-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

Vậy ∆₁ cắt ∆₂ tại điểm $M\left(-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

b) ∆₁: 12x – 6y + 6 = 0 và ∆₂: 2x – y + 5 = 0.

∆₁ và ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(12;-6\right)$ và ${\overrightarrow{n}}_2=\left(2;-1\right)$.

Ta có $\frac{12}{2}=\frac{-6}{-1}$.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ cùng phương.

Khi đó ta có ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau.

Chọn M(0; 1) ∈ ∆₁.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ∆₂, ta được: 2.0 – 1 + 5 = 4 ≠ 0.

Suy ra M(0; 1) ∉ ∆₂.

Vậy ∆₁ // ∆₂.

c) ∆₁: 8x + 10y – 12 = 0 và ∆₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-6+5t\\ y=6-4t\end{array}\right.$

∆₁ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(8;10\right)$.

∆₂ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2=\left(5;-4\right)$.

Suy ra ∆₂ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(4;5\right)$.

Ta có $\frac{8}{4}=\frac{10}{5}$.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ là hai vectơ cùng phương.

Khi đó ta có ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau.

Chọn M(–6; 6) ∈ ∆₂.

Thế tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ∆₁, ta được: 8.(–6) + 10.6 – 12 = 0.

Suy ra M(–6; 6) ∈ ∆₁.

Vậy ∆₁ ≡ ∆₂.

d) ∆₁: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-5t\\ y=2+4t\end{array}\right.$ và ∆₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-6+4t^{\text{'}}\\ y=2+5t^{\text{'}}\end{array}\right.$

• ∆₁ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1=\left(-5;4\right)$.

Suy ra ∆₁ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{u}}_2=\left(4;5\right)$.

• ∆₂ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2=\left(4;5\right)$.

Suy ra ∆₂ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(5;-4\right)$.

∆₁ và ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(4;5\right)$ và ${\overrightarrow{n}}_2=\left(5;-4\right)$.

Ta có ${\overrightarrow{n}}_1.{\overrightarrow{n}}_2=$ 4.5 + 5.(–4) = 0.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2$.

Do đó ∆₁ ⊥ ∆₂.

∆₁ đi qua điểm A(–1; 2) và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(4;5\right)$.

Suy ra phương trình tổng quát của ∆₁: 4(x + 1) + 5(y – 2) = 0 ⇔ 4x + 5y – 6 = 0.

Tương tự, ta tìm được phương trình tổng quát của ∆₂: 5x – 4y + 38 = 0.

Gọi M(x; y) là giao điểm của ∆₁ và ∆₂.

Suy ra tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}4x+5y-6=0\\ 5x-4y+38=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{166}{41}\\ y=\frac{182}{41}\end{array}\right.$

Khi đó ta có tọa độ là $M\left(-\frac{166}{41};\frac{182}{41}\right)$.

Vậy ∆₁ và ∆₂ vuông góc với nhau tại điểm $M\left(-\frac{166}{41};\frac{182}{41}\right)$.

6. Góc giữa hai đường thẳng

6.1. Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tạo thành bốn góc.

• Nếu ∆₁ không vuông góc với ∆₂ thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂.

• Nếu ∆₁ vuông góc với ∆₂ thì ta nói góc giữa ∆₁ và ∆₂ bằng 90°.

Ta quy ước: Nếu ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau thì góc giữa ∆₁ và ∆₂ bằng 0°.

Như vậy góc α giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn: 0° ≤ α ≤ 90°.

Góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ được kí hiệu là $\left(\widehat{{\Delta }_1,{\Delta }_2}\right)$ hoặc (∆₁, ∆₂).

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có $\widehat{CBD}=30°$.

Tính các góc: (BD, BC), (AB, AD), (AD, BC), (AB, BD).

Hướng dẫn giải

Ta có:

+) $\widehat{CBD}=30°$. Suy ra (BD, BC) = 30°.

+) Vì AB ⊥ AD nên (AB, AD) = 90°.

+) Vì AD // BC nên (AD, BC) = 0°.

+) Ta có $\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=90°$ (Vì AB ⊥ BC).

$\iff \widehat{ABD}=90°-\widehat{DBC}=90°-30°=60°$.

Vì $\widehat{ABD}=60°$ nên (AB, BD) = 60°.

Vậy (BD, BC) = 30°, (AB, AD) = 90°, (AD, BC) = 0°, (AB, BD) = 60°.

6.2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Đường thẳng ∆₁ và ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(a_1;b_1\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(a_2;b_2\right)$.

Ta có công thức: $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$.

Nhận xét: Nếu ∆₁, ∆₂ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2$ thì $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2\right)\right|$.

Chú ý: Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:

• Nếu ∆₁ và ∆₂ lần lượt có phương trình a₁x + b₁y + c₁ = 0 và a₂x + b₂y + c₂ = 0 thì ta có:

(∆₁, ∆₂) = 90° ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ = 0.

• Nếu ∆₁ và ∆₂ lần lượt có phương trình y = k₁x + m₁ và y = k₂x + m₂ thì ta có:

(∆₁, ∆₂) = 90° ⇔ k₁k₂ = –1.

Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng –1 thì vuông góc với nhau.

Ví dụ: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a) d₁: x – 2y + 5 = 0 và d₂: 3x – y = 0.

b) d₁: 4x + 3y – 21 = 0 và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2-6t\\ y=-1+8t\end{array}\right.$

c) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=1+2t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2-4t^{\text{'}}\\ y=5-2t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

a) d₁: x – 2y + 5 = 0 và d₂: 3x – y = 0

d₁, d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(1;-2\right),{\overrightarrow{n}}_2=\left(3;-1\right)$.

Ta có $\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|1.3+\left(-2\right).\left(-1\right)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra (d₁, d₂) = 45°.

Vậy (d₁, d₂) = 45°.

b) d₁: 4x + 3y – 21 = 0 và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2-6t\\ y=-1+8t\end{array}\right.$

d₁ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(4;3\right)$.

d₂ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2=\left(-6;8\right)$ nên có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(8;6\right)$.

Ta có ${\overrightarrow{n}}_2=2{\overrightarrow{n}}_1$.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_2$ // ${\overrightarrow{n}}_1$.

Vậy (d₁, d₂) = 0°.

c) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=1+2t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2-4t^{\text{'}}\\ y=5-2t^{\text{'}}\end{array}\right.$

d₁, d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là ${\overrightarrow{u}}_1=\left(-1;2\right),{\overrightarrow{u}}_2=\left(-4;-2\right)$.

Ta có ${\overrightarrow{u}}_1.{\overrightarrow{u}}_2=$ (–1).(–4) + 2.(–2) = 0.

Suy ra ${\overrightarrow{u}}_1\perp {\overrightarrow{u}}_2\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2$

Vậy (d₁, d₂) = 90°.

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 (a² + b² > 0) và điểm M₀(x₀; y₀). Khoảng cách từ điểm M₀ đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M₀, ∆), được tính bởi công thức: $d\left(M_0,\Delta \right)=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:

a) A(3; 4) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0.

b) B(1; 2) và d: 3x – 4y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Với A(3; 4) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0 ta có:

$d\left(A,\Delta \right)=\frac{\left|4.3+3.4+1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$.

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ bằng 5.

b) Với B(1; 2) và d: 3x – 4y + 1 = 0 ta có:

$d\left(B,d\right)=\frac{\left|3.1-4.2+1\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{4}{5}$.

Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d bằng $\frac{4}{5}$.

8. Phương trình đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R.

Phương trình (x – a)² + (y – b)² = R² được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.

b) (C) có đường kính AB với A(1; 6), B(–3; 2).

c) (C) đi qua ba điểm A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2).

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)² +(y + 3)² = 4.

b) Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).

Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và đường kính AB nên I là trung điểm AB.

Với A(1; 6), B(–3; 2).

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1-3}{2}=-1\\ b=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{6+2}{2}=4\end{array}\right.$

Khi đó ta có tọa độ I(–1; 4).

Ta có $\overrightarrow{IA}=\left(2;2\right)$.

Suy ra $R=IA=\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 4), bán kính $R=2\sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 4)² = 8.

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Ta có M là trung điểm AB với A(–2; 4), B(5; 5).

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-2+5}{2}=\frac{3}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}\end{array}\right.$

Khi đó ta có $M\left(\frac{3}{2};\frac{9}{2}\right)$.

Tương tự, ta có N(2; 1).

Với A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2) ta có $\overrightarrow{AB}=\left(7;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(8;-6\right)$.

Đường trung trực d₁ của đoạn thẳng AB đi qua điểm $M\left(\frac{3}{2};\frac{9}{2}\right)$, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=\left(7;1\right)$.

Suy ra phương trình d₁: $7\left(x-\frac{3}{2}\right)+1\left(y-\frac{9}{2}\right)=0\iff 7x+y-15=0$.

Tương tự, ta có phương trình đường trung trực d₂ của đoạn thẳng AC:

8(x – 2) – 6(y – 1) = 0 ⇔ 4x – 3y – 5 = 0.

Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và (C) đi qua ba điểm A, B, C nên IA = IB = IC (= R).

Vì IA = IB nên I nằm trên đường trung trực d₁ của đoạn thẳng AB.

Tương tự, ta có I nằm trên đường trung trực d₂ của đoạn thẳng AC.

Vì vậy ta suy ra I là giao điểm của d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}7x+y-15=0\\ 4x-3y-5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$

Suy ra I(2; 1).

Với I(2; 1) và A(–2; 4) ta có $\overrightarrow{IA}=\left(-4;3\right)$.

Suy ra $R=IA=\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+3^2}=5$.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)² + (y – 1)² = 25.

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) (x – 4)² + (y – 10)² = 9.

b) (x + 2)² + (y – 5)² = 64.

c) x² + (y – 1)² = 36.

Hướng dẫn giải

a) (x – 4)² + (y – 10)² = 9

Đường tròn (C) có tâm I(4; 10), bán kính $R=\sqrt{9}=3$.

b) (x + 2)² + (y – 5)² = 64

Đường tròn (C) có tâm I(–2; 5), bán kính $R=\sqrt{64}=8$.

c) x² + (y – 1)² = 36.

Đường tròn (C) có tâm I(0; 1), bán kính $R=\sqrt{36}=6$.

Nhận xét: Ta có (x – a)² + (y – b)² = R²

⇔ x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – R²) = 0.

Vậy phương trình đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R² có thể được viết dưới dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, trong đó c = a² + b² – R².

Ngược lại, phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a² + b² – c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$.

Ví dụ: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Nếu là phương trình đường tròn, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x² + y² + 2x – 6y – 15 = 0.

b) 2x² + 2y² + 4x + 8y + 14 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = 3, c = –15.

Ta có a² + b² – c = 1 + 9 + 15 = 25 > 0.

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(–1; 3), bán kính R = 5.

b) Ta có 2x² + 2y² + 4x + 8y + 14 = 0 ⇔ x² + y² + 2x + 4y + 7 = 0.

Phương trình trên có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = –2, c = 7.

Ta có a² + b² – c = 1 + 4 – 7 = –2 < 0.

Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

9. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b) tại điểm M₀(x₀; y₀) nằm trên đường tròn là:

(a – x₀)(x – x₀) + (b – y₀)(y – y₀) = 0.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x – 2)² + (y + 3)² = 5 tại điểm M(3; –1).

Hướng dẫn giải

Ta có (3 – 2)² + (–1 + 3)² = 5.

Suy ra M ∈ (C).

Đường tròn (C) có tâm I(2; –3).

Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) tại điểm M(3; –1) là:

(2 – 3)(x – 3) + [–3 – (–1)].[y – (–1)] = 0.

⇔ –1.(x – 3) + (–2).(y + 1) = 0.

⇔ –x – 2y + 1 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) cần tìm là –x – 2y + 1 = 0.

10. Elip

10.1. Nhận biết elip

Cho hai điểm cố định F₁, F₂ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F₁F₂. Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F₁M + F₂M = 2a.

Các điểm F₁ và F₂ gọi là các tiêu điểm của elip.

Độ dài F₁F₂ = 2c gọi là tiêu cự của elip (a > c).

10.2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) có các tiêu điểm F₁ và F₂ và đặt F₁F₂ = 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁(–c; 0) và F₂(c; 0).

Người ta chứng minh được:

$M\left(x;y\right)\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (1),

trong đó $b=\sqrt{a^2-c^2}$.

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.

Chú ý:

• (E) cắt Ox tại hai điểm A₁(–a; 0), A₂(a; 0) và cắt Oy tại hai điểm B₁(0; –b), B₂(0; b).

• Các điểm A₁, A₂, B₁, B₂ gọi là các đỉnh của elip.

• Đoạn thẳng A₁A₂ = 2a gọi là trục lớn, đoạn thẳng B₁B₂ = 2b gọi là trục nhỏ của elip.

• Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.

• Nếu M(x; y) ∈ (E) thì |x| ≤ a, |y| $\le$ b.

Ví dụ: Cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10, tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là $\frac{2}{5}$.

a) Tính độ dài trục nhỏ của elip.

b) Viết phương trình chính tắc của elip.

Hướng dẫn giải

a) Ta có độ dài trục lớn bằng 10. Ta suy ra 2a = 10.

Suy ra a = 5.

Theo đề, ta có tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là $\frac{2}{5}$.

Suy ra $\frac{2c}{2a}=\frac{2}{5}$.

$\iff c=\frac{2}{5}.a=\frac{2}{5}.10=4$.

Ta có $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.

Suy ra 2b = 2.3 = 6.

Vậy độ dài trục nhỏ của elip (E) bằng 6.

b) Ta có a = 5 và b = 3.

Phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

11. Hypebol

11.1. Nhận biết hypebol

Cho hai điểm cố định F₁, F₂ và một độ dài không đổi 2a nhỏ hơn F₁F₂. Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F₁M – F₂M| = 2a.

Các điểm F₁ và F₂ gọi là các tiêu điểm của hypebol.

Độ dài F₁F₂ = 2c gọi là tiêu cự của hypebol (c > a).

11.2. Phương trình chính tắc của hypebol

Cho hypebol (H) có các tiêu điểm F₁ và F₂ và đặt F₁F₂ = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi và chỉ khi |F₁M – F₂M| = 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F₁(–c; 0) và F₂(c; 0).

Người ta chứng minh được:

$M\left(x;y\right)\in \left(H\right)\iff \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (2),

trong đó $b=\sqrt{c^2-a^2}$.

Phương trình (2) gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

Chú ý:

• (H) cắt Ox tại hai điểm A₁(–a; 0) và A₂(a; 0). Nếu ta vẽ hai điểm B₁(0; –b) và B₂(0; b) vào hình chữ nhật OA₂PB₂ thì $OP=\sqrt{a^2+b^2}=c$.

• Các điểm A₁, A₂ gọi là các đỉnh của hypebol.

• Đoạn thẳng A₁A₂ = 2a gọi là trục thực, đoạn thẳng B₁B₂ = 2b gọi là trục ảo của hypebol.

• Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol.

• Nếu M(x; y) ∈ (H) thì x ≤ –a hoặc x ≥ a.

Ví dụ: Cho hypebol (H) có một tiêu điểm F₂(8; 0) và (H) đi qua điểm A(5; 0). Viết phương trình chính tắc của hypebol (H).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của (H) có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a, b > 0.

Vì A(5; 0) ∈ (H) nên ta có $\frac{5^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$. Suy ra a = 5.

Do (H) có một tiêu điểm F₂(8; 0) nên ta có c = 8.

Suy ra $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{64-25}=\sqrt{39}$.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{39}=1$.

12. Parabol

12.1. Nhận biết parabol

Cho một điểm F và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và ∆.

F gọi là tiêu điểm và ∆ gọi là đường chuẩn của parabol (P).

12.2. Phương trình chính tắc của parabol

Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn ∆. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên p > 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ và ∆: $x+\frac{p}{2}=0$.

Người ta chứng minh được:

M(x; y) ∈ (P) ⇔ y² = 2px (3).

Phương trình (3) gọi là phương trình chính tắc của parabol.

Chú ý:

• O gọi là đỉnh của parabol (P).

• Ox gọi là trục đối xứng của parabol (P).

• p gọi là tham số tiêu của parabol (P).

• Nếu M(x; y) ∈ (P) thì x ≥ 0 và M’(x; –y) ∈ (P).

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết (P) có đường chuẩn ∆: x + 4 = 0.

Hướng dẫn giải

(P) có đường chuẩn ∆: x + 4 = 0.

Ta suy ra $\frac{p}{2}=4$.

Khi đó p = 2.4 = 8.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y² = 16x.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 10

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai bằng phần mềm Geogebra

Bài 2: Vẽ ba đường conic bằng phần mềm Geogebra