Giải Toán 10 trang 73 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 73 Tập 2

Bài tập 1 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2).

a) Chứng minh ABCD là hình vuông. 

b) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.

Lời giải:

a) Ta có:  $\overrightarrow{AB}$ = (−1; 3), $\overrightarrow{DC}$ = (−1; 3) ⇒ $\overrightarrow{AB}$  = $\overrightarrow{DC}$ .

⇒ ABCD là hình bình hành.

Lại có:  $\overrightarrow{AD}$ = (3; 1) ⇒ $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AD}$ = −1. 3 + 3. 1 = 0

⇒  $\overrightarrow{AB}$ ⊥ $\overrightarrow{AD}$  hay AB ⊥ AD

⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: AD = $\left|\overrightarrow{AD}\right|$  = $\sqrt{3^2+1^2}$  = $\sqrt{10}$

          AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|$  =  $\sqrt{{(-1)}^2+3^2}$ =  $\sqrt{10}$

⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông.

Vậy ABCD là hình vuông.

b) Tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm của AC 

⇒ $I\left(\frac{2+4}{2};\frac{1+5}{2}\right)$ ⇒ I = (3; 3).

Vậy tâm của hình vuông ABCD là I(3; 3).

Bài tập 2 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Cho AB và CD là dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh EF vuông góc với DB.

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c). 

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

⇒ K là trung điểm của AB ⇒  $K\left(\frac{a+b}{2};0\right)$.

     H là trung điểm của CD ⇒ $H\left(0;\frac{c+d}{2}\right)$

⇒ $I\left(\frac{a+b}{2};\frac{c+d}{2}\right)$ .

Ta có:  $\overrightarrow{IA}$ = $\left(a-\frac{a+b}{2};-\frac{c+d}{2}\right)$ ⇒ IA = $\left|\overrightarrow{IA}\right|$ = $\sqrt{{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$ .

          $\overrightarrow{IC}$ = $\left(-\frac{a+b}{2};c-\frac{c+d}{2}\right)$  ⇒ IC = $\left|\overrightarrow{IC}\right|$ = $\sqrt{{\left(-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$ .

Vì IA = IC (= R) ⇒ $\sqrt{{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$  = $\sqrt{{\left(-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$

⇔ (a − b)² + (c + d)² = (a + b)² + (c − d)²

⇔ a² − 2ab + b² + c² + 2cd + d² = a² + 2ab + b² + c² − 2cd + d²

⇔ 4ab = 4cd ⇔ ab = cd ⇔ ab − cd = 0 (1)

Ta có:  $\overrightarrow{EF}$ = (−a; −c},  = (−b; d)

⇒ $\overrightarrow{EF}$ . $\overrightarrow{BD}$ = (−a).(−b) − c.d = ab − cd = 0 (theo (1))

⇒  $\overrightarrow{EF}$ ⊥ $\overrightarrow{BD}$  hay EF ⊥ BD.

Vậy EF ⊥ BD.

Bài tập 3 trang 73 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong mỗi trường hợp sau:

a) d₁: x – y + 2 = 0 và d₂: x + y + 4 = 0;

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}\right.$  và d₂: x − 3y + 2 = 0;

c) d₁:  $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\text{'}\\ y=3+t\text{'}\end{array}\right.$ .

Lời giải:

⇒ d₁ ⊥ d₂ ⇒ (d₁, d₂) = 90°.

Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x–y+2=0 \\ x+y+4=0\end{array}\right.$ .

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}x–y+2=0 \\ x+y+4=0\end{array}\right.$  ta được $\left\{\begin{array}{l}x=-3 \\ y=-1\end{array}\right.$  ⇒ M(−3; −1).

Vậy d₁ và d₂ vuông góc và cắt nhau tại M(−3; −1).

⇒ d₁ và d₂ cắt nhau.

Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Tọa độ giao điểm M của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2x–y+1=0\\ x-3y+2=0\end{array}\right.$ .

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}2x–y+1=0\\ x-3y+2=0\end{array}\right.$  ta được $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{5}\\ y=\frac{3}{5}\end{array}\right.$  ⇒ $M\left(-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right)$ .

⇒ (d₁, d₂) = 45°.

Vậy d₁ cắt d₂ tại điểm $M\left(-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right)$  và (d₁, d₂) = 45°.

c) Đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ đi qua điểm (2; 5) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$ = (−1; 3) ⇒ d₁ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$  = (3; 1),

Khi đó phương trình tổng quát của d₁ là 3x + y – 11 = 0.

Đường thẳng d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\text{'}\\ y=3+t\text{'}\end{array}\right.$  đi qua điểm (1; 3) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}$ =(3; 1) ⇒ d₂ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$  = (1; −3),

Khi đó phương trình tổng quát của d₂ là x − 3y + 8 = 0.

Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+y–11=0\\ x-3y+8=0\end{array}\right.$ .

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}3x+y–11=0\\ x-3y+8=0\end{array}\right.$  ta được $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=\frac{7}{2}\end{array}\right.$  ⇒ $M\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$

Vậy d₁ và d₂ vuông góc và cắt nhau tại $M\left(\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$ .

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 73 Tập 2

Giải Toán 10 trang 74 Tập 2

Giải Toán 10 trang 75 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 10

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai bằng phần mềm Geogebra

Bài 2: Vẽ ba đường conic bằng phần mềm Geogebra