Giải Toán 10 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 6

Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 6

Bài tập

Giải Toán 10 trang 126 Tập 1

Bài 1 trang 126 Toán lớp 10 Tập 1: Một hằng số quan trọng trong toán học là số e có giá trị gần đúng với 12 chữ số thập phân là 2,718281828459.

a) Giả sử ta lấy giá trị 2,7 làm giá trị gần đúng của e. Hãy chứng tỏ sai số tuyệt đối không vượt quá 0,02 và sai số tương đối không vượt quá 0,75%.

b) Hãy quy tròn e đến hàng phần nghìn.

c) Tìm số gần đúng của số e với độ chính xác 0,00002.

Lời giải:

a) Sai số tuyệt đối ∆ = |2,718281828459 – 2,7| = 0,018281828459 < 0,02.

Sai số tương đối $\delta =\frac{\Delta }{\left|2,7\right|}=\frac{0,018281828459}{2,7}\approx 0,68\%$ < 0,75%.

b) Quy tròn e đến hàng phần nghìn ta được số gần đúng là 2,718.

c) Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của độ chính xác d = 0,00002 là hàng phần trăm nghìn. Quy tròn e đến hàng phần trăm nghìn ta được số gần đúng của e là 2,71828.

Bài 2 trang 126 Toán lớp 10 Tập 1: Cho các số gần đúng a = 54919020 ± 1000 và b = 5,7914003 ± 0,002. Hãy xác định số quy tròn của a và b.

Lời giải:

a = 54 919 020 ± 1 000

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 1 000 là hàng nghìn, nên ta quy tròn đến hàng phần chục nghìn. Vậy số quy tròn của a là 54 920 000.

b = 5,7914003 ± 0,002

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,002 là hàng phần nghìn, nên ta quy tròn đến hàng phần trăm. Vậy số quy tròn của b là 5,79.

Bài 3 trang 126 Toán lớp 10 Tập 1: Mỗi học sinh lớp 10A đóng góp 2 quyển sách cho thư viện trường. Lớp trưởng thống kê lại số sách mà mỗi tổ trong lớp đóng góp ở bảng sau:

Hãy cho biết lớp trưởng đã thống kê chính xác chưa. Tại sao?

Lời giải:

Mỗi học sinh đóng góp 2 quyển sách nên tổng số sách của một tổ sẽ chia hết cho 2.

Ta thấy số sách quyên góp được của tổ 4 là 19, là số lẻ không chia hết cho 2 nên lớp trưởng thống kê chưa chính xác.

Bài 4 trang 126 Toán lớp 10 Tập 1: Sản lượng nuôi tôm phân theo địa phương của các tỉnh Cà Mau và Tiền Giang được thể hiện ở hai biểu đồ sau (đơn vị: tấn):

a) Hãy cho biết các phát biểu sau là đúng hay sai:

i. Sản lượng nuôi tôm mỗi năm của tỉnh Tiền Giang đều cao hơn tỉnh Cà Mau.

ii. Ở tỉnh Cà Mau, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp hơn 4 lần so với năm 2008.

iii. Ở tỉnh Tiền Giang, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp hơn 2,5 lần so với năm 2008.

iv. Ở tỉnh Tiền Giang, từ năm 2008 đến năm 2018, sản lượng nuôi tôm mỗi năm tăng trên 50% so với năm cũ.

v. Trong vòng 5 năm từ năm 2013 đến 2018, sản lượng nuôi tôm của tỉnh Cà Mau tăng cao hơn của tỉnh Tiền Giang.

b) Để so sánh sản lượng nuôi tôm của hai tỉnh Cà Mau và Tiền Giang, ta nên sử dụng loại biểu đồ nào?

Lời giải:

a)

+) Phát biểu i: Ta thấy cột sản lượng các năm 2008, 2013, 2018 của tỉnh Tiền Giang cao hơn tỉnh Cà Mau nên phát biểu i đúng.

+) Phát biểu ii: Ở tỉnh Cà Mau, sản lượng nuôi tôm năm 2018 là 175 000 tấn, sản lượng nuôi tôm năm 2008 khoảng 90 000 tấn.

Khi đó sản lượng nuôi tôm năm 2018 so với năm 2008 bằng $\frac{175000}{90000}=\frac{35}{18}$ ≈ 1,94 lần.

Do đó phát biểu ii sai.

+) Phát biểu iii: Ở tỉnh Tiền Giang, sản lượng nuôi tôm năm 2018 khoảng 29 000 tấn, sản lượng nuôi tôm năm 2008 là 10 000 tấn.

Khi đó sản lượng nuôi tôm năm 2018 so với năm 2008 bằng $\frac{29000}{10000}=\frac{29}{10}$ = 2,9 lần.

Do đó phát biểu iii đúng.

+) Phát biểu iv: Nếu sản lượng nuôi tôm mỗi năm ở tỉnh Tiền Giang tăng trên 50% so với năm cũ thì sản lượng năm 2009 ít nhất bằng 150% . 100 000 = 150 000 tấn.

Sản lượng năm 2010 ít nhất bằng 150% . 150 000 = 225 000 tấn, trong khi sản lượng năm 2013 chỉ đạt khoảng 180 000 tấn.

Do đó phát biểu iv sai.

+) Phát biểu v: Trong vòng 5 năm từ năm 2013 đến 2018, sản lượng nuôi tôm của tỉnh Cà Mau tăng 175 000 - 90 000 = 85 000 tấn, sản lượng nuôi tôm của tỉnh Tiền Giang tăng 290 000 - 180 000 = 110 000 tấn.

85 000 < 110 000 nên phát biểu v sai.

b) Để so sánh sản lượng nuôi tôm của hai tỉnh Cà Mau và Tiền Giang, ta nên sử dụng loại biểu đồ đường.

Giải Toán 10 trang 127 Tập 1

Bài 5 trang 127 Toán lớp 10 Tập 1: Bạn Châu cân lần lượt 50 quả vải thiều Thanh Hà được lựa chọn ngẫu nhiên từ vườn nhà mình và được kết quả như sau:

a) Hãy tìm số trung bình, trung vị, mốt của mẫu số liệu trên.

b) Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

a) Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\frac{8.1+19.10+20.19+21.17+22.3}{1+10+19+17+3}$ = 20,02.

Cỡ mẫu bằng 50 nên tứ phân vị thứ hai bằng trung bình cộng của số liệu thứ 25 và 26 trong mẫu số liệu là Q₂ = $\frac{1}{2}$(20 + 20) = 20.

Mẫu số liệu trên có giá trị 20 xuất hiện nhiều nhất nên mốt của mẫu số liệu trên là 20.

b) Phương sai của mẫu số liệu trên là:

S² = $\frac{1}{50}$(1 . 8² + 10 . 19² + 19 . 20² + 17 . 21² + 3 . 22²) - 20,02² = 3,66.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

S = $\sqrt{3,66}$ ≈ 1,91.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: R = 22 - 8 = 14.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 8; 19; 20 với cỡ mẫu bằng 25 là số liệu thứ 13 của mẫu số liệu là Q₁ = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 20; 21; 22 với cỡ mẫu bằng 25 là số liệu thứ 38 của mẫu số liệu là Q₃ = 21.

Khoảng tứ phân vị của của mẫu số liệu trên là: 21 - 20 = 1.

Ta có Q₃ + 1,5${\Delta }_Q$ = 21 + 1,5 . 1 = 22,5 và Q₁ - 1,5${\Delta }_Q$ = 20 - 1,5 . 1 = 18,5.

Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên là 8.

Bài 6 trang 127 Toán lớp 10 Tập 1: Độ tuổi của 22 cầu thủ ở đội hình xuất phát của hai đội bóng đá được ghi lại ở bảng sau:

a) Hãy tìm số trung bình, mốt, độ lệch chuẩn và tứ phân vị của tuổi mỗi cầu thủ của từng đội bóng.

b) Tuổi của các cầu thủ ở đội bóng nào đồng đều hơn? Tại sao?

Lời giải:

a) +) Đội A:

Sắp xếp tuổi của các cầu thủ theo thứ tự không giảm ta được mẫu:

20; 21; 23; 24; 24; 24; 25; 25; 26; 28; 29.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{11}$(20 + 21 + 23 + 24 + 24 + 24 + 25 + 25 + 26 + 28 + 29) ≈ 24,45.

Trong mẫu số liệu trên, giá trị 24 xuất hiện nhiều nhất nên mốt của mẫu số liệu trên là 24.
Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{11}$(20² + 21² + 23² + 3 . 24² + 2 . 25² + 26² + 28² + 29²) - 24,45² ≈ 6,65.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$\sqrt{6,65}$ ≈ 2,58.

Cỡ mẫu bằng 11 nên tứ phân vị thứ hai là số liệu thứ 6 trong mẫu số liệu là Q₂ = 24.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 20; 21; 23; 24; 24 nên Q₁ = 23.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 25; 25; 26; 28; 29 nên Q₃ = 26.

+) Đội B:

Sắp xếp tuổi của các cầu thủ theo thứ tự không giảm ta được mẫu:

19; 19; 20; 21; 21; 22; 28; 29; 29; 29; 32.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{11}$(19 + 19 + 20 + 21 + 21 + 22 + 28 + 29 + 29 + 29 + 32) ≈ 24,45.

Trong mẫu số liệu trên, giá trị 29 xuất hiện nhiều nhất nên mốt của mẫu số liệu trên là 29.
Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{11}$(2 . 19² + 20² + 2 . 21² + 22² + 28² + 3 . 29² + 32²) - 24,45² ≈ 22,11.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$\sqrt{22,11}$ ≈ 4,7.

Cỡ mẫu bằng 11 nên tứ phân vị thứ hai là số liệu thứ 6 trong mẫu số liệu là Q₂ = 22.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 19; 19; 20; 21; 21 nên Q₁ = 20.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 28; 29; 29; 29; 32 nên Q₃ = 29.

b) Độ lệch chuẩn giữa số tuổi của các cầu thủ ở đội A nhỏ hơn đội B nên tuổi của các cầu thủ ở đội A đồng đều hơn so với đội B.

Bài 7 trang 127 Toán lớp 10 Tập 1: Một cửa hàng bán xe ô tô thay đổi chiến lược kinh doanh vào cuối năm 2019. Số xe cửa hàng bán được mỗi tháng trong năm 2019 và 2020 được ghi lại ở bảng sau:

a) Hãy tính số trung bình, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của số lượng xe bán được trong năm 2019 và năm 2020.

b) Nêu nhận xét về tác động của chiến lược kinh doanh mới lên số lượng xe bán ra hằng tháng.

Lời giải:

a) +) Năm 2019:

Sắp xếp số lượng xe bán được theo thứ tự không giảm ta được mẫu:

22; 24; 29; 29; 30; 31; 31; 35; 37; 40; 40; 54.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{12}$(22 + 24 + 29 + 29 + 30 + 31 + 31 + 35 + 37 + 40 + 40 + 54) = 33,5.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{12}$(22² + 24² + 2. 29² + 30² + 2 . 31² + 35² + 37² + 2 . 40² + 54²) - 33,5² = 67,25.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$\sqrt{67,25}$ ≈ 8,2.

Cỡ mẫu bằng 12 nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu bằng trung bình cộng của số liệu thứ 6 và thứ 7 là Q₂ = $\frac{1}{2}$(31 + 31) = 31.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 22; 24; 29; 29; 30; 31 nên tứ phân vị thứ nhất là Q₁ = $\frac{1}{2}$(29 + 29) = 29.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 31; 35; 37; 40; 40; 54 nên tứ phân vị thứ ba là Q₃ = $\frac{1}{2}$(37 + 40) = 38,5.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: 38,5 - 29 = 9,5.

+) Năm 2020:

Sắp xếp số lượng xe bán được theo thứ tự không giảm ta được mẫu:

28; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 35; 37; 37; 45.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{12}$(28 + 31 + 32 + 33 + 33 + 34 + 34 + 35 + 35 + 37 + 37 + 45) ≈ 34,58.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$\frac{1}{12}$(28² + 31² + 32² + 2 . 33² + 2 . 34² + 2 . 35² + 2 . 37² + 45²) - 34,58² ≈ 10,22.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$\sqrt{10,22}$ ≈ 3,2.

Cỡ mẫu bằng 12 nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu bằng trung bình cộng của số liệu thứ 6 và thứ 7 là Q₂ = $\frac{1}{2}$(34 + 34) = 34.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 28; 31; 32; 33; 33; 34 nên tứ phân vị thứ nhất là Q₁ = $\frac{1}{2}$(32 + 33) = 32,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 34; 35; 35; 37; 37; 45 nên tứ phân vị thứ ba là Q₃ = $\frac{1}{2}$(35 + 37) = 36.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: 36 - 32,5 = 3.5

b) Sau khi áp dụng chiến lược kinh doanh mới, số lượng xe bán ra hàng tháng đồng đều hơn.

Lý thuyết Tổng hợp cuối chương 6

1. Số gần đúng

Trong thực tế cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, có nhiều đại lượng mà ta không thể xác định được giá trị chính xác. Mỗi dụng cụ hay phương pháp đo khác nhau có thể sẽ cho ra các kết quả khác nhau. Vì vậy kết quả thu được thường chỉ là những số gần đúng.

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

2.1. Sai số tuyệt đối

Nếu a là số gần đúng của số đúng $\overline{a}$ thì ${\Delta }_a=\left|\overline{a}-a\right|$ được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

* Độ chính xác:

Trên thực tế ta thường không biết số đúng $\overline{a}$ nên không thể tính được chính xác ∆_a. Khi đó, ta thường tìm cách khống chế sai số tuyệt đối ∆_a không vượt quá mức d > 0 cho trước:

${\Delta }_a=\left|\overline{a}-a\right|\le d$ hay a – d ≤ $\overline{a}$ ≤ a + d.

Khi đó, ta nói a là số gần đúng của số đúng $\overline{a}$ với độ chính xác d.

Quy ước viết gọn: $\overline{a}=a\pm d$ .

2.2. Sai số tương đối

Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δ_a, là tỉ số giữa sai số tuyệt đối ∆_a và |a|, tức là ${\delta }_a=\frac{{\Delta }_a}{\left|a\right|}$ .

Nếu thì ∆_a ≤ d. Do đó ${\delta }_a=\frac{{\Delta }_a}{\left|a\right|}$. Nếu δ_a hay $\frac{d}{\left|a\right|}$ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.

Chú ý: Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.

3. Số quy tròn

3.1. Quy tắc làm tròn số

Quy tắc làm tròn số đến một hàng nào đó (gọi là hàng quy tròn):

+ Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0.

+ Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên nhưng cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng quy tròn.

Chú ý:

+ Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn. Ta có thể nói độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.

+ Khi quy tròn số đúng $\overline{a}$ đến một hàng nào đó thì ta nói số gần đúng a nhận được là chính xác đến hàng đó. Ví dụ số gần đúng của π chính xác đến hàng phần trăm là 3,14.

3.2. Xác định số quy tròn của số gần đúng với độ chính xác cho trước

Các bước xác định số quy tròn của số gần đúng a với độ chính xác d cho trước:

Bước 1: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d.

Bước 2: Quy tròn số a ở hàng gấp 10 lần hàng tìm được ở Bước 1.

3.3. Xác định số gần đúng của một số với độ chính xác cho trước

Để tìm số gần đúng a của số đúng $\overline{a}$ với độ chính xác d, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d.

Bước 2: Quy tròn $\overline{a}$ đến hàng tìm được ở trên.

4. Bảng số liệu

Dựa vào các thông tin đã biết và sử dụng mối liên hệ toán học giữa các số liệu, ta có thể phát hiện ra được số liệu không chính xác trong một số trường hợp.

5. Biểu đồ

Ta có thể biểu diễn số liệu thống kê dưới dạng biểu đồ.

Một số dạng biểu đồ thường gặp: biểu đồ cột, biểu đồ cột kép, biểu đồ quạt, biểu đồ tranh,…

Quan sát các biểu đồ ta có thể đưa ra các nhận xét về số liệu thống kê.

6. Số trung bình

6.1. Công thức tính số trung bình

• Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x­₂, …, x_n.

Số trung bình (hay số trung bình cộng) của mẫu số liệu này, kí hiệu là $\overline{x}$ , được tính bởi công thức

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\mathrm{...}+x_n}{n}$.

• Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số

Khi đó, công thức tính số trung bình trở thành

$\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\mathrm{...}+n_k{x}_k}{n}$.

Trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k. Ta gọi n là cỡ mẫu.

Chú ý: Nếu kí hiệu $f_k=\frac{n_k}{n}$ là tần số tương đối (hay còn gọi là tần suất) của x_k­ trong mẫu số liệu thì số trung bình còn có thể biểu diễn là: $\overline{x}=f_1{x}_1+f_2{x}_2+\mathrm{...}+f_k{x}_k$.

6.2.Ý nghĩa của số trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đo xu thế trung tâm của mẫu đó.

7. Trung vị và tứ phân vị

7.1. Trung vị

7.1.1 Định nghĩa và cách tính số trung vị

Khi các số liệu trong mẫu số liệu chênh lệch nhau quá lớn, ta dùng một đặc trưng khác của mẫu số liệu, gọi là trung vị để so sánh các mẫu số liệu với nhau.

Trung vị được định nghĩa như sau:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Trung vị của mẫu, kí hiệu là M_e, là giá trị ở chính giữa dãy x₁, x­­₂, …, x_n. Cụ thể:

- Nếu n = 2k + 1, (tức n là số tự nhiên lẻ), thì trung vị của mẫu M_e = x_{k + 1}.

- Nếu n = 2k, (tức n là số tự nhiên chẵn), thì trung vị của mẫu M_e = $\frac{1}{2}\left(x_k+x_{k+1}\right)$ .

7.1.2 Ý nghĩa của số trung vị

Trung vị được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Trung vị là giá trị nằm ở chính giữa của mẫu số liệu theo nghĩa: luôn có ít nhất 50% số liệu trong mẫu lớn hơn hoặc bằng trung vị và ít nhất 50% số liệu trong mẫu nhỏ hơn hoặc bằng trung vị. Khi trong mẫu xuất hiện thêm một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ thì số trung bình sẽ bị thay đổi đáng kể nhưng trung vị thì ít thay đổi.

7.2. Tứ phân vị

• Trung vị chia mẫu thành hai phần. Trong thực tế người ta cũng quan tâm đến trung vị của mỗi phần đó. Ba trung vị này được gọi là tứ phân vị của mẫu.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là Q₁, Q₂, Q­₃). Ba giá trị này chia tập hợp dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Cụ thể:

- Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q₂, chính là số trung vị của mẫu.

- Giá trị tứ phân vị thứ nhất, Q₁, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

- Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q₃, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

• Ý nghĩa của tứ phân vị

Các điểm tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần chia khoảng 25% tổng số liệu đã thu thập được.

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ còn được gọi là tứ phân vị dưới và đại diện cho nửa mẫu số liệu phía dưới. Tứ phân vị thứ ba Q₃, còn được gọi là tứ phân vị trên và đại diện cho nửa mẫu số liệu ở phía trên.

8. Mốt

Cho mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là M_o.

Ý nghĩa của mốt: Mốt đặc trưng cho giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.

Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có rất nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

9.1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

• Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

R = x_n – x₁.

• Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là ∆_Q, là hiệu giữa Q_3­ và Q₁, tức là:

∆_Q = Q₃ – Q₁.

9.2. Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.

Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ Q₁ đến Q₃ trong mẫu.

Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.

9.3. Giá trị ngoại lệ

Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu. Cụ thể, phần tử x trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ – 1,5∆_Q.

Sự xuất hiện của các giá trị ngoại lệ làm cho số trung bình và phạm vi của mẫu thay đổi lớn. Do đó, khi mẫu có giá trị ngoại lệ, người ta thường sử dụng trung vị và khoảng tứ phân vị để đo mức độ tập trung và mức độ phân tán của đa số các phần tử trong mẫu số liệu.

10. Phương sai và độ lệch chuẩn

10.1. Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn

* Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …, x_n.

• Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là S², được tính bởi công thức:$S^2=\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right],$

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

• Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là S.

Chú ý: Có thể biến đổi công thức tính phương sai ở trên thành:

$S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\mathrm{...}+x_n^2\right)-{\overline{x}}^2$.

Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là , được tính bởi công thức:

${\widehat{s}}^2=\frac{1}{n-1}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$.

* Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:

Khi đó, công thức tính phương sai trở thành:

$S^2=\frac{1}{n}\left[n_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+n_2{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+n_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2\right],$

trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k.

Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành

$S^2=\frac{1}{n}\left(n_1{x}_1^2+n_2{x}_2^2+\mathrm{...}+n_k{x}_k^2\right)-\overline{x}$.

10.2. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.

Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Dùng máy tính cầm tay để tính toán với số gần đúng và tính các số đặc trưng của mẫu số liệu thống kê

Bài 2: Dùng bảng tính để tính các số đặc trưng của mẫu số liệu thống kê

Bài 1: Mệnh đề

Bài 2: Tập hợp

Bài 3: Các phép toán trên tập hợp

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài tập cuối chương 6