Giải Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải bài tập Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải Toán 10 trang 88 Tập 1

Hoạt động khởi động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Một kiện hàng được vận chuyển từ điểm A đến điểm B rồi lại được vận chuyển từ điểm B đến điểm C. Tìm vectơ biểu diễn tổng của hai độ dịch chuyển: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Lời giải:

Vectơ biểu diễn tổng của hai độ dịch chuyển $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ là $\overrightarrow{AC}$.

1. Tổng của hai vectơ

Hoạt động khám phá 1 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Một rô bốt thực hiện liên tiếp hai chuyển động có độ dịch chuyển lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ (Hình 1). Tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của rô bốt sau chuyển động trên.

Lời giải:

Vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của rô bốt sau hai chuyển động trên là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Giải Toán 10 trang 89 Tập 1

Hoạt động khám phá 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD (Hình 4).

Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{A\text{D}}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và $\left|\overrightarrow{A\text{D}}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$ nên $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{BC}$.

Khi đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Thực hành 1 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và DC. Cho biết $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$. Chứng minh hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}$.

Hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD nên AB // CD.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Thực hành 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

Dựng hình bình hành ABDC.

Do tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}$ = 60^o.

Hình bình hành ABDC có AB = AC nên ABDC là hình thoi.

Gọi giao điểm của AD và BC là H.

Khi đó AH $\perp$ BC.

Tam giác ABH vuông tại H có:

$\sin \widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}$

$\Rightarrow$ AH = AB . sin $\widehat{ABH}$ = a . sin 60^o = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Do H là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABDC nên AH = $\frac{1}{2}$AD.

Do đó AD = $a\sqrt{3}$.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A\text{D}}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{A\text{D}}\right|=a\sqrt{3}$.

Giải Toán 10 trang 90 Tập 1

Vận dụng 1 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Một máy bay có vectơ vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như Hình 7. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Lời giải:

Gọi vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ vận tốc của máy bay, vectơ $\overrightarrow{BC}$ là vận tốc gió.

Khi đó vectơ tổng của hai vectơ nói trên là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Khi đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:

AC² = AB² + BC²

$\Rightarrow$ AC² = 150² + 30²

$\Rightarrow$ AC² = 23 400

$\Rightarrow$ AC = $30\sqrt{26}$ km/h (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0).

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=30\sqrt{26}$.

Vận dụng 2 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ có độ lớn lần lượt là 400 N, 600 N (Hình 8). Cho biết góc giữa hai vectơ là 60°. Tìm độ lớn của vectơ hợp lực $\overrightarrow{F}$ là tổng của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$.

Lời giải:

Dựng hình bình hành AOBC.

Khi đó $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OC}$.

Do AOBC là hình bình hành nên $\widehat{AOB}+\widehat{OBC}=180°$ và OA = BC = 400.

Do đó $\widehat{OBC}=180°-\widehat{AOB}=180°-60°=120°$.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác OBC có:

OC² = OB² + BC² - 2.OB.BC.cos $\widehat{OBC}$

$\Rightarrow$ OC² = 600² + 400² - 2.600.400.cos 120^o

$\Rightarrow$ OC² = 760 000

$\Rightarrow$ OC ≈ 872 N (do OC là độ dài đoạn thẳng nên OC > 0)

Vậy $\left|\overrightarrow{F}\right|$ ≈ 872 N.

2. Tính chất của phép cộng các vectơ

Hoạt động khám phá 2 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ được biểu diễn như Hình 9.

Hãy hoàn thành các phép cộng vectơ sau và so sánh các kết quả tìm được:

a) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\boxed{?}$;

$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=\boxed{?}$

b) $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\boxed{?}$;

$\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\boxed{?}$

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

b) Ta có: $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{A\text{D}}$.

$\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C\text{D}}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{A\text{D}}$.

Do đó $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

Giải Toán 10 trang 91 Tập 1

Thực hành 3 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\overrightarrow{a}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{CB}$;

b) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}$.

Lời giải:

a) $\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}\right)+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}+\overrightarrow{CB}$

$=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)+\overrightarrow{B\text{D}}$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B\text{D}}$

$=\overrightarrow{AD}$

Do đó $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{A\text{D}}\right|$ = 1.

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}$

$=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{DA}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{AC}$

Do đó $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC có:

AC² = AD² + DC²

$\Rightarrow$ AC² = 1² + 1²

$\Rightarrow$ AC² = 2

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{2}$ (do AC là độ dài đoạn thẳng)

Vậy $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2}$.

3. Hiệu của hai vectơ

Hoạt động khám phá 3 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm hợp lực của hai lực đối nhau $\overrightarrow{F}$ và $-\overrightarrow{F}$ (Hình 11).

Lời giải:

Hợp lực của hai lực đối nhau $\overrightarrow{F}$ và $-\overrightarrow{F}$ là $\overrightarrow{F}+\left(-\overrightarrow{F}\right)$.

Giải Toán 10 trang 92 Tập 1

Thực hành 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và một điểm O tùy ý. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}$;

b) $\overrightarrow{b}=\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right)$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{O\text{D}}=\overrightarrow{DB}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A có:

BD² = AB² + AD²

$\Rightarrow$ BD² = 1² + 1²

$\Rightarrow$ BD² = 2

$\Rightarrow$ BD = $\sqrt{2}$ (do BD là độ dài đoạn thẳng nên BD > 0)

Vậy $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{O\text{D}}\right|=\sqrt{2}$.

b) Ta có $\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right)\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = 1.

4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Hoạt động khám phá 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: a) Cho điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta đã biết $\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AM}$. Hoàn thành phép cộng vectơ sau: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MM}=\boxed{?}$

b) Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}$ và $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{DG}$, hoàn thành phép cộng vectơ sau:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{DD}=\boxed{?}$

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MM}=\boxed{\overrightarrow{0}}$

b) Ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{DD}=\boxed{\overrightarrow{0}}$

Giải Toán 10 trang 93 Tập 1

Thực hành 5 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:

a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$;

b) $\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$;

c) $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

a) Hình bình hành ABCD có tâm O nên O là trung điểm của BD.

Do $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ nên M là trọng tâm của tam giác ADB.

Khi đó trên AO chọn M sao cho $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AO}$.

b) Do $\overrightarrow{N\text{D}}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$ nên N là trọng tâm của tam giác DBC.

Khi đó trên CO chọn N sao cho $\overrightarrow{CN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CO}$.

c) Do $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$ nên P là trung điểm của MN (1).

Ta có AM = $\frac{2}{3}$AO = $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{3}$AC; CN = $\frac{2}{3}$CO = $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{3}$AC.

Do đó MN = $\frac{1}{3}$AC.

MO = $\frac{1}{3}$AO = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{6}$AC.

Khi đó MO = $\frac{1}{2}$MN.

Mà O nằm giữa M và N nên O là trung điểm của MN (2).

Từ (1) và (2) suy ra P trùng O.

Bài tập

Bài 1 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$;

b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$ ngược hướng và $\left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$ nên $\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{BA}$.

Do đó $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$.

b) Do O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do O là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$.

Do O là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}$.

$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}$.

Do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{M\text{D}}$.

Bài 2 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$;

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$;

c) $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA}$

$$\begin{gathered} =\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA}\right) \\ =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{DB}$.

c) $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{C\text{D}}=\overrightarrow{DB}$.

Bài 3 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ:

a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$;

c) $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$ = a.

b) Dựng hình bình hành ABDC.

Gọi H là giao điểm của AD và BC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A\text{D}}$.

Hình bình hành ABDC có AB = AC nên ABDC là hình thoi.

Do đó AD $\perp$ BC tại H.

Do tam giác ABC đều nên $\widehat{ABH}$ = 60^o.

Xét tam giác ABH vuông tại H:

$\sin \widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}$

$\Rightarrow$ AH = AB . sin $\widehat{ABH}$ = a . sin 60^o = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Do H là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABDC nên H là trung điểm của AD.

Do đó AD = 2AH = 2 . $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ = $a\sqrt{3}$.

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{A\text{D}}\right|=a\sqrt{3}$.

c) Ta có $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|$= a.

Bài 4 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$;

b) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}$.

Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng và $\left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{\text{CD}}\right|$ nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{C\text{D}}$.

Do đó $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$.

b) Ta có $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{C\text{D}}$.

Do đó $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

Bài 5 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{MA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{MC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ đều là 10 N và $\widehat{AMB}=90°$. Tìm độ lớn của lực $\overrightarrow{F_3}$.

Lời giải:

Dựng hình bình hành MBAD.

Do ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào vật tại điểm M và vật đứng yên nên

$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{F_3}=-\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)$.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MD}$ hay $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MD}$.

Do đó $\overrightarrow{F_3}=-\overrightarrow{M\text{D}}$.

Hình bình hành MBAD có $\widehat{AMB}$ = 90^o và MA = MB nên MBAD là hình vuông.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MAD vuông tại A có:

MD² = MA² + AD²

$\Rightarrow$ MD² = 10² + 10²

$\Rightarrow$ MD² = 2.10²

$\Rightarrow$ MD = $10\sqrt{2}$ N (do MD là độ dài đoạn thẳng nên MD > 0).

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|-\overrightarrow{M\text{D}}\right|=10\sqrt{2}$ N.

Vậy cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}$ là $10\sqrt{2}$ N.

Bài 6 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực $\overrightarrow{F}$ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng $\overrightarrow{F_1}$ và lực cản $\overrightarrow{F_2}$ (Hình 16). Cho biết α = 30° và $\left|\overrightarrow{F}\right|=a$. Tính $\left|\overrightarrow{F_1}\right|$ và $\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ theo a.

Lời giải:

Đặt tên các điểm đầu và điểm cuối của các vectơ và tên góc như trên hình.

Khi đó ABDC là hình chữ nhật.

Ta có $\widehat{BA\text{D}}$ = α (cùng phụ với β).

Do đó $\widehat{BA\text{D}}$ = 30^o.

Tam giác ABD vuông tại B nên $\cos \widehat{BAD}=\frac{BA}{AD}$

$\Rightarrow$ BA = AD . cos $\widehat{BA\text{D}}$ = a . cos 30^o = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$\sin \widehat{BAD}=\frac{BD}{AD}\Rightarrow$BD = AD. sin $\widehat{BAD}$ = a . sin 30^o = $\frac{a}{2}$.

Do ABDC là hình chữ nhật nên BD = AC = $\frac{a}{2}$.

Vậy $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2};\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\frac{a}{2}$.

Bài 7 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$; $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{KA},\overrightarrow{GH},\overrightarrow{AG}$.

Lời giải:

Do $\overrightarrow{K\text{A}}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$ nên K là trung điểm của AC.

Do đó K là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Do $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó trên đoạn BK chọn điểm G sao cho $\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BK}$.

Do $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{H\text{D}}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$ nên H là trọng tâm của tam giác ADC.

Khi đó trên đoạn DK chọn điểm H sao cho $\overrightarrow{DH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DK}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D có:

AC² = AD² + DC²

$\Rightarrow$ AC² = a² + a²

$\Rightarrow$ AC² = 2a²

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{2}$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do K là trung điểm của AC nên AK = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{\sqrt{2}a}{2}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{K\text{A}}\right|=\frac{\sqrt{2}a}{2}$.

Do ABCD là hình vuông nên AC = BD.

Do đó BD = $\sqrt{2}$a.

Do H là trọng tâm của tam giác ADC nên HK = $\frac{1}{3}$DK = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{6}$BD = $\frac{\sqrt{2}a}{6}$.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên KG = $\frac{1}{3}$BK = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{6}$BD = $\frac{\sqrt{2}a}{6}$.

Do đó HK + KG = $\frac{\sqrt{2}a}{6}$+ $\frac{\sqrt{2}a}{6}$ hay HG = $\frac{\sqrt{2}a}{3}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{GH}\right|=\frac{\sqrt{2}a}{3}$.

Do ABCD là hình vuông là K là giao điểm hai đường chéo nên AC $\perp$ BD tại K.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AKG vuông tại K có:

AG² = AK² + KG²

$\Rightarrow$ AG² = ${\left(\frac{\sqrt{2}a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}a}{6}\right)}^2$

$\Rightarrow$ AG² = $\frac{5{\text{a}}^2}{9}$

$\Rightarrow$ AG = $\frac{\sqrt{5}a}{3}$ (do AG là độ dài đoạn thẳng nên AG > 0)

Do đó $\left|\overrightarrow{AG}\right|=\frac{\sqrt{5}a}{3}$.

Vậy $\left|\overrightarrow{K\text{A}}\right|=\frac{\sqrt{2}a}{2}$; $\left|\overrightarrow{GH}\right|=\frac{\sqrt{2}a}{3}$; $\left|\overrightarrow{AG}\right|=\frac{\sqrt{5}a}{3}$.

Bài 8 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như Hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ mói trên.

Lời giải:

Đặt tên điểm đầu và điểm cuối của các vectơ như hình trên.

Khi đó vectơ vận tốc của con tàu là vectơ $\overrightarrow{AB}$; vectơ vận tốc của dòng nước là vectơ $\overrightarrow{BC}$.

Khi đó vectơ tổng của hai vectơ trên là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:

AC² = AB² + BC²

$\Rightarrow$ AC² = 30² + 10²

$\Rightarrow$ AC² = 1 000

$\Rightarrow$ AC = $10\sqrt{10}$ (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Vậy độ dài tổng của hai vectơ trên là $10\sqrt{10}$ km/h.

Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ- Chân trời sáng tạo

1. Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Vậy $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm M, N, P, ta có $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$.

Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

Ví dụ: Cho các điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Thực hiện phép cộng các vectơ:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD};\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB};\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}$.

Quy tắc hình bình hành

Nếu OACB là hình bình hành thì ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$.

Ví dụ: Cho hình chữ nhật MNPQ và hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ như hình bên. Tính tổng của hai vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{AD},\overrightarrow{y}=\overrightarrow{AB}$.

Suy ra $\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{AC}$.

2. Tính chất của phép cộng các vectơ

Phép cộng vectơ có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

+ Tính chất kết hợp: $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

+ Với mọi $\overrightarrow{a}$, ta luôn có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ ,kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ với $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}$.

Ví dụ: Cho tứ giác MNPQ. Thực hiện các phép cộng vectơ sau:

a) $\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PM}\right)+\overrightarrow{NQ}$.

b) $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{PM}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ, ta được:

a) $\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PM}\right)+\overrightarrow{NQ}=\left(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MN}\right)+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{PQ}$.

b) $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{PM}=\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NQ}\right)+\left(\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PM}\right)=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{MM}=\overrightarrow{0}$.

Chú ý: Cho vectơ tùy ý $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$.

Ta có $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{a}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{a}\right)=\overrightarrow{0}$.

3. Hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là vectơ \$\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$ và kí hiệu là $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Ví dụ: Cho các điểm D, E, F, G phân biệt. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: $\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{FE};\overrightarrow{GD}-\overrightarrow{GF}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{DE}+\left(-\overrightarrow{FE}\right)=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}$.

$\overrightarrow{GD}-\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{GD}+\left(-\overrightarrow{GF}\right)=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{FD}$.

Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có:$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD};\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right)$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DB}$.

$\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.

4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$.

b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC (tính chất hình bình hành).

Lại có E là trung điểm AB (gt)

Do đó OE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra OE // BC và OE = $\frac{1}{2}BC$ = BF (với F là trung điểm BC).

Khi đó ta có tứ giác OEBF là hình bình hành.

Áp dụng quy tắc hình bình hành cho OEBF, ta được: $\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}$.

Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC và BD (tính chất hình bình hành).

Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}$

$=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\overrightarrow{OD}+\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}\right)$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$.

Ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}$

$=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$

$=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}$.

Vậy $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BD}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ