Giải Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 8

Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 8

Giải Toán 10 trang 36 Tập 2

Bài 1 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2:

Một nhóm tình nguyện viên gồm 4 học sinh lớp 10A, 5 học sinh lớp 10B và 6 học sinh lớp 10C. Để tham gia một công việc tình nguyện, nhóm có bao nhiêu cách cử ra:

a) 1 thành viên của nhóm?

b) 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?

c) 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?

Lời giải:

a) Mỗi cách chọn 1 thành viên từ nhóm tình nguyên có 15 học sinh là một tổ hợp chập 1 của 15. Vậy có $C_{15}^1=15$ cách cử ra 1 thành viên của nhóm.

b) Có thể xem việc cử ra 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau là một công việc gồm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Cử ra 1 thành viên của lớp 10A có 4 cách chọn.

Công đoạn 2: Cử ra 1 thành viên của lớp 10B có 5 cách chọn.

Công đoạn 3: Cử ra 1 thành viên của lớp 10C có 6 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, có 4.5.6 = 120 cách cử ra 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau

c) Có thể xem việc cử ra 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau là một công việc gồm 3 phương án thực hiện:

Phương án 1 : Cử ra 1 thành viên lớp 10A và 1 thành viên lớp 10B, có 4.5 = 20 cách.

Phương án 2 : Cử ra 1 thành viên lớp 10A và 1 thành viên lớp 10C, có 4.6 = 24 cách.

Phương án 3 : Cử ra 1 thành viên lớp 10B và 1 thành viên lớp 10C, có 5.6 = 30 cách.

Áp dụng quy tắc cộng có 20 + 24 + 30 = 74 cách để cử ra 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau

Bài 2 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2:

Một khoá số có 3 vòng số (mỗi vòng gồm 10 số từ 0 đến 9) như Hình 1. Người dùng cần đặt mật mã cho khoá là một dãy số có ba chữ số . Để mở khoá, cần xoay các vòng số để dãy số phía trước khoá trùng với mật mã đã chọn. Có bao nhiêu cách chọn mật mã cho khoá?

Lời giải:

Có thể coi việc tạo ra một dãy số mật mã có 3 chữ số là một công việc gồm 3 công đoạn. Mỗi công đoạn ứng với việc chọn 1 số trong 10 số cho mỗi vị trí của các vòng số.

Như vậy mỗi công đoạn có 10 cách chọn số

Theo quy tắc nhân, 3 công đoạn có 10.10.10 = 1000 cách chọn mật mã cho khoá.

Vậy có tất cả 1000 cách tạo mật mã.

Bài 3 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2:

Từ 6 thẻ số như Hình 2, có thể ghép để tạo thành bao nhiêu:

a) Số tự nhiên có 6 chữ số?

b) Số tự nhiên lẻ có 6 chữ số?

c) Số tự nhiên có 5 chữ số?

d) Số tự nhiên có 5 chữ số lớn hơn 50 000?

Lời giải:

a) Mỗi số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau được lập từ 6 chữ số lấy từ 6 tấm thẻ là 1; 2; 3; 4; 5; 6 là một hoán vị của sáu chữ số này. Do đó, số số tự nhiên lập được: P₆ = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720.

Vậy có 720 số tự nhiên lập thành từ các chữ số trên 6 tấm thẻ.

b) Việc tạo số tự nhiên lẻ có 6 chữ số là một công việc gồm 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ, có 3 cách chọn (Chọn 1 hoặc 3 hoặc 5)

Công đoạn 2: Chọn 5 chữ số còn lại có: P₅ = 5! = 120 cách chọn

Vậy theo quy tắc nhân có: 3.120 = 360 số tự nhiên lẻ có 6 chữ số được tạo thành từ các chữ số đã cho.

c) Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số được tạo thành từ việc ghép 5 thẻ số khác nhau. Do đó, mỗi số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ 6 chữ số là một chỉnh hợp chập 5 của 6. Do đó, có thể lập được: $A_6^5=720$ (số).

Vậy có thể lập được 720 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d) Việc sắp xếp các thẻ số tạo thành số tự nhiên có 5 chữ số lớn hơn 50000 là 1 công việc gồm 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng chục nghìn, có 2 cách chọn (Chọn 5 hoặc 6)

Công đoạn 2: Ứng với chữ số hàng chục nghìn, chọn 4 chữ số từ 5 chữ số còn lại và sắp xếp các số vào các hàng tương ứng là một chỉnh hợp chập 4 của 5. Do đó có: $A_5^4=120$ cách chọn

Vậy có 120.2 = 240 cách ghép để tạo thành số tự nhiên có 5 chữ số lớn hơn 50000.

Bài 4 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2:

Thực đơn tại một quán cơm văn phòng có 6 món mặn, 5 món rau và 3 món canh. Tại đây, một nhóm khách muốn chọn bữa trưa gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh. Nhóm khách có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Có thể xem việc chọn các món án cho bữa trưa là một công việc gồm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: chọn 2 món mặn, mỗi cách chọn 2 món mặn từ 6 món mặn là một tổ hợp chập 2 của 6 . Do đó, có $C_6^2=15$ cách chọn

Công đoạn 2: chọn 2 món rau, mỗi cách chọn 2 món rau từ 5 món rau là một tổ hợp chập 2 của 5 . Do đó, có $C_5^2=10$ cách chọn

Công đoạn 3: chọn 1 món canh, có 3 cách chọn

Áp dụng quy tắc nhân có 15.10.3 = 450 cách chọn thực đơn cho bữa trưa.

Vậy nhóm khách có 450 cách chọn thực đơn bữa trưa.

Bài 5 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2:

Cho 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song như Hình 3. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho ?

Lời giải:

Việc tạo thành hình tam giác từ 3 đỉnh là ba điểm trong 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song là một công việc có 2 phương án:

Phương án 1: Chọn 1 điểm thuộc đường thẳng trên và 2 điểm thuộc đường thẳng dưới có: 4. $C_5^2$ = 40 hình tam giác.

Phương án 2: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng trên và 1 điểm thuộc đường thẳng dưới có: 5. $C_4^2$ = 30 hình tam giác.

Vậy có thể tạo được 40 + 30 = 70 tam giác từ 9 điểm nằm trên 2 đường thẳng song song.

Bài 6 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2:

Khai triển các biểu thức

a) ${\left(a-\frac{b}{2}\right)}^4$

b) (2x² + 1)⁵

Lời giải:

a) ${\left(a-\frac{b}{2}\right)}^4$ = $C_4^0{a}^4-C_4^1{a}^3.\frac{b}{2}+C_4^2{a}^2.{\left(\frac{b}{2}\right)}^2-C_4^{3}a.{\left(\frac{b}{2}\right)}^3+C_4^4{\left(\frac{b}{2}\right)}^4$

= a⁴ – 2a³b + $\frac{3}{2}$ a²b² – $\frac{1}{2}$ ab³ + $\frac{1}{16}$ b⁴.

b) (2x² + 1)⁵ = $C_5^0{\left(2x^2\right)}^5+C_5^1{\left(2x^2\right)}^4+C_5^2{\left(2x^2\right)}^3+C_5^3{\left(2x^2\right)}^2+C_5^4.2x^2+C_5^5$

= 32x¹⁰ + 80x⁸ + 80x⁶ + 40x⁴ + 10x² + 1.

Bài 7 trang 36 Toán lớp 10 Tập 2:

Hãy khai triển và rút gọn biểu thức :

(1 + x)⁴ + (1 – x)⁴

Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng giá trị biểu thức 1,05⁴ + 0,95⁴

Lời giải:

Ta có: (1 + x)⁴ = $C_4^0{x}^4+C_4^1{x}^3+C_4^2{x}^2+C_4^{3}x+C_4^4$ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1

(1 – x)⁴ = $C_4^0{x}^4-C_4^1{x}^3+C_4^2{x}^2-C_4^{3}x+C_4^4$ = x⁴ – 4x³ + 6x² – 4x + 1

Do đó: (1 + x)⁴ + (1 – x)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6 x² + 4x + 1+ x⁴ – 4x³ + 6x² – 4x + 1

= 2x⁴ + 12x² + 2 (1).

Theo giả thiết ta có: 1 + x = 1,05 và 1 – x = 0,95 suy ra x = 0,05

Thay x = 0,05 vào (1) ta có: 1,05⁴ + 0,95⁴ = 2.0,05⁴ + 12.0,05² + 2 ≈ 2,03.

Lý thuyết Toán 10 Bài tập cuối chương 8 - Chân trời sáng tạo

1. Quy tắc cộng

– Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc B. Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án A. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m + n cách.

Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh, lớp 10C có 24 học sinh. Có bao nhiêu cách cử 1 học sinh lớp 10A hoặc lớp 10C đi tham dự đại hội Đoàn trường?

Hướng dẫn giải

Công việc cử 1 học sinh đi có 2 phương án thực hiện:

Phương án 1: Cử 1 học sinh của lớp 10A, ta có 20 cách.

Phương án 2: Cử 1 học sinh của lớp 10C, ta có 24 cách.

Ta thấy mỗi cách thực hiện của phương án B đều không trùng với cách của phương án A. Do đó theo quy tắc cộng, có 20 + 24 = 44 cách cử 1 học sinh lớp 10A hoặc lớp 10C đi tham dự đại hội Đoàn trường.

2. Quy tắc nhân

– Giả sử một công việc được chia thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn thứ hai. Khi đó công việc có thể thực hiện theo m. n cách.

Ví dụ: Từ nhà An đến trường đi qua 3 điểm A, B, C. Từ nhà An đến điểm A có 3 cách đi, từ điểm A đến điểm B có 4 cách đi, từ điểm B đến điểm C có 2 cách đi. Từ điểm C đến trường học có 2 cách đi. Hỏi có bao nhiêu cách từ nhà An đến trường?

Hướng dẫn giải

Từ nhà An đến trường đi qua 3 điểm A, B, C, như vậy có 4 công đoạn:

+ Công đoạn 1: Từ nhà An đến điểm A có 3 cách đi.

+ Công đoạn 2: Từ điểm A đến điểm B có 4 cách đi

+ Công đoạn 3: Từ điểm B đến điểm C có 2 cách đi.

+ Công đoạn 4: Từ điểm C đến trường học có 2 cách đi.

Do đó, theo quy tắc nhân, có 3. 4. 2. 2 = 48 cách đi từ nhà An đến trường.

3. Hoán vị

– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phần tử).

Kí hiệu P_n là số hoán vị của n phần tử.

– Số các hoán vị của n phần tử (n ≥ 1) bằng:

P_n = n(n – 1)(n – 2)….2. 1.

Chú ý:

+ Ta đưa vào kí hiệu n! = n(n – 1)(n – 2)…. 2. 1 và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n.

Khi đó = n!.

+ Quy ước: 0! = 1.

Ví dụ: Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7? Trong những số đó có bao nhiêu số lẻ?

Hướng dẫn giải

• Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được lập từ 6 chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7 là một hoán vị của 6 chữ số này. Do đó, số số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập được là:

$P_6$ = 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720 (số).

Vậy lập được 720 số.

Ta lập số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7.

• Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ.

Có 4 cách chọn (chọn một trong các chữ số 1; 3; 5; 7).

Bước 2: Chọn năm chữ số còn lại.

Có P₅ = 5! cách chọn.

Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên lẻ có sáu chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho là:

4.5! = 480 (số).

4. Chỉnh hợp

– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.

Kí hiệu $A_n^k$ là số chỉnh hợp chập k của n phần tử.

– Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng:

$A_n^k$ = n(n – 1)(n – 2) ….(n – k + 1) = $\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$ .

Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Ta có $P_n=A_n^n$ , n ≥ 1.

Ví dụ: Trên bàn có 10 quả cam to nhỏ khác nhau. Chọn 3 quả cam trong 10 quả đó, và đặt mỗi quả vào một giỏ nhựa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 quả cam đó.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 3 quả cam trong 10 quả cam đó và đặt vào 3 giỏ nhựa được gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 10 quả cam. Ta thấy số các chỉnh hợp này bằng:

$A_{10}^3$ = 10. 9. 8 = 720.

Vậy có 720 cách chọn 3 quả cam đó.

5. Tổ hợp

– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi tập con gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Kí hiệu $C_n^k$ là số tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n).

– Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng:

$C_n^k$ = $\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$ .

Chú ý: Người ta quy ước $C_n^0=1$ .

Nhận xét: $C_n^k=C_n^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n).

Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh. Trong tuần sau có 5 bạn được cử đi dự đại hội Đoàn Thanh niên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp từ 20 bạn học sinh là một tổ hợp chập 5 của 20 học sinh. Do đó số cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên là:

$C_{20}^5=\frac{20!}{5!.15!}$ = 15 504 (cách).

Vậy có 15 504 cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên.

Ví dụ: Tính:

a) $C_{14}^{11};$

b) $C_{24}^{22}+C_{24}^2;$

c) $C_{27}^2-C_{26}^2.$

Hướng dẫn giải

a) $C_{14}^{11}=\frac{14!}{11!.3!}=\frac{\mathrm{14.13.12.11}!}{11!\mathrm{.3.2.1}}=\frac{\mathrm{14.13.12}}{\mathrm{3.2.1}}=364.$

b) $C_{24}^{22}+C_{24}^2=C_{24}^{24-2}+C_{24}^2=C_{24}^2+C_{24}^2=2C_{24}^2$

$=2.\frac{24!}{2!.22!}=2.\frac{\mathrm{24.23.22}!}{\mathrm{2.1.22}!}=24.23=552.$

c) $C_{27}^2-C_{26}^2=\frac{27!}{2!.25!}-\frac{26!}{2!.24!}=\frac{\mathrm{27.26.25}!}{\mathrm{2.1.25}!}-\frac{\mathrm{26.25.24}!}{\mathrm{2.1.24}!}$

$=\frac{27.26}{2.1}-\frac{26.25}{2.1}=\frac{26}{2}.\left(27-25\right)=13.2=26.$

6. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh các số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ:

• Để tính $P_{10}$ ta ấn liên tiếp các phím:

$\boxed{10}\boxed{SHIFT}\boxed{x^{-1}}\left(x!\right)\boxed{=}$

Ta nhận được kết quả là 3 628 800.

• Để tính $A_6^4$ ta ấn liên tiếp các phím:

$\boxed{6}\boxed{SHIFT}\boxed{\times }\left(n\mathrm{Pr}\right)\boxed{4}\boxed{=}$

Ta nhận được kết quả là 360.

• Để tính $C_8^4$ ta ấn liên tiếp các phím:

$\boxed{8}\boxed{SHIFT}\boxed{÷}\left(nCr\right)\boxed{4}\boxed{=}$

Ta nhận được kết quả là 70.

7. Nhị thức Newton

Hai công thức khai triển:

• ${\left(a+b\right)}^4=C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4$

$=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4;$

• ${\left(a+b\right)}^5=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$

$=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5.$

Hai công thức trên gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton) ${\left(a+b\right)}^n$ ứng với n = 4 và n = 5.

Chú ý:

– Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton (a + b)ⁿ với n = 0; 1; 2; 3; … được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như dưới đây.

Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của 2 số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).

Bảng số trên dược gọi là tam giác Pascal (đặt theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 – 1662).

Ví dụ: Sử dụng công thức nhị thức Newton khai triển biểu thức (a + 2)⁴.

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

(a + 2)⁴ = 1.a⁴ + 4a³.2 + 6a².2² + 4a.2³ + 2⁴

= a⁴ + 8a³ + 24a² + 32a + 16.

Ví dụ: Khai triển và rút gọn biểu thức: ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5+{\left(1-\sqrt{5}\right)}^5.$

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton ta có:

Do đó ta có: ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^5+{\left(1-\sqrt{5}\right)}^5=176+80\sqrt{5}+176-80\sqrt{5}=352.$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9