Giải Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải bài tập Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Video giải bài tập Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải Toán 10 trang 33 Tập 1

Hoạt động khởi động trang 33 Toán lớp 10 Tập 1: Hai đường thẳng d: y = – x – 2 và d’: y = x + 1 chia mặt phẳng tọa độ thành bốn miền khác nhau (không tính hai đường thẳng d và d’) như hình vẽ bên. Để kí hiệu một trong bốn miền đó, người ta đã tạo nhãn:

Hãy đặt nhãn này vào miền phù hợp.

Lời giải:

1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hoạt động khám phá 1 trang 33 Toán lớp 10 Tập 1: Một người nông dân dự định quy hoạch x sào đất trồng cà tím và y sào đất trồng cà chua. Biết rằng người đó chỉ có tối đa 9 triệu đồng để mua hạt giống và giá tiền hạt giống cho mỗi sào đất trồng cà tím là 200 000 đồng, mỗi sào đất trồng cà chua là 100 000 đồng.

a) Viết các bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với x, y.

b) Cặp số nào sau đây thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình nêu trên?

(20; 40), (40; 20), (-30; 10).

Lời giải:

Thực hành 1 trang 34 Toán lớp 10 Tập 1: Hãy chỉ ra hai nghiệm của mỗi hệ bất phương trình trong Ví dụ 1.

a) $\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}y-1<0\\ x+2\ge 0;\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}x+y-3\le 0\\ -2x+y+3\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}\right.$ có hai nghiệm là (0;0) và (1; -2).

+ Với x = 0, y = 0 ta có :$\left\{\begin{array}{l}3.0+0-1=-1<0\\ 2.0-0+2=2>0\end{array}\right.$ nên (0;0) là nghiệm của hệ bất phương trình.

+ Với x = 1, y = -2 ta có :$\left\{\begin{array}{l}3.1-2-1=0\\ 2.1+2+2=6>0\end{array}\right.$ nên (1;-2) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Vậy hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}\right.$ có hai nghiệm là (0;0) và (1; -2)

c) $\left\{\begin{array}{l}y-1<0\\ x+2\ge 0\end{array}\right.$ có hai nghiệm (0;0) và (1; -1)

+ Với x = 0, y = 0 ta có : $\left\{\begin{array}{l}0-1=-1<0\\ 0+2=2>0\end{array}\right.$ nên (0;0) là nghiệm của hệ bất phương trình

+ Với x = 1, y = -2 ta có : $\left\{\begin{array}{l}-2-1=-3<0\\ 1+2=3>0\end{array}\right.$ nên (1;-1) là nghiệm của hệ bất phương trình

Vậy hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}y-1<0\\ x+2\ge 0\end{array}\right.$ có hai nghiệm (0;0) và (1; -1)

d) $\left\{\begin{array}{l}x+y-3\le 0\\ -2x+y+3\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$có hai nghiệm (0; 0) và (0;1)

+ Với x = 0, y = 0 ta có : $\left\{\begin{array}{l}0+0-3=-3<0\\ -2.0+0+3=3>0\\ 0\ge 0\\ 0\ge 0\end{array}\right.$ nên (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình.

+ Với x = 0, y = 1 ta có : $\left\{\begin{array}{l}0+1-3=-2<0\\ -2.0+1+3=4>0\\ 0\ge 0\\ 1\ge 0\end{array}\right.$ nên (0; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Vậy hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y-3\le 0\\ -2x+y+3\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$có hai nghiệm (0; 0) và (0;1)

2. Biển diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hoạt động khám phá 2 trang 34 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}x+y-3\le 0\\ -2x+y+3\ge 0\end{array}\right.$

Miền nào trong Hình 1 biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho?

Lời giải:

- Ta xét gốc toạ độ O (0;0) ta thấy O không thuộc đường thẳng x + y – 3 = 0 và

0 + 0 – 3 = –3 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x+y-3\le 0$ là nửa mặt phẳng chứa điểm O.

- Ta xét gốc toạ độ O (0; 0) ta thấy O không thuộc đường thẳng -2x + y – 3 = 0 và

0 + 0 + 3 = 3 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $-2x+y+3\ge 0$ là nửa mặt phẳng chứa điểm O.

Vậy miền không gạch chéo trong Hình 1 biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho.

Giải Toán 10 trang 35 Tập 1

Thực hành 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình : $\left\{\begin{array}{c}x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\\ x\ge 0\\ y\ge 0.\end{array}\right.$

Lời giải:

- Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y ≤ 8

Vẽ đường thẳng d₁: x + y - 8 = 0 đi qua hai điểm (0; 8) và (8; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₁ và 0 + 0 - 8 = - 8 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ d₁)

- Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2x + 3y ≤ 18

Vẽ đường thẳng d₂ : 2x + 3y - 18 = 0 đi qua hai điểm (0; 6) và (9; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₂ và 0.2 + 0.3 - 18 = - 18 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ d₂)

- Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

- Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền không gạch chéo là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác

Giải Toán 10 trang 37 Tập 1

Vận dụng trang 37 Toán lớp 10 Tập 1: Một người bán nước giải khát đang có 24 g bột cam, 9 l nước và 210 g đường để pha chế hai loại nước cam A và B. Để pha chế 1 l nước cam loại A cần 30 g đường, 1 l nước và 1 g bột cam; để pha chế 1 l nước cam loại B cần 10 g đường, 1 l nước và 4 g bột cam. Mỗi lít nước cam loại A bán được 60 nghìn đồng, mỗi lít nước cam loại B bán được 80 nghìn đồng. Người đó nên pha chế bao nhiêu lít nước cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất?

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số lít nước cam loại A và loại B cần pha chế.

Theo đề ta có:

+ Vì x và y lần lượt là số lít nước cam loại A và loại B cần pha chế nên x ≥ 0 và y ≥ 0

+ Số gam bột cam dùng để pha chế nước cam loại A và nước cam loại B không vượt quá 24g nên x + 4y ≤ 24

+ Số lít nước dùng để pha chế nước cam loại A và nước cam loại B không vượt quá 9l nước nên x + y ≤ 9

+ Số gam đường dùng để pha chế nước cam loại A và loại B không vượt qua 210 g nên 30x + 10y ≤ 210 hay 3x + y ≤ 21

Từ đó ta có hệ bất phương trình mô ta các điều kiện ràng buộc như sau:$\left\{\begin{array}{l}x+4y\le 24\\ x+y\le 9\\ 3x+y\le 21\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục toạ độ Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + 4y ≤ 24

Vẽ đường thẳng x + 4y - 24 = 0 đi qua hai điểm (0; 6); (4; 5).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + 4y - 24 = 0 và 0 + 4.0 - 24 = -24< 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ )

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y ≤ 9

Vẽ đường thẳng x + y - 9 = 0 đi qua hai điểm (0; 9); (9; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + y - 9 = 0 và 0 + 0 – 9 = -9 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ )

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : 3x + y ≤ 21

Vẽ đường thẳng 3x + y - 21 = 0 đi qua hai điểm (7; 0); (6; 3).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng 3x + y - 21 = 0 và 3.0 + 0 - 21 = -21< 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ )

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền nghiệm là miền ngũ giác OABCD với các đỉnh O(0; 0); A(0; 6); B(4; 5); C(6; 3); D(7; 0)

Gọi F là số tiền doanh thu (đơn vị: nghìn đồng) thu được, ta có: F = 60x + 80y

Giá trị của F tại các đỉnh của ngũ giác:

Tại O(0; 0): F = 60.0 + 80.0 = 0;

Tại A(0; 6): F = 60.0 + 80.6 = 480;

Tại B(4; 5): F = 60.4 + 80.5 = 640;

Tại C(6; 3): F = 60.3 + 3.30 = 270;

Tại D(7; 0): F = 60.7 + 0.80 = 420.

F đạt giá trị lớn nhất bằng 640 tại B (4; 5).

Vậy cần phải pha chế 4 lít loại A và 5 lít loại B để đạt được doanh thu cao nhất.

Bài tập

Bài 1 trang 37 Toán lớp 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau :

a) $\left\{\begin{array}{c}x+y-3\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{c}x-2y<0\\ x+3y>-2\\ y-x<3;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x\le 4\\ x+y-5\le 0\\ y\ge 0.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y – 3 ≥ 0

Vẽ đường thẳng x + y – 3 = 0 đi qua hai điểm (3; 0) và (0; 3).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + y – 3 = 0 và 0 + 0 – 3 = -3 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O (kể cả đường thẳng x + y – 3 = 0).

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành (chứa bờ Ox).

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung (chứa bờ là Oy).

Miền màu trắng (không bị gạch chéo, không bị tô màu) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình: x – 2y < 0

Vẽ đường thẳng d₁: x – 2y = 0 đi qua hai điểm (0; 0) và (2; 1).

Xét điểm A(0; 1) ta thấy: A $\notin$ d₁ và 0 – 2.1 = – 2 < 0 . Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm A (không kể bờ d₁).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + 3y > -2 hay x + 3y +2 > 0

Vẽ đường thẳng d₂ : x + 3y + 2 = 0 đi qua hai điểm (0; $-\frac{2}{3}$) và (-2; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₂ và 0 + 3.0 + 2 = 2 > 0 . Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ d₂).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : y – x < 3 hay y – x – 3 <0

Vẽ đường thẳng d₃ : -x + y – 3 = 0 đi qua hai điểm (-3; 0) và (0; 3).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₃ và 0 + 0 – 3 = -3 < 0 . Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (không kể bờ d₃).

Miền màu trắng (không bị gạch chéo) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

c) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x ≥ 1

Vẽ đường thẳng d: x – 1 = 0 song song với trục Oy và qua điểm (1; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$d và 0 - 1 = - 1 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O (kể cả bờ d).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x ≤ 4

Vẽ đường thẳng d₁: x – 4 = 0 song song với trục Oy và qua điểm (4; 0).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₁ và 0 – 4 = - 4 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (kể cả bờ d₁).

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y – 5 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d₂: x + y – 5 = 0 đi qua hai điểm (5; 0) và (0; 5).

Xét gốc toạ độ 0 (0; 0) ta thấy: O $\notin$ d₁ và 0 + 0 – 5 = - 5 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (kể cả bờ d₂).

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Khi đó ta có hình vẽ:

Miền màu trắng (không bị gạch chéo, không bị tô màu) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải Toán 10 trang 38 Tập 1

Bài 2 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1: Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là A và B. Cứ sản xuất mỗi thùng loại A thì nhà máy thải ra 0,25 kg khí cacbon dioxide (CO₂) và 0,60 kg khí sulffur dioxide (SO₂), sản xuất mỗi thùng loại B thì thải ra 0,50 kg CO₂ và 0,20 kg SO₂. Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng (CO₂) của nhà máy tối đa là 75 kg và SO₂ tối đa là 90 kg mỗi ngày.

a) Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ.

b) Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không ?

c) Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không ?

Lời giải:

a) Gọi x và y lần lượt là số lượng thùng thuốc trừ sâu loại A và B.

Theo đề ta có:

+ Quy định hạn chế sản lượng CO₂ của nhà máy tối đa là 75 kg mỗi ngày nên 0,25x + 0,5y ≤ 75 hay x + 2y ≤ 300

+ Quy định hạn chế sản lượng SO₂ của nhà máy tối đa là 90 kg mỗi ngày nên 0,6x + 0,2y ≤ 90 hay 3x + y ≤ 450

Do đó, ta có hệ bất phương trình sau:$\left\{\begin{array}{l}x+2y\le 300\\ 3x+y\le 450\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + 2y -300 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d: x + 2y - 300 = 0 đi qua hai điểm (300; 0); (0; 150).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ d và 0 + 2.0 - 300 = -300 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : 3x + y - 450 ≤ 0

Vẽ đường thẳng a: 3x + y - 450 = 0 đi qua hai điểm (150; 0); (0; 450).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ a và 3.0 + 0 - 450 = -450 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền nghiệm là miền tứ giác OADB với các đỉnh O(0; 0); A(0; 150); B(150; 0) và D(120;90).

b) Với x = 100 và y = 80 ta có:

+) 0,25.100 + 0,5.80 – 75 = – 10 < 0;

+) 0,6.100 + 0,2.80 – 90 = –14 < 0;

Vậy việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày là hợp lí.

c) Với x = 60 và y = 160 ta có:

+) 0,25.60 + 0,5.160 – 75 = 20 > 0;

+) 0,6.60 + 0,2.160 – 90 = –22 < 0;

Vậy việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày là không phù hợp quy định.

Bài 3 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1: Bạn Lan thu xếp được không quá 10 giờ để làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần 2 giờ để làm xong 1 cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần 1 giờ để làm xong 1 cái. Gọi x, y lần lượt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm. Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x, y và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Lời giải:

Gọi x, y là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm.

Theo đề ta có:

+ Tổng thời gian để làm xong x cái đèn hình con cá và y cái đèn hình ngôi sao là: 2x + y (giờ).

+ Thời gian bạn Lan có thể thực hiện không quá 10 giờ nên 2x + y ≤ 10 hay 2x + y -10 ≤ 0.

Từ đó, ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}2x+y\le 10\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2x + y -10 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d: 2x + y - 10 = 0 đi qua hai điểm (5; 0); (0; 10).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ d và 2.0 + 0 - 10 = - 10 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Miền màu trắng (không bị gạch chéo) là phần biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Bài 4 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1: Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân bằng tay để bàn trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số thiệp nhỏ và thiệp lớn bạn học sinh cần chuẩn bị.

Theo đề ta có:

+ Tổng thời gian để vẽ x chiếc thiệp nhỏ và y chiếc thiệp lớn là : 2x+3y (giờ)

+ Học sinh chỉ có 30 giờ để vẽ nên 2x + 3y ≤ 30 hay 2x + 3y -30 ≤ 0

+ Hội chợ yêu cầu cần ít nhất 12 tấm thiệp nên x + y ≥ 12 hay x + y – 12 ≥ 0

Theo đề ta có hệ bất phương trình sau :$\left\{\begin{array}{l}2x+3y\le 30\\ x+y\ge 12\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2x + 3y -30 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d: 2x + 3y - 30 = 0 đi qua hai điểm (15; 0); (0; 10).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ d và 2.0 + 3.0 - 30 = - 30 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y – 12 ≥ 0

Vẽ đường thẳng a: x + y - 12 = 0 đi qua hai điểm (12; 0); (0; 12).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ a và 0 + 0 - 12 = - 12 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung

Khi đó ta có hình vẽ như sau:

Miền nghiệm là phần màu trắng với các đỉnh A(12; 0); B(15; 0); C(6; 6).

Gọi F là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) thu được khi bán thiệp, ta có: F = 10x + 20y.

Giá trị của F tại các đỉnh của miền nghiệm là:

Tại A(12; 0): F = 10.12 + 20.0 = 120;

Tại B(15; 0): F = 10.15 + 20.0 = 150;

Tại C(6; 6): F = 10.6 + 20.6 = 180;

F đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại C(6; 6).

Vậy cần phải vẽ 6 tấm thiệp loại nhỏ và 6 tấm thiệp loại lớn để đạt được doanh thu cao nhất.

Bài 5 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1: Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn : đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50 000 đồng/giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7 000 calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp sau :

a) Mạnh muốn chi phí tập luyện là ít nhất.

b) Mạnh muốn số calo tiêu hao là lớn nhất.

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số giờ đạp xe và số giờ tập tạ của bạn Mạnh trong một tuần (x ≥ 0, y ≥ 0)

Theo đề ta có:

+ Thời gian tập thể dục tối đã của Mạnh trong tuần tối đa là 12 giờ nên x + y ≤ 12

+ Lượng tiêu thụ calo không vượt quá 7000 calo một tuần nên 350x + 700y ≤ 7000 hay x + 2y ≤ 20

Theo đề ta có hệ bất phương trình sau:$\left\{\begin{array}{l}x+y\le 12\\ x+2y\le 20\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 12 hay x + y – 12 ≤ 0

Vẽ đường thẳng d: x + y – 12 = 0 đi qua hai điểm (12; 0) và (0; 12).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ d và 0 + 0 – 12 = - 12 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + 2y ≤ 20 hay x + 2y – 20 ≤ 0

Vẽ đường thẳng a: x + 2y - 20 = 0 đi qua hai điểm (20; 0) và (0; 10).

Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O ∉ a và 0 + 2.0 – 20 = - 20 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung.

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành.

Khi đó ta có hình vẽ như sau:

Miền nghiệm là miền tứ giác OADC với đỉnh O(0; 0); A(0; 10); D(4; 8); C(12; 0).

a) Gọi F là chi phí tập luyện của Mạnh trong 1 tuần (đơn vị: nghìn đồng), ta có:

F = 50y.

Các giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của đa giác là:

Tại O(0; 0): F= 50.0 = 0;

Tại A(0; 10): F = 50.10 = 500;

Tại D(4; 8): F = 50.8 = 400;

Tại C(12;0): F = 50.0 = 0.

F đạt giá trị nhỏ nhất F = 0 tại O(0; 0) và C(12;0)

Vậy để tiết kiệm chi phí tập luyện thì bạn Mạnh đạp xe 12 giờ, không tập tạ hoặc không tham gia tập thể dục.

b) Gọi H là số calo bạn Mạnh muốn tiêu thụ: H = 350x + 700y.

Các giá trị của biểu thức H tại các đỉnh của đa giác là:

Tại O(0; 0): H= 350.0 + 700.0 = 0;

Tại A(0; 10): H = 350.0 + 700.10 = 7 000;

Tại D(4; 8): H = 350.4 + 700.8 = 7 000;

Tại C(12;0): H = 350.12 + 700.0 = 4 200;

H đạt giá trị lớn nhất H = 7000 tại A(0; 10) và D(4; 8).

Vậy để tiêu thụ lượng calo nhiều nhất Mạnh có thể tập tạ 10 giờ hoặc có thể đạp xe 4 giờ và tập tạ 8 giờ.

Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Chân trời sáng tạo

1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

- Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x₀; y₀) có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Ví dụ:

$\left\{\begin{array}{l}x+2y<3\\ y-2x>0\end{array}\right.$ là một hệ bất phương trình hai ẩn x, y gồm hai bất phương trình x + 2y < 3 và y – 2x > 0.

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2<5\\ x-y>4\end{array}\right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi x² + y² < 5 là bất phương trình bậc hai hai ẩn.

- Cho hệ bất phương trình hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}x+y>4\\ x-y<10\end{array}\right.$ .

Thay x = 10 và y = 2 vào bất phương trình x + y > 4 ta có: 10 + 2 = 12 > 4 là mệnh đề đúng nên cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 4.

Thay x = 10 và y = 2 vào bất phương trình x – y < 10 ta có: 10 – 2 = 8 < 10 là mệnh đề đúng nên cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x – y < 10.

Cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 4 và cũng là nghiệm của bất phương trình x – y < 10. Nên cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện như sau:

- Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

- Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Chú ý: Miền mặt phẳng tọa độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó được gọi là một miền đa giác.

Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}\right.$ :

Trên mặt phẳng Oxy:

Bước 1: Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 và gạch bỏ phần miền còn lại.

- Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

- Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

Bước 3: Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150:

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 150.

- Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0 + 0 = 0 ≤ 150 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O (0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d (kể cả bờ d) chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm không bị gạch là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác

Người ta chứng minh được F = ax + by đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác

Ví dụ: Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 100\\ 2x+y\le 120\end{array}\right.$:

Và F(x; y) = 3,5x + 2y. Tìm giá trị lớn nhất của F(x; y).

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x + y ≤ 100:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 100.

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0 + 0 = 0 ≤ 100 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100.

Do đó, miền nghiệm D₁ của bất phương trình x + y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁) chứa gốc tọa độ O.

- Miền nghiệm D₂ của bất phương trình 2x + y ≤ 120:

+ Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 120.

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 2. 0 + 0 = 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120.

Do đó, miền nghiệm D₂ của bất phương trình 2x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂) chứa gốc tọa độ O.

- Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả trục Oy) nằm bên phải trục Oy.

- Tương tự, miền nghiệm D₄ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

Từ đó ta có miền nghiệm không bị gạch chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F(x; y) = 3,5x + 2y tại các đỉnh của tứ giác:

Tại O(0; 0): F = 3,5.0 + 2.0 = 0;

Tại A(0; 100): F = 3,5.0 + 2.100 = 200;

Tại B(20; 80): F = 3,5.20 + 2.80 = 230;

Tại C(60; 0): F = 3,5.60 + 2.0 = 210;

Bước 3: So sánh các giá trị thu được ở Bước 2, kết luận giá trị lớn nhất của F (x; y) là 230.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Hàm số và đồ thị

Bài 2: Hàm số bậc hai

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn