Giải Toán 10 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Giải Toán 10 trang 74 Tập 1

Hoạt động khởi động trang 74 Toán lớp 10 Tập 1: Với số liệu đo được từ một bên bờ sông như hình vẽ bên, bạn hãy giúp nhân viên đo đạc tính khoảng cách giữa hai cái cây bên kia bờ sông.

Lời giải:

Đặt tên các điểm như hình vẽ trên.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² - 2 . AB . AC. cos $\widehat{A}$

$\Rightarrow$ BC² = 75² + 100² - 2 . 75 . 100 . cos 32^o

$\Rightarrow$ BC² ≈ 2904,28.

$\Rightarrow$ BC ≈ 53,9 m

Vậy khoảng cách giữa hai cái cây khoảng 53,9 m.

1. Giải tam giác

Giải Toán 10 trang 75 Tập 1

Thực hành trang 75 Toán lớp 10 Tập 1: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) a = 17,4; $\widehat{B}={44}^{o}30\text{'};\widehat{C}={64}^o$

b) a = 10; b = 6; c = 8.

Lời giải:

a) $\widehat{A}={180}^0-({44}^{0}30\text{'}+{64}^0)={71}^0{30}^{\text{'}}$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow b=a.\frac{\sin B}{\sin A}=17,4.\frac{\sin {44}^0{30}^{\text{'}}}{\sin {71}^0{30}^{\text{'}}}\approx 12,86$

$c=a.\frac{\sin C}{\sin A}=17,4.\frac{\sin {64}^0}{\sin {71}^0{30}^{\text{'}}}\approx 16,49$

b) Áp dụng định lí côsin ta có: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=0\Rightarrow \widehat{A}={90}^0$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\frac{b.\sin A}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow \widehat{B}={36}^0{52}^{\text{'}}$

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^0-({90}^0+{36}^0{52}^{\text{'}})={53}^0{8}^{\text{'}}$

2. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Giải Toán 10 trang 76 Tập 1

Vận dụng 1 trang 76 Toán lớp 10 Tập 1: Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với vận tốc 450 km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc 25° về phía tây với tốc độ 630 km/h (Hình 5). Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilômét? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.

Lời giải:

Ta có: OA = 450.1,5 = 675 km

OB = 630.1,5 = 945 km

Mặt khác, ta có: $\widehat{AOB}={90}^0-{25}^0={65}^0$

$A{B}^2=O{B}^2+O{A}^2-2.OB.OA.\cos \widehat{AOB}$

= 945² + 675² - 2 . 945 . 675 . cos 65^o

≈ 809 494,7526

$\Rightarrow$ AB ≈ 899,72

Vậy sau 90 phút hai máy bay cách nhau khoảng 899,72 km.

Giải Toán 10 trang 77 Tập 1

Vận dụng 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên Hình 6, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\cos \widehat{CLH}=\frac{{49}^2+{104}^2-{78}^2}{\mathrm{2.49.104}}=\frac{1019}{1456}\Rightarrow \widehat{CLH}\approx {45}^0{35}^{\text{'}}$

$\cos \widehat{HLR}=\frac{{104}^2+{56}^2-{77}^2}{\mathrm{2.104.56}}=\frac{8023}{11648}\Rightarrow \widehat{HLR}\approx {46}^0{28}^{\text{'}}$

$\Rightarrow \widehat{L}=\widehat{HLR}+\widehat{CLH}={92}^0{3}^{\text{'}}$

$\Rightarrow C{R}^2={49}^2+{56}^2-\mathrm{2.49.56.}\cos L\approx 5733,31\Rightarrow CR\approx 75,72km$

Vậy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá khoảng 75,72 km

Bài tập

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB = 14, AC = 23, $\widehat{A}={125}^o$;

b) BC = 22, $\widehat{B}={64}^o,\widehat{C}={38}^o$;

c) AC = 22, $\widehat{B}={120}^o,\widehat{C}={28}^o$;

d) AB = 23, AC = 32, BC = 44.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos125° = 14² + 23² – 2.14.23.cos125° ≈ 1094,38

$\Rightarrow$BC ≈ 33,08

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin C=\frac{AB.\sin A}{BC}=\frac{14.\sin 125°}{33,08}\approx 0,35\Rightarrow \widehat{C}=20°17\text{'}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{AC.\sin A}{BC}=\frac{23.\sin 125°}{33,08}\approx 0,57\Rightarrow \widehat{B}=34°43\text{'}$

b) Ta có: $\widehat{A}=180°-(64°+38°)=78°$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow AC=\frac{BC.\sin B}{\sin A}=\frac{22.\sin 64°}{\sin 78°}\approx 20,22$

$AB=\frac{BC.\sin C}{\sin A}=\frac{22.\sin 38°}{\sin 78°}\approx 13,85$.

c) Ta có: $\widehat{A}=180°-(120°+28°)=32°$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow BC=\frac{AC.\sin A}{\sin B}=\frac{22.\sin 32°}{\sin 120°}\approx 13,46$

$AB=\frac{AC.\sin C}{\sin B}=\frac{22.\sin 28°}{\sin 120°}\approx 11,93$

d) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{-383}{1472}\Rightarrow \widehat{A}\approx 105°5\text{'}$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow \sin C=\frac{AB.\sin A}{BC}=\frac{23.\sin 105°5\text{'}}{44}\approx 0,505\Rightarrow \widehat{C}\approx 30°19\text{'}$

$\Rightarrow \widehat{B}=180°-(105°5\text{'}+30°19\text{'})\approx 44°36\text{'}$

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 70°. Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2.AC.BC.\cos C\approx 109,28$

$\Rightarrow$ AB ≈ 10,45 km.

Vậy chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B là:

10 + 8 – 10,45 = 7,55 km.

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 56,5° (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5 m.

Lời giải:

Đặt tên các điểm như hình bên dưới.

Xét tam giác OAB vuông tại B ta có:

$\tan O=\frac{AB}{OB}\Rightarrow AB=OB.\tan O=16.\tan 56,5^0\approx 24,17$

Vậy khoảng cách tử tâm cánh quạt đến mặt đất khoảng 24,17 + 1,5 = 25,67 m.

Giải Toán 10 trang 78 Tập 1

Bài 4 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 32° và 40° (Hình 9).

Lời giải:

Vì $\widehat{CDA}$ và $\widehat{ADB}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{CDA}={180}^0-{40}^0={140}^0$

Xét tam giác ACD có : $\widehat{CAD}={180}^0-({32}^0+{140}^0)=8^0$

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{AD}{\sin C}=\frac{CD}{\sin A}\Rightarrow AD=\frac{CD.\sin C}{\sin A}=\frac{1.\sin {32}^0}{\sin 8^0}$ ≈ 3,81 km.

Xét tam giác ABD vuông tại B, ta có:$\sin \widehat{ADB}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AB=AD.\sin {40}^0$ ≈ 2,45 km.

Bài 5 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32° so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62°. Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là 70°. Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.

Lời giải:

Gọi điểm tại khinh khí cầu là A

Theo giả thiết ta có: $\widehat{APQ}={30}^0;\alpha ={38}^0$

Mà $\widehat{AQP}$ và α là hai góc kề bù nên $\widehat{AQP}={180}^0-{38}^0={142}^0$

$\Rightarrow \widehat{PAQ}={180}^0-({30}^0+{142}^0)=8^0$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{PQ}{\sin A}=\frac{AQ}{\sin \widehat{APQ}}\Rightarrow AQ=\frac{PQ.\sin \widehat{APQ}}{\sin A}=\frac{60.\sin {30}^0}{\sin 8^0}$ ≈ 215,56 km.

Bài 6 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là 43°, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 62° và điểm mốc khác là 54° (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.

Lời giải:

Xét tam giác ADB vuông tại B ta có:

$\cos {62}^0=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AD=\frac{AB}{\cos {62}^0}=\frac{352}{\cos {62}^0}\approx 749,78$ m.

Tương tự với tam giác ABC vuông tại B ta có: $AC=\frac{AB}{\cos {54}^0}\approx 598,86$

Áp dụng định lí côsin ta có:

$C{D}^2=A{D}^2+A{C}^2-2AD.AC.\cos {43}^0\approx 264028,34$

$\Rightarrow$CD ≈ 513,84 m

Vậy khoảng cách giữa hai mốc này khoảng 513,84 m.

*Phương pháp giải:

Bước 1: Kí hiệu các điểm A, B, C, H như hình trên.

Bước 2: Tính AB, AC bằng cách gắn vào tam giác ABH và ACH.

Bước 3: Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC:

*Lý thuyết:

Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = c² + a² – 2ca.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Từ định lí côsin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};$

$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca};$

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$

Xem thêm

Lý thuyết Định lí côsin và định lí sin – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế - Chân trời sáng tạo

1. Giải tam giác

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.

Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí các hệ thức lượng như: định lí sin, định lí côsin và các công thức tính diện tích tam giác.

Ví dụ 1. Giải tam giác ABC biết AB = 45, AC = 32 và $\widehat{A}=60°.$

Hướng dẫn giải

+) Theo định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = 45² + 32² – 2.45.32.cos60°

Þ BC² = 1609.

Þ BC ≈ 40,11.

+) Theo định lí sin ta có:$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \frac{40,11}{\sin 60°}=\frac{32}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{32.\sin 60°}{40,11}\approx 0,69$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx$ 44° (không thể xảy ra trường hợp $\widehat{B}\approx 136°$ do $\widehat{A}+\widehat{B}>180°$)

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=60°,\widehat{B}=44°$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-60°-44°=76°$

Vậy BC ≈ 40,11; $\widehat{B}\approx 44°$ và $\widehat{C}\approx 76°.$

2. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.

Ví dụ 2. Một khung thành bóng đá rộng 5 mét. Một cầu thủ đứng ở vị trí cách cột dọc khung thành 26 mét và cách cột còn lại 23 mét, sút vào khung thành. Tính góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành trên.

Hướng dẫn giải

Vị trí cầu thủ C và khung thành AB được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Gọi α là góc nhìn của cầu thủ C tới hai cột khung thành A và B, tức là $\alpha =\widehat{ACB}.$

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$cos\alpha =\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}=\frac{{23}^2+{26}^2-5^2}{\mathrm{2.23.26}}\approx 0,9866$

Suy ra α ≈ 9°23'.

Vậy góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành là khoảng 9°23'.

Ví dụ 3. Từ hai vị trí A và B của một toà nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30'. Tính độ cao của ngọn núi.

Hướng dẫn giải

Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{BAH}-\widehat{CAH}\Rightarrow \widehat{BAC}=90°-30°=60°$.

$\widehat{ABC}=90°+15°30\text{'}=105°30\text{'}$

Xét tam giác ABC ta có:

$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-\widehat{BAC}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 180°-60°-105°30\text{'}=14°30\text{'}$

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow \frac{AC}{\sin 105°30\text{'}}=\frac{70}{\sin 14°30\text{'}}$

$\Rightarrow AC=\frac{70.\sin 105°30\text{'}}{\sin 14°30\text{'}}$

Þ AC ≈ 269,4 (m)

Tam giác ACH vuông tại H ta có: $CH=AC.\sin \widehat{CAH}\approx 269,4.\sin 30°\approx 134,7\left(m\right)$

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Khái niệm vectơ

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế