Giải Toán 10 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 5

Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5

Bài tập

Giải Toán 10 trang 102 Tập 1

Bài 1 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

b) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Lời giải:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng phương nên $\overrightarrow{a}=k_1.\overrightarrow{c}$ (k₁ ≠ 0).

Hai vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng phương nên $\overrightarrow{b}=k_2.\overrightarrow{c}$ (k₂ ≠ 0).

Khi đó $\frac{\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}}=\frac{k_1.\overrightarrow{c}}{k_2.\overrightarrow{c}}=\frac{k_1}{k_2}\Rightarrow \overrightarrow{a}=\frac{k_1}{k_2}.\overrightarrow{b}$.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Vậy khẳng định a đúng.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{a}=-k_1.\overrightarrow{c}$ (k₁ > 0).

Hai vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{b}=-k_2.\overrightarrow{c}$ (k₂ > 0).

Khi đó $\frac{\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}}=\frac{-k_1.\overrightarrow{c}}{-k_2.\overrightarrow{c}}=\frac{k_1}{k_2}\Rightarrow \overrightarrow{a}=\frac{k_1}{k_2}.\overrightarrow{b}$ với $\frac{k_1}{k_2}>0$.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Vậy khẳng định b đúng.

Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}$.

b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{10}}{2}$.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:

AC² = AB² + BC²

$\Rightarrow$ AC² = a² + (3a)²

$\Rightarrow$ AC² = 10a²

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{10}$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD = $\sqrt{10}$a.

Vậy $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{B\text{D}}\right|=10\sqrt{a}$.

b) Ta thấy $\frac{a\sqrt{10}}{2}$ = $\frac{1}{2}.10\sqrt{a}$.

Do đó độ dài các vectơ đó bằng $\frac{1}{2}$ độ dài của AC và BD.

Vậy các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{10}}{2}$ là: $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$; $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$; $\overrightarrow{BO}$ và $\overrightarrow{DO}$; $\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{CO}$.

Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

+) Tính $\left|\overrightarrow{p}\right|$:

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{p}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$.

Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD nên AC là tia phân giác của $\widehat{BA\text{D}}$.

Do đó $\widehat{BAC}=30°$.

Tam giác ABC cân tại B nên $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}=30°$.

Khi đó $\widehat{ABC}=180°-2.30°=120°$.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² - 2.AB.BC.cos $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow$ AC² = a² + a² - 2.a.a.cos 120^o

$\Rightarrow$ AC² = 2a² + a²

$\Rightarrow$ AC² = 3a²

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{3}$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do đó $\left|\overrightarrow{p}\right|=\sqrt{3}a$.

+) Tính $\left|\overrightarrow{u}\right|$:

Ta có $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{DB}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|$.

Tam giác ABD cân tại A có $\widehat{BA\text{D}}=60°$ nên tam giác ABD đều.

Do đó BD = AB = a.

Do đó $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|$ = a.

+) Tính $\left|\overrightarrow{v}\right|$:

Gọi H là giao điểm của AC và BD.

H là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}$.

Do đó $2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AH}=2\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}\right)=2\overrightarrow{HB}$.

Khi đó $\left|2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\overrightarrow{HB}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=a$.

Do đó $\left|\overrightarrow{v}\right|=a$.

Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AN}$ (Hình 1).

a) Tìm tổng của các vectơ $\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MC}$; $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{NC}$.

b) Tìm các vectơ hiệu: $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC};\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}$.

c) Chứng minh $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Lời giải:

M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC.

N là trung điểm của AD nên AN = ND = $\frac{1}{2}$AD.

Do ABCD là hình bình hành nên BC = AD.

Do đó BM = MC = AN = ND.

Do $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AN}$ nên CE = AN.

Do đó BM = MC = AN = ND = CE.

Khi đó ta có AMCN, NCED là các hình bình hành.

a) +) Tính $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}$:

Ta có $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CE}$ nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{NE}$.

+) Tính $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}$:

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$ nên $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{N\text{D}}$.

+) Tính $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}$:

Ta có $\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AM}$ nên $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A\text{E}}$.

b) +) Tính $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC}$:

Ta có $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NM}$.

+) Tính $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$:

Ta có $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$.

+) Tính $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}$:

Ta có $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{A\text{D}}$ nên $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$.

c) Ta có $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}$.

Giải Toán 10 trang 103 Tập 1

Bài 5 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$ ;

b) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$.

Lời giải:

a) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$ thì ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\right)}^2$.

$\Rightarrow {\overrightarrow{a}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|+{\overrightarrow{b}}^2$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$

Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ nên $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1$.

Do đó $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0°$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$ thì ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2$.

$\Rightarrow {\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

$\Rightarrow 4\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0$

Do $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ nên $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0$.

Do đó $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90°$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.

Bài 6 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=0$. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Do $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$ = 0 nên $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$.

Trường hợp 1. Cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều là vectơ $\overrightarrow{0}$.

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Trường hợp 2. Cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$.

Khi đó $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\right|=\left|-\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, ngược hướng và có độ dài bằng nhau.

Bài 7 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Lời giải:

Phần thuận: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{C\text{D}}$ thì trung điểm hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Do $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{C\text{D}}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{C\text{D}}$ cùng hướng và AB = CD.

Do hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{C\text{D}}$ cùng hướng nên ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1. Đường thẳng AB và CD trùng nhau, lại có AB = CD nên trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Trường hợp 2. Đường thẳng AB và CD song song với nhau.

Đường thẳng AB và CD song song với nhau, lại có AB = CD nên ABDC là hình bình hành.

Khi đó tâm O của hình bình hành ABCD là giao điểm hai đường chéo AD và BC nên O là trung điểm của AD và BC tức trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Phần đảo: Trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{C\text{D}}$.

Trường hợp 1. Hai đường thẳng AD và BC trùng nhau.

Gọi trung điểm của AD và BC là O.

Do O là trung điểm của AD nên OA = OD.

Do O là trung điểm của BC nên OB = OC.

Do đó OB - OA = OC - OD hay AB = CD.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{C\text{D}}$ cùng hướng và AB = CD nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{C\text{D}}$.

Trường hợp 2. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau.

Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm O, điểm O là trung điểm của AD và BC nên ABDC là hình bình hành.

Do đó AB // CD và AB = CD.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{C\text{D}}$ cùng hướng và AB = CD nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{C\text{D}}$.

Bài 8 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{P\text{S}}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$.

Do ABIJ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AJ}=-\overrightarrow{IB}$.

Do CARS là hình bình hành nên $\overrightarrow{RA}=-\overrightarrow{C\text{S}}$.

Do BCPQ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BQ}=-\overrightarrow{PC}$.

Do đó $\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}=-\overrightarrow{CS}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$

$=\left(-\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{C\text{S}}\right)+\left(-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}\right)+\left(-\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\right)=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{P\text{S}}=\overrightarrow{0}$.

Bài 9 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Lời giải:

Trong hình trên ta có vectơ $\overrightarrow{v_1}$ là tốc độ của máy bay bay về phía bắc, vectơ $\overrightarrow{v}$ là tốc độ của máy bay so với mặt đất, vectơ $\overrightarrow{v_2}$ là tốc độ của gió.

Khi đó độ dài ba vectơ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_1}$ và $\overrightarrow{v_2}$ tạo thành độ dài ba cạnh của tam giác ABC với AB = $\left|\overrightarrow{v_1}\right|$ = 45, BC = $\left|\overrightarrow{v_2}\right|$, AC = $\left|\overrightarrow{v}\right|$ = 38.

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC ta được:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

⇔ v² = 45² + 38² – 2.45.38.cos20°

⇔ v² ≈ 255,3

⇔ v ≈ 15,98

Vậy tốc độ của gió khoảng 15,98 m/s.

Bài 10 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.

Lời giải:

Tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=60°$.

Qua M kẻ NS // AB, PT // AC, RQ // BC.

Do NS //AB nên $\widehat{MNT}=\widehat{ABC}=60°$ và $\widehat{M\text{SR}}=\widehat{BAC}=60°$.

Do PT // AC nên $\widehat{MTN}=\widehat{ACB}=60°$ và $\widehat{MPQ}=\widehat{BAC}=60°$.

Do RQ // BC nên $\widehat{M\text{RS}}=\widehat{ACB}=60°$ và $\widehat{MQP}=\widehat{ABC}=60°$.

Khi đó các tam giác MNT, MRS và MPQ là các tam giác đều.

Tam giác MNT đều có MD $\perp$ NT nên D là trung điểm của NT.

Tam giác MRS đều có ME $\perp$ RS nên E là trung điểm của RS.

Tam giác MPQ đều có MF $\perp$PQ nên F là trung điểm của PQ.

Do D là trung điểm của NT nên $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MT}=2\overrightarrow{M\text{D}}$.

Do E là trung điểm của RS nên $\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MS}=2\overrightarrow{ME}$.

Do F là trung điểm của PQ nên $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{MF}$.

Do đó $2\overrightarrow{M\text{D}}+2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{M\text{P}}+\overrightarrow{MQ}$

$=\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}\right)+\left(\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{MR}\right)+\left(\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{M\text{P}}\right)$

Tứ giác MNBQ có MN // BQ và MQ // BN nên MNBQ là hình bình hành.

Tứ giác MTCR có MT // CR và MR // CT nên MTCR là hình bình hành.

Tứ giác MSAP có MP // AS và MS // AP nên MSAP là hình bình hành.

Khi đó áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MB}$; $\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MC}$; $\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{M\text{P}}=\overrightarrow{MA}$.

Do đó $\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}\right)+\left(\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{MR}\right)+\left(\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{M\text{P}}\right)=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$.

Do O là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}$ hay

$2\overrightarrow{M\text{D}}+2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{MF}=3\overrightarrow{MO}$.

Do đó $\overrightarrow{M\text{D}}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.

Bài 11 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một xe goòng được kéo bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{AB}$ là 30° và $\overrightarrow{F}$ được phân tích thành 2 lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F},\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$.

Lời giải:

Đặt tên điểm đầu và điểm cuối của các vectơ như hình trên.

Tam giác ADE vuông tại E nên cos 30^o = $\frac{A\text{E}}{A\text{D}}$

$\Rightarrow$ AE = AD . cos 30^o = 50 . $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $25\sqrt{3}$ N.

Ta thấy $\overrightarrow{F_1}\perp \overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{AB}\right)=\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos 90°=0$ J.

$\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\left(\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{AB}\right)=0°$.

Khi đó $\overrightarrow{F_2}.\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{AB}\right)=\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos 0°$ = $25\sqrt{3}$ . 200 = $5000\sqrt{3}$ J.

$\overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{AB}\right)=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos 30°$ = 50 . 200 . $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $5000\sqrt{3}$ J.

Vậy công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F},\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ lần lượt là $5000\sqrt{3}$ J, $5000\sqrt{3}$ J, 0 J.

Bài 12 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v}$ lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v}$.

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Lời giải:

Đặt tên điểm đầu và điểm cuối của các vectơ như hình trên.

a) Ta có $\left|\overrightarrow{v_1}\right|=0,75$; $\left|\overrightarrow{v_2}\right|=1,2$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC²

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{0,{75}^2+1,2^2}$ ≈ 1,4 (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{v}\right|$ ≈ 1,4.

b) Khi đó tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ khoảng 1,4 m/s.

c) Tam giác ABC vuông tại B nên $\tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}=\frac{0,75}{1,2}=\frac{5}{8}$.

$\Rightarrow \widehat{ACB}$ ≈ 32^o

Ta có $\widehat{ACB}=\theta$ nên $\theta$≈ 32^o.

Vậy hướng di chuyển của thuyền lệch một góc khoảng 32^o so với bờ.

Lý thuyết Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

+ Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$
, đọc là vectơ $\overrightarrow{AB}$.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của $\overrightarrow{AB}$ và được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{AB}\right|$. Như vậy ta có $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB$.

Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\mathrm{...}$

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ: Tìm các vectơ cùng phương trong hình bên dưới.

Hướng dẫn giải

Trong hình trên, ta có:

+) $\overrightarrow{MN}$ có giá là đường thẳng MN, $\overrightarrow{PQ}$ có giá là đường thẳng PQ, mà hai đường thẳng MN và PQ trùng nhau.

Do đó $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá trùng nhau.

+) Ta có: $\overrightarrow{EF}$ có giá là đường thẳng EF, $\overrightarrow{GH}$ có giá là đường thẳng GH, mà hai đường thẳng EF và GH song song với nhau.

Do đó $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{GH}$ là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá song song.

Chú ý:

+ Trong hình trên, hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ là hai vectơ cùng hướng.

+ Hai vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{GH}$ cùng phương nhưng ngược hướng với nhau ($\overrightarrow{EF}$ có hướng từ trên xuống dưới và $\overrightarrow{GH}$ có hướng từ dưới lên trên). Ta nói hai vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{GH}$ là hai vectơ ngược hướng.

Nhận xét:

+ Hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Giải thích: Ta thấy nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có giá trùng nhau nên chúng cùng phương. Ngược lại, nếu hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương thì ta suy ta hai đường thẳng AB và AC phải song song hoặc trùng nhau. Mà hai đường thẳng này có điểm A là điểm chung, do đó đường thẳng AB và AC trùng nhau. Khi đó ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng. Vì vậy, ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

3. Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$.

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{b}$ được gọi là vectơ đối của vectơ .

Chú ý:

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}$ và điểm O, ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$. Khi đó độ dài của $\overrightarrow{a}$ là độ dài đoạn thẳng OA, kí hiệu là $\left|\overrightarrow{a}\right|$.

+ Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có $\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN}$.

4. Vectơ-không

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là $\overrightarrow{0}$.

Chú ý:

+ Quy ước: vectơ-không có độ dài bằng 0.

+ Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau: $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\mathrm{...}$, với mọi điểm A, B, C,...

+ Vectơ đối của vectơ-không là chính nó.

5. Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Vậy $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm M, N, P, ta có $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$.

Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

Quy tắc hình bình hành

Nếu OACB là hình bình hành thì ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$.

6. Tính chất của phép cộng các vectơ

Phép cộng vectơ có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

+ Tính chất kết hợp: $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

+ Với mọi $\overrightarrow{a}$, ta luôn có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ ,kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ với $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}$.

Chú ý: Cho vectơ tùy ý $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$.

Ta có $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{a}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{a}\right)=\overrightarrow{0}$.

7. Hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là vectơ $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$ và kí hiệu là $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có:$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$.

8. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

9. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Cho số k ≠ 0 và $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Tích của số k với $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$.

Vectơ $k\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $\left|k\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Ta quy ước $0\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ và $k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

Tính chất:

Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

+) $k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$;

+) $\left(h+k\right)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$;

+) $h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}$;

+) $1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$;

+) $\left(-1\right).\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$.

10. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

Chú ý: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Với mỗi $\overrightarrow{c}$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$.

11. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$.

Góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Nếu $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90°$ thì ta nói rằng $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

Chú ý:

+ Từ định nghĩa, ta có $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\right)$.

+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác $\overrightarrow{0}$ luôn bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác $\overrightarrow{0}$ luôn bằng 180°.

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}$ hoặc $\overrightarrow{b}$ là $\overrightarrow{0}$ thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

12. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$.

Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$, được xác định bởi công thức:$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Chú ý:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng $\overrightarrow{0}$, ta quy ước $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.

b) Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta có $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.

c) Khi $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ thì tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ được kí hiệu là ${\overrightarrow{a}}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}$.

Ta có ${\overrightarrow{a}}^2=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|.\cos 0°={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$. Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của và biểu diễn công A sinh bởi lực khi thực hiện độ dịch chuyển . Ta có công thức $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}$

13. Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ bất kì và mọi số k, ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$; $\left(k\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{b}=k\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}.\left(k\overrightarrow{b}\right)$.

Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:

${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$;

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Bài tập cuối chương 6

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài tập cuối chương 5