Lý thuyết tổng hợp cuối chương 5 – Toán 10 Chân trời sáng tạo
Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5 chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10
Lý thuyết Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.
+ Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là
, đọc là vectơ .
+ Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ .
+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của và được kí hiệu là . Như vậy ta có .
Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là
2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Ví dụ: Tìm các vectơ cùng phương trong hình bên dưới.
Hướng dẫn giải
Trong hình trên, ta có:
+) có giá là đường thẳng MN, có giá là đường thẳng PQ, mà hai đường thẳng MN và PQ trùng nhau.
Do đó và là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá trùng nhau.
+) Ta có: có giá là đường thẳng EF, có giá là đường thẳng GH, mà hai đường thẳng EF và GH song song với nhau.
Do đó và là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá song song.
Chú ý:
+ Trong hình trên, hai vectơ và cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói và là hai vectơ cùng hướng.
+ Hai vectơ và cùng phương nhưng ngược hướng với nhau ( có hướng từ trên xuống dưới và có hướng từ dưới lên trên). Ta nói hai vectơ và là hai vectơ ngược hướng.
Nhận xét:
+ Hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
+ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương.
Giải thích: Ta thấy nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ và có giá trùng nhau nên chúng cùng phương. Ngược lại, nếu hai vectơ và cùng phương thì ta suy ta hai đường thẳng AB và AC phải song song hoặc trùng nhau. Mà hai đường thẳng này có điểm A là điểm chung, do đó đường thẳng AB và AC trùng nhau. Khi đó ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng. Vì vậy, ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương.
3. Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau
Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu .
Hai vectơ và được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu . Khi đó vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ .
Chú ý:
+ Cho vectơ và điểm O, ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho . Khi đó độ dài của là độ dài đoạn thẳng OA, kí hiệu là .
+ Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có .
4. Vectơ-không
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là .
Chú ý:
+ Quy ước: vectơ-không có độ dài bằng 0.
+ Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau: , với mọi điểm A, B, C,...
+ Vectơ đối của vectơ-không là chính nó.
5. Tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ và . Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho . Khi đó được gọi là tổng của hai vectơ và và được kí hiệu là .
Vậy .
Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Quy tắc ba điểm
Với ba điểm M, N, P, ta có .
Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.
Quy tắc hình bình hành
Nếu OACB là hình bình hành thì ta có .
6. Tính chất của phép cộng các vectơ
Phép cộng vectơ có các tính chất sau:
+ Tính chất giao hoán: .
+ Tính chất kết hợp: .
+ Với mọi , ta luôn có: .
Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ ,kí hiệu là với .
Chú ý: Cho vectơ tùy ý .
Ta có .
Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: .
7. Hiệu của hai vectơ
Cho hai vectơ và . Hiệu của hai vectơ và là vectơ và kí hiệu là .
Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có:.
8. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi .
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi .
9. Tích của một số với một vectơ và các tính chất
Cho số k ≠ 0 và . Tích của số k với là một vectơ, kí hiệu là .
Vectơ cùng hướng với nếu k > 0, ngược hướng với nếu k < 0 và có độ dài bằng .
Ta quy ước và .
Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.
Tính chất:
Với hai vectơ và bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:
+) ;
+) ;
+) ;
+) ;
+) .
10. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Hai vectơ và () cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho .
Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để .
Chú ý: Cho hai vectơ và không cùng phương. Với mỗi luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho .
11. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ và đều khác . Từ một điểm O bất kì ta vẽ , .
Góc với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ và .
Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ và là .
Nếu thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu .
Chú ý:
+ Từ định nghĩa, ta có .
+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác luôn bằng 0°.
+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác luôn bằng 180°.
+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ hoặc là thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).
12. Tích vô hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ và đều khác .
Tích vô hướng của và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức:.
Chú ý:
a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ và bằng , ta quy ước .
b) Với hai vectơ và , ta có .
c) Khi thì tích vô hướng được kí hiệu là và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ .
Ta có . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của và biểu diễn công A sinh bởi lực khi thực hiện độ dịch chuyển . Ta có công thức
13. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ bất kì và mọi số k, ta có:
; ; .
Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:
;
.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm đoạn BC.
a) Gọi tên các vectơ cùng hướng với .
b) Gọi tên các vectơ ngược hướng với .
c) Chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau và đối nhau có các điểm đầu hoặc điểm cuối là A, B, C, D, M.
Hướng dẫn giải
a) Vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên cùng hướng với .
Các vectơ cùng hướng với vectơ và khác là các vectơ có giá song song hoặc trùng với và có hướng từ trên xuống dưới giống như .
Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: .
Vậy có 4 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .
b) Vì vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên vectơ đối của vectơ-không ngược hướng với .
Vectơ đối của vectơ-không là chính nó nên ngược hướng với vectơ .
Các vectơ ngược hướng với là các vectơ có giá song song hoặc trùng với và có hướng ngược lại với , nghĩa là các vectơ cần tìm có hướng dưới lên trên.
Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: .
Vậy có 5 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .
c) - Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AB = CD (tính chất hình chữ nhật)
Mà hai vectơ cùng hướng và hai vectơ cùng hướng.
Do đó và .
+ Tương tự ta có: và
+ M là trung điểm của BC nên BM = MC =
Mà hai vectơ cùng hướng và hai vectơ cúng hướng.
Do đó và
- và là hai vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng nên
Do đó và là hai vectơ đối nhau.
Tương tự ta có các cặp vectơ đối nhau là: và ; và và ; và và
Bài 2. Một con thuyền trôi theo hướng nam vận tốc 25 km/h, dòng nước chảy theo hướng đông với vận tốc 10 km/h. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên (làm tròn kết quả đến hàng trăm).
Hướng dẫn giải
Gọi A là vị trí con thuyền xuất phát.
Vận tốc của con thuyền được biểu diễn bởi .
Vận tốc của dòng nước được biểu diễn bởi .
Khi đó ta có vectơ tổng của hai vectơ nói trên là .
Do đó độ lớn của vectơ cần tìm là:.
Vì con thuyền trôi theo hướng nam và dòng nước chảy theo hướng đông.
Nên ta có AB ⊥ BC.
Ta có độ lớn vận tốc con thuyền là 25 km/h.
Suy ra = AB = 25.
Ta có độ lớn vận tốc dòng nước là 10 km/h.
Suy ra = BC = 10.
Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go)
⇔ AC2 = 252 + 102 = 725.
⇒ AC = ≈ 26,93.
Vậy độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói đến trong bài xấp xỉ bằng 26,93 (km/h).
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị theo hai vecto và
Hướng dẫn giải
Gọi E là điểm đối xứng với A qua M.
Khi đó M là trung điểm của BC và AE.
Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành.
(quy tắc hình bình hành)
Mà (M là trung điểm của AE)
Xét hình bình hành ABCD có: (quy tắc hình bình hành)
Vậy
Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng .
Hướng dẫn giải
Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.
Suy ra M là trung điểm của AB và EO; N là trung điểm của DC và OF.
Khi đó các tứ giác OAEB và OCFD là các hình bình hành
(quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OAEB)
Và (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OCFD).
Vì O là trung điểm của MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = MF.
Do đó OE = OF hay O là trung điểm của EF
Suy ra
Bài 5. Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác định điểm M để
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có:
Hướng dẫn giải
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra .
Ta có:
(vì )
Do đó vecto cùng hướng với vecto và
Vậy điểm M nằm giữa G và C sao cho
b) Ta có:
(vì )
Vậy với mọi điểm O, ta có:
Bài 6. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a và trọng tâm G. Tính:
a) .
b) .
Hướng dẫn giải
a) Tam giác ABC đều nên ta có AB = AC = BC = a và .
Ta có .
b) Vì G là trọng tâm của tam giác đều ABC.
Nên AG là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Do đó AG cũng là đường phân giác và cũng là đường cao của tam giác ABC.
Ta suy ra .
Gọi I là giao điểm của AG và BC.
Ta suy ra I là trung điểm BC.
Do đó BI = .
Tam giác ABI vuông tại I: AI2 = AB2 – BI2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go)
.
Tam giác ABC đều có G là trọng tâm.
Ta suy ra AG = .
Ta có:
Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:
a) .
b) .
c) .
Hướng dẫn giải
a) Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).
Do đó ta có (1) và (2).
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: .
b) Vì ABCD là hình bình hành nên BA // DC và BA = DC.
Mà ngược hướng.
Do đó .
Ta suy ra .
Ta có .
c) Ta có O là trung điểm BD nên DO = OB.
Mà cùng hướng.
Do đó .
Ta có .
Bài 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài các vectơ:
a) .
b) .
Hướng dẫn giải
a) Vì ABCD là hình vuông nên .
Do đó .
Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go)
⇔ AC2 = a2 + a2 = 2a2
⇒ AC = .
Vậy .
b) Vì ABCD là hình vuông nên ta có BD = AC = và AD = CB.
Mà ngược hướng.
Do đó .
Ta có .
Do đó .
Vì O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm BD.
Do đó OD = .
Vậy .
Bài 9. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
.
Hướng dẫn giải
Ta có (1)
(2)
(3)
Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 10. Cho hai vectơ và thỏa mãn và hai vectơ và vuông góc với nhau. Xác định góc giữa hai vectơ và .
Hướng dẫn giải
Theo đề ta có: .
.
Vậy góc giữa hai vectơ và bằng 180°.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 1: Số gần đúng và sai số
Lý thuyết Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ
Lý thuyết Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu
Lý thuyết Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (ngắn nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 10 Friends Global đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Địa Lí 10 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Kinh tế và pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết KTPL 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục thể chất 10 – Chân trời sáng tạo