Lý thuyết Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ – Toán 10 Chân trời sáng tạo
Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10.
Lý thuyết Toán 10 Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ - Chân trời sáng tạo
A. Lý thuyết
1. Phương trình đường thẳng
1.1. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu và giá của song song hoặc trùng với ∆.
Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu và vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.
Chú ý:
• Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến thì ∆ sẽ nhận hoặc là một vectơ chỉ phương.
• Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.
• Nếu là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.
Ví dụ:
a) Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương . Tìm một vectơ pháp tuyến của d.
b) Cho đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến . Tìm ba vectơ chỉ phương của d’.
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .
Suy ra d cũng có vectơ chỉ phương và có vectơ pháp tuyến .
Vậy d có vectơ pháp tuyến .
b)
• d’ có vectơ pháp tuyến .
Suy ra d’ có vectơ chỉ phương ; .
• d’ có vectơ chỉ phương .
Suy ra d’ cũng có vectơ chỉ phương .
Vậy ba vectơ chỉ phương của d’ là ; ; .
1.2. Phương trình tham số của đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi:
(với )
là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0), có vectơ chỉ phương .
Chú ý: Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆ và ngược lại.
Ví dụ:
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và nhận làm vectơ chỉ phương.
b) Trong các điểm A(2; 5), B(3; 12), C(–4; 6) thì điểm nào thuộc đường thẳng d?
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và có vectơ chỉ phương .
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d:
b)
• Thay tọa độ điểm A vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:
(vô lý).
Khi đó A(2; 5) ∉ d.
• Thay tọa độ điểm B vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:
.
Khi đó B(3; 12) ∈ d.
• Thay tọa độ điểm C vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:
(vô lý).
Khi đó C(–4; 6) ∉ d.
Vậy chỉ có điểm B thuộc đường thẳng d.
1.3. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng: ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0.
Chú ý:
• Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
• Khi cho phương trình đường thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0.
Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến .
b) Đường thẳng ∆ đi qua điểm K(5; –8) và có vectơ chỉ phương .
c) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(6; 3), N(9; 1).
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình tổng quát của ∆ là: –2(x – 2) – 1(y – 1) = 0
⇔ –2x – y + 5 = 0.
Vậy phương trình tổng quát của ∆ là –2x – y + 5 = 0.
b) ∆ có vectơ chỉ phương nên ∆ nhận làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm K(5; –8) và có vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình tổng quát của ∆ là: 4(x – 5) + 3(y + 8) = 0
⇔ 4x + 3y + 4 = 0.
Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 4x + 3y + 4 = 0.
c) Với M(6; 3), N(9; 1) ta có: .
∆ có vectơ chỉ phương nên ∆ nhận làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(6; 3) và có vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của ∆ là: 2(x – 6) + 3(y – 3) = 0
⇔ 2x + 3y – 21 = 0.
Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 2x + 3y – 21 = 0.
Nhận xét:
• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) có dạng:
(với xB ≠ xA, yB ≠ yA).
• Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy tại A(a; 0) và B(0; b) (a, b khác 0) thì phương trình ∆ có dạng:
(1).
Phương trình (1) còn được gọi là phương trình đoạn chắn.
Ví dụ:
+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm P(2; 5), Q(1; 8).
Suy ra phương trình đường thẳng ∆: .
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .
+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm X(–4; 0) và Y(0; 5).
Vậy phương trình đoạn chắn của ∆: .
1.4. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng
Ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + y0 (k ≠ 0) là một đường thẳng d đi qua điểm M(0; y0) và có hệ số góc k. Ta có thể viết: y = kx + y0 ⇔ kx – y + y0 = 0.
Như vậy, đồ thị hàm bậc nhất y = kx + y0 là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát là kx – y + y0 = 0. Đường thẳng này không vuông góc với Ox và Oy.
Ngược lại, cho đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 với a và b đều khác 0, khi đó ta có thể viết: ax + by + c = 0 ⇔ y = kx + y0.
Như vậy d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y0 với hệ số góc và tung độ gốc .
Ví dụ:
+) Cho đường thẳng d có phương trình: y = 2x + 1 ⇔ 2x – y + 1 = 0.
Ta suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là .
+) Cho đường thẳng d’ có phương trình: x + 5y – 2 = 0 .
Khi đó ta có d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y0, với hệ số góc và tung độ gốc .
Chú ý:
• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành .
Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm .
• Nếu b = 0 và a ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành .
Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm .
Trong cả hai trường hợp trên, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 () có vectơ pháp tuyến và đường thẳng ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 () có vectơ pháp tuyến .
Ta có thể dùng phương pháp tọa độ để xét vị trí tương đối của ∆1 và ∆2 như sau:
– Nếu và cùng phương thì ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên ∆1.
+ Nếu P ∈ ∆2 thì ∆1 ≡ ∆2.
+ Nếu P ∉ ∆2 thì ∆1 // ∆2.
– Nếu và không cùng phương thì ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm M(x0; y0) với (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình: .
Chú ý:
a) Nếu thì , suy ra ∆1 ⊥ ∆2.
b) Để xét hai vectơ và cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức a1b2 – a2b1:
+ Nếu a1b2 – a2b1 = 0 thì hai vectơ cùng phương.
+ Nếu a1b2 – a2b1 ≠ 0 thì hai vectơ không cùng phương.
Trong trường hợp tất cả các hệ số a1, a2, b1, b2 đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:
+ Nếu thì hai vectơ cùng phương.
+ Nếu thì hai vectơ không cùng phương.
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: 4x – 10y + 1 = 0 và ∆2: x + y + 2 = 0.
b) ∆1: 12x – 6y + 6 = 0 và ∆2: 2x – y + 5 = 0.
c) ∆1: 8x + 10y – 12 = 0 và ∆2:
d) ∆1: và ∆2:
Hướng dẫn giải
a) ∆1: 4x – 10y + 1 = 0 và ∆2: x + y + 2 = 0.
∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là và .
Ta có .
Suy ra và là hai vectơ không cùng phương.
Khi đó ta có ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm M.
Giải hệ phương trình:
Suy ra .
Vậy ∆1 cắt ∆2 tại điểm .
b) ∆1: 12x – 6y + 6 = 0 và ∆2: 2x – y + 5 = 0.
∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là và .
Ta có .
Suy ra và là hai vectơ cùng phương.
Khi đó ta có ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.
Chọn M(0; 1) ∈ ∆1.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ∆2, ta được: 2.0 – 1 + 5 = 4 ≠ 0.
Suy ra M(0; 1) ∉ ∆2.
Vậy ∆1 // ∆2.
c) ∆1: 8x + 10y – 12 = 0 và ∆2:
∆1 có vectơ pháp tuyến .
∆2 có vectơ chỉ phương .
Suy ra ∆2 có vectơ pháp tuyến .
Ta có .
Suy ra và là hai vectơ cùng phương.
Khi đó ta có ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.
Chọn M(–6; 6) ∈ ∆2.
Thế tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ∆1, ta được: 8.(–6) + 10.6 – 12 = 0.
Suy ra M(–6; 6) ∈ ∆1.
Vậy ∆1 ≡ ∆2.
d) ∆1: và ∆2:
• ∆1 có vectơ chỉ phương .
Suy ra ∆1 có vectơ pháp tuyến .
• ∆2 có vectơ chỉ phương .
Suy ra ∆2 có vectơ pháp tuyến .
∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là và .
Ta có 4.5 + 5.(–4) = 0.
Suy ra .
Do đó ∆1 ⊥ ∆2.
∆1 đi qua điểm A(–1; 2) và có vectơ pháp tuyến .
Suy ra phương trình tổng quát của ∆1: 4(x + 1) + 5(y – 2) = 0 ⇔ 4x + 5y – 6 = 0.
Tương tự, ta tìm được phương trình tổng quát của ∆2: 5x – 4y + 38 = 0.
Gọi M(x; y) là giao điểm của ∆1 và ∆2.
Suy ra tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình:
Khi đó ta có tọa độ là .
Vậy ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau tại điểm .
3. Góc giữa hai đường thẳng
3.1. Khái niệm góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc.
• Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
• Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 90°.
Ta quy ước: Nếu ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 0°.
Như vậy góc α giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn: 0° ≤ α ≤ 90°.
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là hoặc (∆1, ∆2).
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có .
Tính các góc: (BD, BC), (AB, AD), (AD, BC), (AB, BD).
Hướng dẫn giải
Ta có:
+) . Suy ra (BD, BC) = 30°.
+) Vì AB ⊥ AD nên (AB, AD) = 90°.
+) Vì AD // BC nên (AD, BC) = 0°.
+) Ta có (Vì AB ⊥ BC).
.
Vì nên (AB, BD) = 60°.
Vậy (BD, BC) = 30°, (AB, AD) = 90°, (AD, BC) = 0°, (AB, BD) = 60°.
3.2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Ta có công thức: .
Nhận xét: Nếu ∆1, ∆2 có vectơ chỉ phương thì .
Chú ý: Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:
• Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 thì ta có:
(∆1, ∆2) = 90° ⇔ a1a2 + b1b2 = 0.
• Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì ta có:
(∆1, ∆2) = 90° ⇔ k1k2 = –1.
Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng –1 thì vuông góc với nhau.
Ví dụ: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong các trường hợp sau:
a) d1: x – 2y + 5 = 0 và d2: 3x – y = 0.
b) d1: 4x + 3y – 21 = 0 và d2:
c) d1: và d2:
Hướng dẫn giải
a) d1: x – 2y + 5 = 0 và d2: 3x – y = 0
d1, d2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Ta có .
Suy ra (d1, d2) = 45°.
Vậy (d1, d2) = 45°.
b) d1: 4x + 3y – 21 = 0 và d2:
d1 có vectơ pháp tuyến .
d2 có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến .
Ta có .
Suy ra // .
Vậy (d1, d2) = 0°.
c) d1: và d2:
d1, d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là .
Ta có (–1).(–4) + 2.(–2) = 0.
Suy ra
Vậy (d1, d2) = 90°.
4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) và điểm M0(x0; y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M0, ∆), được tính bởi công thức: .
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:
a) A(3; 4) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0.
b) B(1; 2) và d: 3x – 4y + 1 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Với A(3; 4) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0 ta có:
.
Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ bằng 5.
b) Với B(1; 2) và d: 3x – 4y + 1 = 0 ta có:
.
Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d bằng .
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho ∆ABC có A(–2; 3), B(2; 5), C(5; 1).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và AC.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
c) Tính khoảng cách từ điểm B lần lượt đến cạnh AC và tính diện tích tam giác ABC.
d) Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
a)
• Với A(–2; 3), B(2; 5) ta có .
Do đó đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến .
Đường thẳng AB đi qua A(–2; 3) và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là:
2(x + 2) – 4(y – 3) = 0 ⇔ x – 2y + 8 = 0.
• Với A(–2; 3), C(5; 1) ta có .
Do đó đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến .
Đường thẳng AC đi qua A(–2; 3) và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là:
2(x + 2) + 7(y – 3) = 0 ⇔ 2x + 7y – 17 = 0.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB, AC lần lượt là x – 2y + 8 = 0, 2x + 7y – 17 = 0.
b) Với B(2; 5), C(5; 1) ta có .
Đường thẳng BC đi qua B(2; 5) và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:
Vậy phương trình tham số của đường thẳng BC là
c) Với B(2; 5) và đường thẳng AC: 2x + 7y – 17 = 0 ta có:
.
Vậy khoảng cách từ điểm B đến cạnh AC bằng .
Ta có nên .
(đvdt).
Vậy diện tích ∆ABC bằng 11 đvdt.
d) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó tọa độ của điểm I thỏa mãn:
Suy ra I(0; 4).
Ta có .
Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC chính là đường thẳng đi qua hai điểm C và I, tức là đường thẳng CI.
Do đó đường thẳng CI đi qua C(5; 1) có một vectơ chỉ phương là .
Phương trình tham số của đương thẳng CI là : .
Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC là: .
Bài 2. Cho hai đường thẳng ∆1: (m – 3)x + 2y + m2 – 1 = 0 và ∆2: –x + my + (m – 1)2 = 0.
a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của ∆1 và ∆2 trong các trường hợp m = 0, m = 1.
b) Tìm m để hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song với nhau.
Hướng dẫn giải
a)
• Nếu m = 0 thì:
Phương trình ∆1: –3x + 2y – 1 = 0 và phương trình ∆2: –x + 1 = 0.
Đường thẳng ∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Ta có a1b2 – a2b1 = (–3).0 .(–1) = 2 ≠ 0.
Suy ra là hai vectơ không cùng phương.
Khi đó ta có ∆1, ∆2 cắt nhau tại điểm M.
Vì M là giao điểm của ∆1 và ∆2 nên tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình:
Suy ra M(1; 2).
• Nếu m = 1 thì:
Phương trình ∆1: –2x + 2y = 0 và phương trình ∆2: –x + y = 0.
Đường thẳng ∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Ta có .
Suy ra là hai vectơ cùng phương.
Khi đó ta có ∆1, ∆2 song song hoặc trùng nhau.
Chọn điểm O(0; 0) ∈ ∆1.
Thay tọa độ điểm O vào phương trình ∆2 ta được: –0 + 0 = 0 (đúng).
Suy ra O(0; 0) ∈ ∆2.
Do đó ∆1 ≡ ∆2.
Vậy khi m = 0 thì ∆1 cắt ∆2 tại điểm M(1; 2) và khi m = 1 thì ∆1 trùng ∆2.
b) ∆1: (m – 3)x + 2y + m2 – 1 = 0 và ∆2: –x + my + (m – 1)2 = 0.
∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Chọn .
∆1 // ∆2 khi và chỉ khi là hai vectơ cùng phương và B ∉ ∆2.
Ta có là hai vectơ cùng phương.
⇔ a1b2 – a2b1 = 0.
⇔ (m – 3).m – 2.(–1) = 0.
⇔ m2 – 3m + 2 = 0.
⇔ m = 1 hay m = 2.
Ở câu a), ta đã chứng minh được ∆1 trùng ∆2 khi m = 1.
Do đó ta loại m = 1.
Với m = 2, ta có tọa độ và phương trình ∆2: –x + 2y + 1 = 0.
Thay tọa độ B vào phương trình ∆2, ta được: .
Suy ra với m = 2, B ∉ ∆2.
Vậy m = 2 thì ∆1 // ∆2.
Bài 3. Tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng ∆1: và ∆2: mx + y + 1 = 0 một góc bằng 30°.
Hướng dẫn giải
∆1: và ∆2: mx + y + 1 = 0
∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Ta có .
Hay
Theo đề, ta có góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng 30°.
Ta suy ra
⇔ 3m2 + 3 = 3m2 – + 1
⇔ = –2
.
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 4. Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0 và điểm M(1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và tạo với đường thẳng d một góc 45°.
Hướng dẫn giải
Gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1; 2) có dạng: a(x – 1) + b(y – 2) = 0.
⇔ ax + by – a – 2b = 0.
Đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến .
Góc giữa hai đường thẳng ∆ và d là:
cos(∆, d) =
Theo đề, ta có ∆ tạo với d một góc 45°.
Suy ra .
⇔ 26a2 + 26b2 = 4(9a2 – 12ab + 4b2)
⇔ –10a2 + 48ab + 10b2 = 0
• Với a = 5b, ta chọn a = 5.
Ta suy ra b = 1.
Khi đó ta nhận được phương trình đường thẳng ∆: 5x + y – 7 = 0.
• Với , ta chọn a = 1.
Ta suy ra b = –5.
Khi đó ta nhận được phương trình đường thẳng ∆: x – 5y + 9 = 0.
Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa yêu cầu bài toán có phương trình lần lượt là 5x + y – 7 = 0 và x – 5y + 9 = 0.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 1: Tọa độ của vectơ
Lý thuyết Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
Lý thuyết Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (ngắn nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 10 Friends Global đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Địa Lí 10 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Kinh tế và pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết KTPL 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục thể chất 10 – Chân trời sáng tạo