Lý thuyết Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10.

1 3,007 03/01/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 10 Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết

1. Phương trình đường thẳng

1.1. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu u0 và giá của u song song hoặc trùng với ∆.

Vectơ nđược gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu n0 n vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

Chú ý:

• Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến n=a;b thì ∆ sẽ nhận u=b;a hoặc u=-b;a là một vectơ chỉ phương.

• Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì ku (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.

• Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.

Ví dụ:

a) Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u=23;13. Tìm một vectơ pháp tuyến của d.

b) Cho đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến n=3;7. Tìm ba vectơ chỉ phương của d’.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u=23;13.

Suy ra d cũng có vectơ chỉ phương 3u=2;1 và có vectơ pháp tuyến n=1;2.

Vậy d có vectơ pháp tuyến n=1;2.

b)

• d’ có vectơ pháp tuyến n=3;7.

Suy ra d’ có vectơ chỉ phương u=7;3; -u=7;-3.

• d’ có vectơ chỉ phương u=7;3.

Suy ra d’ cũng có vectơ chỉ phương 2u=14;6.

Vậy ba vectơ chỉ phương của d’ là u=7;3; u=7;3; 2u=14;6.

1.2. Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi:

x=x0+tu1y=y0+tu2   (với u12+u22>0,t)

phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0), có vectơ chỉ phương u=u1;u2.

Chú ý: Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆ và ngược lại.

Ví dụ:

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và nhận u=2;9 làm vectơ chỉ phương.

b) Trong các điểm A(2; 5), B(3; 12), C(–4; 6) thì điểm nào thuộc đường thẳng d?

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và có vectơ chỉ phương u=2;9.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d: x=1+2ty=3+9t.

b)

• Thay tọa độ điểm A vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:

2=1+2t5=3+9tt=12t=29  (vô lý).

Khi đó A(2; 5) d.

• Thay tọa độ điểm B vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:

3=1+2t12=3+9tt=1t=1t=1.

Khi đó B(3; 12) d.

• Thay tọa độ điểm C vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:

4=1+2t6=3+9tt=52t=13  (vô lý).

Khi đó C(–4; 6) d.

Vậy chỉ có điểm B thuộc đường thẳng d.

1.3. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng: ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0.

Chú ý:

• Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng có vectơ pháp tuyến n=a;b.

• Khi cho phương trình đường thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0.

Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến n=2;1.

b) Đường thẳng ∆ đi qua điểm K(5; –8) và có vectơ chỉ phương u=3;4.

c) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(6; 3), N(9; 1).

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến n=2;1 nên ta có phương trình tổng quát của ∆ là: –2(x – 2) – 1(y – 1) = 0

–2x – y + 5 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của ∆ là –2x – y + 5 = 0.

b) ∆ có vectơ chỉ phương u=3;4 nên ∆ nhận n=4;3 làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm K(5; –8) và có vectơ pháp tuyến n=4;3 nên ta có phương trình tổng quát của ∆ là: 4(x – 5) + 3(y + 8) = 0

4x + 3y + 4 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 4x + 3y + 4 = 0.

c) Với M(6; 3), N(9; 1) ta có: MN=3;2.

∆ có vectơ chỉ phương MN=3;2 nên ∆ nhận n=2;3 làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(6; 3) và có vectơ pháp tuyến n=2;3 nên phương trình tổng quát của ∆ là: 2(x – 6) + 3(y – 3) = 0

2x + 3y – 21 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 2x + 3y – 21 = 0.

Nhận xét:

• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) có dạng:

xxAxBxA=yyAyByA (với xB ≠ xA, yB ≠ yA).

• Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy tại A(a; 0) và B(0; b) (a, b khác 0) thì phương trình ∆ có dạng:

xa+yb=1    (1).

Phương trình (1) còn được gọi là phương trình đoạn chắn.

Ví dụ:

+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm P(2; 5), Q(1; 8).

Suy ra phương trình đường thẳng ∆: x212=y585x21=y53.

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là x21=y53.

+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm X(–4; 0) và Y(0; 5).

Vậy phương trình đoạn chắn của ∆: x4+y5=1.

1.4. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

Ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + y0 (k ≠ 0) là một đường thẳng d đi qua điểm M(0; y0) và có hệ số góc k. Ta có thể viết: y = kx + y0 kx – y + y0 = 0.

Như vậy, đồ thị hàm bậc nhất y = kx + y0 là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến n=k;1 và có phương trình tổng quát là kx – y + y0 = 0. Đường thẳng này không vuông góc với Ox và Oy.

Ngược lại, cho đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 với a và b đều khác 0, khi đó ta có thể viết: ax + by + c = 0 y=abxcb  y = kx + y0.

Như vậy d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y0 với hệ số góc k=ab và tung độ gốc y0=cb.

Ví dụ:

+) Cho đường thẳng d có phương trình: y = 2x + 1 2x – y + 1 = 0.

Ta suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n=2;1.

+) Cho đường thẳng d’ có phương trình: x + 5y – 2 = 0 y=15x+25.

Khi đó ta có d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y0, với hệ số góc k=15 và tung độ gốc y0=25.

Chú ý:

• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành y=cb.

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm 0;cb.

• Nếu b = 0 và a ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành x=ca.

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm ca;0.

Trong cả hai trường hợp trên, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 (a12+b12>0) có vectơ pháp tuyến n1 và đường thẳng ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 (a22+b22>0) có vectơ pháp tuyến n2.

Ta có thể dùng phương pháp tọa độ để xét vị trí tương đối của ∆1 và ∆2 như sau:

– Nếu n1 n2 cùng phương thì ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên ∆1.

+ Nếu P 2 thì ∆1 ≡ ∆2.

+ Nếu P 2 thì ∆1 // ∆2.

– Nếu n1 n2 không cùng phương thì ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm M(x0; y0) với (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình: a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0.

Chú ý:

a) Nếu n1.n2=0 thì n1n2, suy ra ∆1 2.

b) Để xét hai vectơ n1a1;b1 n2a2;b2 cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức a1b2 – a2b1:

+ Nếu a1b2 – a2b1 = 0 thì hai vectơ cùng phương.

+ Nếu a1b2 – a2b1 ≠ 0 thì hai vectơ không cùng phương.

Trong trường hợp tất cả các hệ số a1, a2, b1, b2 đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:

+ Nếu a1a2=b1b2 thì hai vectơ cùng phương.

+ Nếu a1a2b1b2 thì hai vectơ không cùng phương.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) ∆1: 4x – 10y + 1 = 0 và ∆2: x + y + 2 = 0.

b) ∆1: 12x – 6y + 6 = 0 và ∆2: 2x – y + 5 = 0.

c) ∆1: 8x + 10y – 12 = 0 và ∆2x=6+5ty=64t

d) ∆1: x=15ty=2+4t và ∆2x=6+4t'y=2+5t'

Hướng dẫn giải

a) ∆1: 4x – 10y + 1 = 0 và ∆2: x + y + 2 = 0.

1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1=4;10 n2=1;1.

Ta có 41101.

Suy ra n1  n2 là hai vectơ không cùng phương.

Khi đó ta có ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm M. 

Giải hệ phương trình:

4x10y+1=0x+y+2=0x=32y=12

Suy ra M32;12.

Vậy ∆1 cắt ∆2 tại điểm M32;12.

b) ∆1: 12x – 6y + 6 = 0 và ∆2: 2x – y + 5 = 0.

1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1=12;6 n2=2;1.

Ta có 122=61.

Suy ra n1 n2  là hai vectơ cùng phương.

Khi đó ta có ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.

Chọn M(0; 1) 1.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ∆2, ta được: 2.0 – 1 + 5 = 4 ≠ 0.

Suy ra M(0; 1) 2.

Vậy ∆1 // ∆2.

c) ∆1: 8x + 10y – 12 = 0 và ∆2x=6+5ty=64t

1 có vectơ pháp tuyến n1=8;10.

2 có vectơ chỉ phương u2=5;4.

Suy ra ∆2 có vectơ pháp tuyến n2=4;5.

Ta có 84=105.

Suy ra n1 n2 là hai vectơ cùng phương.

Khi đó ta có ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.

Chọn M(–6; 6) 2.

Thế tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ∆1, ta được: 8.(–6) + 10.6 – 12 = 0.

Suy ra M(–6; 6) 1.

Vậy ∆1 ≡ ∆2.

d) ∆1: x=15ty=2+4t và ∆2x=6+4t'y=2+5t'

• ∆1 có vectơ chỉ phương u1=5;4.

Suy ra ∆1 có vectơ pháp tuyến u2=4;5.

• ∆2 có vectơ chỉ phương u2=4;5.

Suy ra ∆2 có vectơ pháp tuyến n2=5;4.

1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1=4;5 n2=5;4.

Ta có n1.n2= 4.5 + 5.(–4) = 0.

Suy ra n1n2.

Do đó ∆1 2.

1 đi qua điểm A(–1; 2) và có vectơ pháp tuyến n1=4;5.

Suy ra phương trình tổng quát của ∆1: 4(x + 1) + 5(y – 2) = 0 4x + 5y – 6 = 0.

Tương tự, ta tìm được phương trình tổng quát của ∆2: 5x – 4y + 38 = 0.

Gọi M(x; y) là giao điểm của ∆1 và ∆2.

Suy ra tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình:

4x+5y6=05x4y+38=0x=16641y=18241

Khi đó ta có tọa độ là M16641;18241.

Vậy ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau tại điểm M16641;18241.

3. Góc giữa hai đường thẳng

3.1. Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc.

• Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng1 và ∆2.

• Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 90°.

Ta quy ước: Nếu ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 0°.

Như vậy góc α giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn: 0° ≤ α ≤ 90°.

Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là Δ1,Δ2^ hoặc (∆1, ∆2).

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có CBD^=30°.

Tính các góc: (BD, BC), (AB, AD), (AD, BC), (AB, BD).

Hướng dẫn giải

Ta có:

+) CBD^=30°. Suy ra (BD, BC) = 30°.

+) Vì AB AD nên (AB, AD) = 90°.

+) Vì AD // BC nên (AD, BC) = 0°.

+) Ta có ABD^+DBC^=90° (Vì AB BC).

ABD^=90°DBC^=90°30°=60°.

ABD^=60° nên (AB, BD) = 60°.

Vậy (BD, BC) = 30°, (AB, AD) = 90°, (AD, BC) = 0°, (AB, BD) = 60°.

3.2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1=a1;b1,n2=a2;b2.

Ta có công thức: cosΔ1,Δ2=a1a2+b1b2a12+b12.a22+b22.

Nhận xét: Nếu ∆1, ∆2 có vectơ chỉ phương u1,u2 thì cosΔ1,Δ2=cosu1,u2.

Chú ý: Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:

• Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 thì ta có:

(∆1, ∆2) = 90° a1a2 + b1b2 = 0.

• Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì ta có:

(∆1, ∆2) = 90° k1k2 = –1.

Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng –1 thì vuông góc với nhau.

Ví dụ: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong các trường hợp sau:

a) d1: x – 2y + 5 = 0 và d2: 3x – y = 0.

b) d1: 4x + 3y – 21 = 0 và d2x=26ty=1+8t

c) d1: x=1ty=1+2t và d2x=24t'y=52t'

Hướng dẫn giải

a) d1: x – 2y + 5 = 0 và d2: 3x – y = 0

d1, d2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1=1;2,n2=3;1.

Ta có cosd1,d2=1.3+2.112+22.32+12=22.

Suy ra (d1, d2) = 45°.

Vậy (d1, d2) = 45°.

b) d1: 4x + 3y – 21 = 0 và d2: x=26ty=1+8t 

d1 có vectơ pháp tuyến n1=4;3.

d2 có vectơ chỉ phương u2=6;8 nên có vectơ pháp tuyến n2=8;6.

Ta có n2=2n1.

Suy ra n2 // n1.

Vậy (d1, d2) = 0°.

c) d1: x=1ty=1+2t và d2x=24t'y=52t'

d1, d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là u1=1;2,u2=4;2.

Ta có u1.u2= (–1).(–4) + 2.(–2) = 0.

Suy ra u1u2n1n2

Vậy (d1, d2) = 90°.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) và điểm M0(x0; y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M0, ∆), được tính bởi công thức: dM0,Δ=ax0+by0+ca2+b2.

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:

a) A(3; 4) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0.

b) B(1; 2) và d: 3x – 4y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Với A(3; 4) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0 ta có:

dA,Δ=4.3+3.4+142+32=5.

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ bằng 5.

b) Với B(1; 2) và d: 3x – 4y + 1 = 0 ta có:

dB,d=3.14.2+132+42=45.

Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d bằng 45.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho ∆ABC có A(–2; 3), B(2; 5), C(5; 1).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và AC.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.

c) Tính khoảng cách từ điểm B lần lượt đến cạnh AC và tính diện tích tam giác ABC.

d) Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a)

• Với A(–2; 3), B(2; 5) ta có AB=4;2.

Do đó đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến nAB=2;4.

Đường thẳng AB đi qua A(–2; 3) và nhận nAB=2;4 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là:

2(x + 2) – 4(y – 3) = 0 x – 2y + 8 = 0.

• Với A(–2; 3), C(5; 1) ta có AC=7;2.

Do đó đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến nAC=2;7.

Đường thẳng AC đi qua A(–2; 3) và nhận nAC=2;7 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là:

2(x + 2) + 7(y – 3) = 0 2x + 7y – 17 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB, AC lần lượt là x – 2y + 8 = 0, 2x + 7y – 17 = 0.

b) Với B(2; 5), C(5; 1) ta có BC=3;4.

Đường thẳng BC đi qua B(2; 5) và nhận BC=3;4 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:

x=2+3ty=54t

Vậy phương trình tham số của đường thẳng BC là x=2+3ty=54t

c) Với B(2; 5) và đường thẳng AC: 2x + 7y – 17 = 0 ta có:

dB,AC=2.2+7.51722+72=225353.

Vậy khoảng cách từ điểm B đến cạnh AC bằng 225353.

Ta có AC=7;2 nên AC=72+22=53.

SABC=12.dB,AC.AC=12.225353.53=11  (đvdt).

Vậy diện tích ∆ABC bằng 11 đvdt.

d) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó tọa độ của điểm I thỏa mãn:

xI=xA+xB2=2+22=0yI=yA+yB2=3+52=4

Suy ra I(0; 4).

Ta có CI=(05;41)=(5;3).

Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC chính là đường thẳng đi qua hai điểm C và I, tức là đường thẳng CI.

Do đó đường thẳng CI đi qua C(5; 1) có một vectơ chỉ phương là CI(5;3).

Phương trình tham số của đương thẳng CI là : x=55ty=1+3t.

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC là: x=55ty=1+3t.

Bài 2. Cho hai đường thẳng ∆1: (m – 3)x + 2y + m2 – 1 = 0 và ∆2: –x + my + (m – 1)2 = 0.

a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của ∆1 và ∆2 trong các trường hợp m = 0, m = 1.

b) Tìm m để hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song với nhau.

Hướng dẫn giải

a)

• Nếu m = 0 thì:

Phương trình ∆1: –3x + 2y – 1 = 0 và phương trình ∆2: –x + 1 = 0.

Đường thẳng ∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1=3;2,n2=1;0.

Ta có a1b2 – a2b1 = (–3).0 -2.(–1) = 2 ≠ 0.

Suy ra n1,n2 là hai vectơ không cùng phương.

Khi đó ta có ∆1, ∆2 cắt nhau tại điểm M.

Vì M là giao điểm của ∆1 và ∆2 nên tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình:

3x+2y1=0x+1=0x=1y=2

Suy ra M(1; 2).

• Nếu m = 1 thì:

Phương trình ∆1: –2x + 2y = 0 và phương trình ∆2: –x + y = 0.

Đường thẳng ∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1=2;2,n2=1;1.

Ta có 21=21.

Suy ra n1,n2 là hai vectơ cùng phương.

Khi đó ta có ∆1, ∆2 song song hoặc trùng nhau.

Chọn điểm O(0; 0) 1.

Thay tọa độ điểm O vào phương trình ∆2 ta được: –0 + 0 = 0 (đúng).

Suy ra O(0; 0) 2.

Do đó ∆1 ≡ ∆2.

Vậy khi m = 0 thì ∆1 cắt ∆2 tại điểm M(1; 2) và khi m = 1 thì ∆1 trùng ∆2.

b) ∆1: (m – 3)x + 2y + m2 – 1 = 0 và ∆2: –x + my + (m – 1)2 = 0.

1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1=m3;2,n2=1;m.

Chọn B0;1m22Δ1.

1 // ∆2 khi và chỉ khi n1,n2 là hai vectơ cùng phương và B 2.

Ta có n1,n2 là hai vectơ cùng phương.

a1b2 – a2b1 = 0.

(m – 3).m – 2.(–1) = 0.

m2 – 3m + 2 = 0.

m = 1 hay m = 2.

Ở câu a), ta đã chứng minh được ∆1 trùng ∆2 khi m = 1.

Do đó ta loại m = 1.

Với m = 2, ta có tọa độ B0;32 và phương trình ∆2: –x + 2y + 1 = 0.

Thay tọa độ B vào phương trình ∆2, ta được: 0+2.32+1=20.

Suy ra với m = 2, B 2.

Vậy m = 2 thì ∆1 // ∆2.

Bài 3. Tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng ∆1: 3xy+7=0 và ∆2: mx + y + 1 = 0 một góc bằng 30°.

Hướng dẫn giải

1: 3xy+7=0 và ∆2: mx + y + 1 = 0

1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1=3;1,n2=m;1.

Ta có cosΔ1,Δ2=m3+1.132+12.m2+12.

Hay cosΔ1,Δ2=m312m2+1

Theo đề, ta có góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng 30°.

Ta suy ra m312m2+1=cos30°=32

3m2+1=m31

3m2 + 3 = 3m223m+ 1

23m = –2

m=33.

Vậy m=33 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4. Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0 và điểm M(1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và tạo với đường thẳng d một góc 45°.

Hướng dẫn giải

Gọi n=a;b là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1; 2) có dạng: a(x – 1) + b(y – 2) = 0.

ax + by – a – 2b = 0.

Đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n'=3;2.

Góc giữa hai đường thẳng ∆ và d là:

cos(∆, d) =3a+2.ba2+b2.32+22=3a2b13.a2+b2

Theo đề, ta có ∆ tạo với d một góc 45°.

Suy ra cos45°=3a2b13.a2+b2.

22=3a2b13.a2+b2

26a2+b2=23a2b

26a2 + 26b2 = 4(9a2 – 12ab + 4b2)

–10a2 + 48ab + 10b2 = 0

a=5ba=15b

• Với a = 5b, ta chọn a = 5.

Ta suy ra b = 1.

Khi đó ta nhận được phương trình đường thẳng ∆: 5x + y – 7 = 0.

• Với a=15b, ta chọn a = 1.

Ta suy ra b = –5.

Khi đó ta nhận được phương trình đường thẳng ∆: x – 5y + 9 = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa yêu cầu bài toán có phương trình lần lượt là 5x + y – 7 = 0 và x – 5y + 9 = 0.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Tọa độ của vectơ

Lý thuyết Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Bài tập cuối chương 9

1 3,007 03/01/2023
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: