Lý thuyết Tích của một số với một vectơ – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ- Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Cho số k ≠ 0 và $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Tích của số k với $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$.

Vectơ $k\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $\left|k\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Ta quy ước $0\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ và $k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tìm các vectơ bằng: $2\overrightarrow{DE};-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA};-2\overrightarrow{EC}$.

Hướng dẫn giải

+ Vectơ bằng $2\overrightarrow{DE}$:

Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // AC và 2DE = AC.

Vì k = 2 > 0 nên vectơ cần tìm cùng hướng với $\overrightarrow{DE}$ và có độ dài bằng 2DE.

Ta có $\overrightarrow{DE}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$ và 2DE = AC.

Do đó $2\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AC}$.

+ Vectơ bằng $-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$:

Ta có F là trung điểm CA.

Do đó FA = CF = $\frac{1}{2}CA$.

Vì k = $-\frac{1}{2}$ < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\overrightarrow{CA}$ và có độ dài bằng $\frac{1}{2}CA$.

Ta có $\overrightarrow{AF},\overrightarrow{FC}$ ngược hướng với $\overrightarrow{CA}$ và AF = FC = $\frac{1}{2}CA$.

Do đó $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$.

+ Vectơ bằng $-2\overrightarrow{EC}$:

Ta có E là trung điểm BC.

Do đó CB = 2EC.

Vì k = –2 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\overrightarrow{EC}$ và có độ dài bằng 2EC.

Ta có $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng với $\overrightarrow{EC}$ và CB = 2EC.

Do đó $\overrightarrow{CB}=-2\overrightarrow{EC}$.

Tính chất:

 Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

+) $k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$;

+) $\left(h+k\right)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$;

+) $h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}$;

+) $1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$;

+) $\left(-1\right).\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$.

Ví dụ: Ta có:

a) $6\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)=6\overrightarrow{x}+6\overrightarrow{y}$;

b) $\left(3+x\right)\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{u}+x\overrightarrow{u}$;

c) $6.\left(-5\overrightarrow{i}\right)=\left[6.\left(-5\right)\right]\overrightarrow{i}=-30\overrightarrow{i}$;

d)  $2\overrightarrow{c}-7\overrightarrow{c}=\left(2-7\right)\overrightarrow{c}=-5\overrightarrow{c}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

$\iff \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$       (quy tắc ba điểm)

$\iff 3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$

$\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ 

⇔ G là trọng tâm của tam giác ABC (đpcm).

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

Chú ý: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Với mỗi $\overrightarrow{c}$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$, $\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$.

a) Biểu diễn $\overrightarrow{MP}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

b) Biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

c) Chứng minh rằng: 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}\Rightarrow \left|\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\right|.\left|\overrightarrow{MC}\right|\Rightarrow MB=3MC$.

Mà $\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$ cùng hướng (do k = 3 > 0)

Do đó ba điểm B, C, M thẳng hàng và C nằm giữa B, M sao cho MB = 3MC.

Ta có $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$ nên P là trung điểm AB.

Do đó AP = $\frac{1}{2}$AB.

Mà $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}$ cùng hướng.

Suy ra $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Ta có: $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}\iff \overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$

$\iff \frac{2}{3}\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{MB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$

Ta có

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$   

Vậy $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ (1)

b) Ta có $\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{NA}=-3\overrightarrow{NC}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{NA}\right|=\left|-3\right|.\left|\overrightarrow{NC}\right|$ hay NA = 3NC.

Khi đó ta có AN = $\frac{3}{4}$AC.

Mà $\overrightarrow{NA},\overrightarrow{NC}$ ngược hướng (do k = ‒3 < 0).

Do đó ba điểm A, N, C thẳng hàng và N nằm giữa hai điểm A và C sao cho $AN=\frac{3}{4}AC.$ 

Suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$ 

Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$ (2)

c) Từ (1), ta suy ra $2\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$.

Từ (2), ta suy ra $4\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$.

Do đó ta có $2\overrightarrow{MP}=4\overrightarrow{MN}$ hay $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}$.

Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải

Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.

Suy ra M là trung điểm của AB và EO; N là trung điểm của DC và OF.

Khi đó các tứ giác OAEB và OCFD là các hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OE}$ (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OAEB)

Và $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}$(quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OCFD).

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}$ 

Vì O là trung điểm của MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = MF.

Do đó OE = OF hay O là trung điểm của EF

Suy ra $\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}.$

Hướng dẫn giải

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M.

Khi đó M là trung điểm của BC và AE.

Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$ (quy tắc hình bình hành)

Mà $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AM}$ (M là trung điểm của AE)

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$

Xét hình bình hành ABCD có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)}{2}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{2}=\frac{2\overrightarrow{AB}}{2}+\frac{\overrightarrow{AD}}{2}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$

Bài 3. Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}.$

Hướng dẫn giải

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)+2\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{MG}\right)+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 4\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ (vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$)

$\iff 4\overrightarrow{MG}=-\overrightarrow{GC}$

$\iff -4\overrightarrow{GM}=-\overrightarrow{GC}$

$\iff \overrightarrow{GM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{GC}$

Do đó vecto $\overrightarrow{GM}$ cùng hướng  với vecto $\overrightarrow{GC}$ và $GM=\frac{1}{4}GC.$

Vậy điểm M nằm giữa G và C sao cho $GM=\frac{1}{4}GC.$

b) Ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}\right)+2\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}\right)$

$=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{MC}$

$=\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{OM}\right)+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)$

$=4\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{0}$ (vì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$)

$=4\overrightarrow{OM}$

Vậy với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}.$

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Lý thuyết Bài tập cuối chương 5

Lý thuyết Bài 1: Số gần đúng và sai số

Lý thuyết Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Lý thuyết Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu