Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp – Toán 10 Chân trời sáng tạo
Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10.
Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Chân trời sáng tạo
A. Lý thuyết
1. Hoán vị
– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).
Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phần tử).
Kí hiệu Pn là số hoán vị của n phần tử.
– Số các hoán vị của n phần tử (n ≥ 1) bằng:
Pn = n(n – 1)(n – 2)….2. 1.
Chú ý:
+ Ta đưa vào kí hiệu n! = n(n – 1)(n – 2)…. 2. 1 và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n.
Khi đó = n!.
+ Quy ước: 0! = 1.
Ví dụ: Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7? Trong những số đó có bao nhiêu số lẻ?
Hướng dẫn giải
• Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được lập từ 6 chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7 là một hoán vị của 6 chữ số này. Do đó, số số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập được là:
= 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720 (số).
Vậy lập được 720 số.
Ta lập số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 6; 7.
• Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ.
Có 4 cách chọn (chọn một trong các chữ số 1; 3; 5; 7).
Bước 2: Chọn năm chữ số còn lại.
Có P5 = 5! cách chọn.
Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên lẻ có sáu chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho là:
4.5! = 480 (số).
2. Chỉnh hợp
– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.
Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.
Kí hiệu là số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
– Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng:
= n(n – 1)(n – 2) ….(n – k + 1) = .
Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Ta có , n ≥ 1.
Ví dụ: Trên bàn có 10 quả cam to nhỏ khác nhau. Chọn 3 quả cam trong 10 quả đó, và đặt mỗi quả vào một giỏ nhựa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 quả cam đó.
Hướng dẫn giải
Mỗi cách chọn 3 quả cam trong 10 quả cam đó và đặt vào 3 giỏ nhựa được gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 10 quả cam. Ta thấy số các chỉnh hợp này bằng:
= 10. 9. 8 = 720.
Vậy có 720 cách chọn 3 quả cam đó.
3. Tổ hợp
– Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).
Mỗi tập con gồm k phần tử (1 ≤ k ≤ n) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Kí hiệu là số tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n).
– Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng:
= .
Chú ý: Người ta quy ước .
Nhận xét: (0 ≤ k ≤ n).
Ví dụ: Lớp 10A có 20 học sinh. Trong tuần sau có 5 bạn được cử đi dự đại hội Đoàn Thanh niên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp từ 20 bạn học sinh là một tổ hợp chập 5 của 20 học sinh. Do đó số cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên là:
= 15 504 (cách).
Vậy có 15 504 cách chọn 5 bạn học sinh trong lớp đi dự đại hội Đoàn Thanh niên.
Ví dụ: Tính:
a)
b)
c)
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay
Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh các số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
Ví dụ:
• Để tính ta ấn liên tiếp các phím:
Ta nhận được kết quả là 3 628 800.
• Để tính ta ấn liên tiếp các phím:
Ta nhận được kết quả là 360.
• Để tính ta ấn liên tiếp các phím:
Ta nhận được kết quả là 70.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Có 6 chiếc ghế ở trong một phòng học. Hỏi có 6 học sinh ngồi vào thì có bao nhiêu cách xếp? Nếu có một bạn An (có trong 6 học sinh trên) muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái thì có bao nhiêu cách xếp?
Hướng dẫn giải
• Mỗi cách xếp 6 học sinh vào 6 chiếc ghế là một hoán vị của 6 học sinh. Do đó, số cách sắp xếp 6 học sinh vào 6 chiếc ghế trống là:
= 6! = 720 cách.
Vậy có 720 cách xếp 6 học sinh vào 6 ghế trống.
• Bạn An muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái nên chỉ còn 5 ghế trống và 5 học sinh.
Do đó, số cách xếp 5 học sinh vào 5 chiếc ghế trống là:
= 5! = 120 cách.
Vậy bạn An muốn ngồi vào chiếc ghế bên trái cùng thì có 120 cách xếp.
Bài 2. Trong một đại hội Đoàn gồm có 10 ứng viên. Người ta cần bầu ra một chủ tịch, một phó chủ tịch, một ủy viên và một thư kí. Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể về kết quả bầu này?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách chọn 4 người trong số 10 ứng viên để vào 4 vị trí (chủ tịch, phó chủ tịch, ủy viên và thư kí) là một chỉnh hợp chập 4 của 10 ứng viên. Do đó có số khả năng có thể về kết quả bầu này là:
= = 5 040.
Vậy có 5 040 khả năng có thể về kết quả bầu.
Bài 3. Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên trong tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số chia hết cho 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 số tự nhiên đó.
Hướng dẫn giải
Các số tự nhiên có 2 chữ số chia hết cho 10 là: 10; 20; 30; …; 90.
Do đó có 9 số tự nhiên có 2 chữ số chia hết cho 10.
Mỗi cách chọn 3 số trong 9 số tự nhiên ở trên là một tổ hợp chập 3 của 9 số tự nhiên. Do đó, số cách chọn 3 số trong 9 số này là:
= = 84 cách.
Vậy có 84 cách chọn 3 số tự nhiên trong tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số chia hết cho 10.
Bài 4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính biểu thức sau:
Hướng dẫn giải
Ta ấn lần lượt các phím sau:
5 ; Shift ; ; + ; 8 ; Shift ; × ; 3; × ; 7 ; Shift ; ÷ ; 4; =.
Ta được kết quả là: 11880.
Bài 5. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 viên bi trong mỗi trường hợp sau:
a) 4 viên bi có màu bất kì.
b) 4 viên bi được chọn có đúng hai viên bi màu trắng.
Hướng dẫn giải
a) Có tất cả: 6 + 8 + 10 = 24 viên bi trong hộp.
Chọn ra 4 viên bi trong tổng số 24 viên bi là tổ hợp chập 4 của 24.
Do đó số cách chọn ra 4 viên bi có màu bất kì trong hộp là: (cách).
Vậy có 10 626 cách chọn ra 4 viên bi có màu bất kì.
b) Chọn ra 4 viên bi trong đó có đúng hai viên bi màu trắng ta chia làm hai công đoạn:
Công đoạn 1: chọn ra 2 viên bi màu trắng trong 10 viên bi màu trắng là tổ hợp chập 2 của 10. Do đó có (cách).
Công đoạn 1: chọn ra 2 viên bi trong 14 viên bi còn lại là tổ hợp chập 2 của 14. Do đó có (cách).
Theo quy tắc nhân ta có: 45.91= 4 095 cách chọn ra 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi màu trắng.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 3: Nhị thức Newton
Lý thuyết Bài tập cuối chương 8
Lý thuyết Bài 1: Tọa độ của vectơ
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (ngắn nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 10 Friends Global đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Địa Lí 10 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Kinh tế và pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết KTPL 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục thể chất 10 – Chân trời sáng tạo