Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai – Toán 10 Chân trời sáng tạo
Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10.
Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai - Chân trời sáng tạo
A. Lý thuyết
Để giải phương trình ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:
ax2 + bx + c = dx2 + ex + f
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.
Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Hướng dẫn giải
(1)
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có:
x2 + 3x – 2 = x + 1
x2 + 2x – 3 = 0
x = 1 hoặc x = –3.
• Với x = 1 thay vào phương trình (1) ta được:
(đúng)
Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (1).
• Với x = –3 ta thấy x + 1 = –3 +1 = –2 < 0 nên không tồn tại
Do đó x = –3 không là nghiệm của phương trình (1).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1.
2. Phương trình dạng
Để giải phương trình ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:
ax2 + bx + c = (dx +e)2
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.
Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Hướng dẫn giải
(2)
Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:
4 + 2x – x2 = (x – 2)2
4 + 2x – x2 = x2 – 4x + 4
2x2 – 6x = 0
2x(x – 3) = 0
x = 0 hoặc x = 3
• Với x = 0 thay vào phương trình (2) ta được:
2 = –2 (vô lí)
Do đó x = 0 không là nghiệm của phương trình (2).
• Với x = 3 thay vào phương trình (2) ta được:
1 = 1 (đúng)
Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (2).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Hướng dẫn giải
a) (1)
Bình phương hai vế phương trình (1) ta có:
x2 – 5x + 4 = –2x2 – 3x + 12
3x2 – 2x – 8 = 0
x = 2 hoặc x =
• Với x = 2 ta có x2 – 5x + 4 = 22 – 5.2 + 4 = –2.
Khi đó không tồn tại
Do đó x = 2 không là nghiệm của phương trình (1).
• Với x = thay vào phương trình (1) ta được:
(đúng)
Do đó x = là nghiệm của phương trình (1).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .
b)
(2)
Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:
x2 – 4x + 4 = (6 – x)(2x – 1)
x2 – 4x + 4 = 12x – 6 – 2x2 + x
3x2 – 17x + 10 = 0
• Với x = 5 thay vào phương trình (2) ta có:
3 = 3 (đúng)
Do đó x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho.
• Với x = thay vào phương trình (2) ta có:4/3-
= (đúng)
Do đó x = là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =
c) (3)
Bình phương hai vế phương trình (3) ta có:
x2 – 2x + 4 = 2 – x
x2 – x + 2 = 0
(vô lí vì với mọi x).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
Hướng dẫn giải
a) (1)
Bình phương hai vế phương trình (1) ta có:
x2 – 3x + 2 = (x – 1)2
x2 – 3x + 2 = x2 – 2x + 1
–x = –1
x = 1
Thay x = 1 vào phương trình (1) ta có:
0 = 0 (đúng)
Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (1).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.
b) (2)
Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:
4x2 + 2x + 10 = (3x + 1)2
4x2 + 2x + 10 = 9x2 + 6x + 1
–5x2 – 4x + 9 = 0
• Với x = 1 thay vào phương trình (2) ta có:
4 = 4 (đúng)
Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (2).
• Với x = thay vào phương trình (2) ta có:
(vô lí)
Do đó x = không là nghiệm của phương trình (2).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.
c)
(3)
Bình phương hai vế phương trình (3) ta có:
(x – 1)(2x – 1) = (2x + 1)2
2x2 – x – 2x + 1 = 4x2 + 4x + 1
–2x2 – 7x = 0
• Với x = 0 thay vào phương trình (3) ta có:
1 = 1 (đúng)
Do đó x = 0 là nghiệm của phương trình (3).
• Với x = thay vào phương trình (3) ta có:
6 = –6 (vô lí)
Do đó x = không là nghiệm của phương trình (3).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0.
d)
(4)
Bình phương hai vế phương trình (4) ta có:
3x2 – 9x + 1 = (x – 2)2
3x2 – 9x + 1 = x2 – 4x + 4
2x2 – 5x – 3 = 0
• Với x = 3 thay vào phương trình (4) ta có:
1 = 1 (đúng)
Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (4).
• Với x = thay vào phương trình (4) ta có:
(vô lí)
Do đó x = không là nghiệm của phương trình (4).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.
Bài 3. Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AC ngắn hơn cạnh BC là 9 cm. Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC biết chu vi của tam giác bằng 70 cm.
Hướng dẫn giải
Gọi AC = x (cm) (x > 0).
Cạnh AC ngắn hơn cạnh BC là 9 cm nên BC = x + 9 (cm).
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:
BC2 = AB2 + AC2
AB2 = BC2 – AC2
AB2 = (x + 9)2 – x2
AB2 = x2 + 18x + 81 – x2 = 18x + 81
(cm)
Ta có chu vi của tam giác ABC là:
AB + BC + CA
= + x + 9 + x
= + 2x + 9 (cm)
Mà theo bài chu vi tam giác ABC bằng 70 cm.
Do đó ta có: + 2x + 9 = 70
= 61 – 2x (*)
Bình phương hai vế của phương trình trên ta có:
18x + 81 = (61 – 2x)2
18x + 81 = 3721 – 244x + 4x2
4x2 – 262x + 3640 = 0
• Với x = 20 thay vào phương trình (*) ta có:
= 61 – 2.20
21 = 21 (đúng)
Do đó x = 20 là nghiệm của phương trình (*).
• Với x = 45,5 thay vào phương trình (*) ta có:
= 61 – 2.45,5
30 = –30 (vô lí)
Do đó x = 45,5 không là nghiệm của phương trình (*).
Khi đó AC = 20 (cm), BC = 29 (cm) và AB = (cm).
Vậy AC = 20 cm, AB = 21 cm và BC = 29 cm.
Bài 4. Một đài quan sát O cách ba vị trí A, B, C như hình vẽ dưới đây.
Tính khoảng cách từ đài quan sát O tới B biết khoảng cách từ vị trí A đến vị trí C gấp đôi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B và khoảng cách từ O đến B ngắn hơn khoảng cách từ O đến A.
Hướng dẫn giải
Vì OB là khoảng cách nên x > 0.
Vì khoảng cách từ O đến B ngắn hơn khoảng cách từ O đến A nên x < 2.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAC ta có:
AC2 = OA2 + OC2 – 2.OA.OC.cos
AC2 = 22 + (x + 1)2 – 2.2.(x + 1).cos120°
AC2 = 4 + x2 + 2x + 1 + 2.(x +1) = x2 + 4x + 7.
AC = (km).
Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta có:
AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos
AB2 = 22 + x2 – 2.2.x.cos(180° – 120°)
AB2 = 4 + x2 – 2x = x2 – 2x + 4.
(km).
Vì khoảng cách từ vị trí A đến vị trí C gấp đôi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B nên AC = 2AB.
Do đó
Bình phương hai vế phương trình trên ta có:
x2 + 4x + 7 = 4.(x2 – 2x + 4)
x2 + 4x + 7 = 4x2 – 8x + 16
3x2 – 12x + 9 = 0
Vậy khoảng cách từ đài quan sát O tới vị trí B là 1 km.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài tập cuối chương 7
Lý thuyết Bài 1: Tọa độ của vectơ
Lý thuyết Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (ngắn nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 10 Friends Global đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Địa Lí 10 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Kinh tế và pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết KTPL 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục thể chất 10 – Chân trời sáng tạo