Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10.

1 2066 lượt xem
Tải về


Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ- Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a b đều khác 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA=a, OB=b.

Góc AOB^ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ a b.

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a b a,  b.

Nếu a,  b=90° thì ta nói rằng a b vuông góc với nhau, kí hiệu ab.

Chú ý:

+ Từ định nghĩa, ta có a,  b=b,  a.

+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180°.

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a hoặc b 0 thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và BAD^=60°. Tính số đo các góc:

a) OD,  CD.

b) OB,  AO.

c) OC,  AC.

d) OA,  AC.

Hướng dẫn giải

a) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm BD (tính chất hình thoi).

Suy ra OD = BO.

OD,  BO cùng hướng.

Do đó OD=BO  (1).

Vì ABCD là hình thoi nên ta có CD // BA và CD = BA.

CD,  BA cùng hướng.

Do đó CD=BA  (2).

Từ (1) (2), ta suy ra OD,  CD=BO,  BA=OBA^.

Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

BAD^=60°.

Suy ra tam giác ABD đều.

Do đó DBA^=60° hay OBA^=60°.

Vậy OD,  CD=OBA^=60°.

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm AC (tính chất hình thoi).

Do đó AO = OC.

AO,  OC cùng hướng.

Do đó AO=OC.

Ta suy ra OB,  AO=OB,  OC=BOC^.

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó BOC^=90°.

Vậy OB,  AO=BOC^=90°.

c) Vì OC,  AC cùng hướng nên OC,  AC=0°.

d) Vì OA,  AC ngược hướng nên OA,  AC=180°.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a b đều khác 0.

Tích vô hướng của a b là một số, kí hiệu là a.b, được xác định bởi công thức:a.b=a.b.cosa,  b.

Chú ý:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a b bằng 0, ta quy ước a.b=0.

b) Với hai vectơ a b, ta có aba.b=0.

c) Khi a=b thì tích vô hướng a.b được kí hiệu là a2 và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a.

Ta có a2=a.a.cos0°=a2. Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng: AB.AC,  AC.BC,  BA.BC.

Hướng dẫn giải

- Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB AC.

Do đó ABAC.

Vậy AB.AC=0.

- Vẽ BD=AC. Khi đó ta có AC,  BC=BD,  BC=CBD^.

BD=AC nên ta có ABDC là hình bình hành.

BAC^=90° và AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A).

Do đó ABDC là hình vuông.

Ta suy ra đường chéo BC là phân giác của ABD^.

Do đó CBD^=ABD^2=90°2=45°.

Khi đó ta có AC,  BC=CBD^=45°.

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go)

BC2 = a2 + a2 = 2a2

BC = a2.

Ta có: AC.BC=AC..BC.cosAC,  BC=AC.BC.cos45°=a.a2.22=a2.

- Tam giác ABC cân tại A. Ta suy ra ACB^=ABC^.

Tam giác ABC vuông tại A: ACB^+ABC^=90° .

2ABC^=90°.

Do đó ABC^=45°.

Suy ra BA,  BC=ABC^=45°.

Ta có BA.BC=BA.BC.cosBA,  BC=BA.BC.cos45°=a.a2.22=a2.

Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của F d biểu diễn công A sinh bởi lực F khi thực hiện độ dịch chuyển d. Ta có công thức: A=F.d.

Ví dụ: Một người dùng một lực F có độ lớn là 150 N kéo một thùng gỗ trượt trên sàn nhà bằng một sợi dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang. Tính công sinh bởi lực F khi thùng gỗ trượt được 40 m.

Hướng dẫn giải

Gọi A, d lần lượt là công sinh bởi lực F và độ dịch chuyển của thùng gỗ.

Theo đề, ta có lực F hợp với phương ngang (hướng dịch chuyển) một góc 45°.

Suy ra F,  d=45°.

Ta có A = F.d=F.d.cosF,  d=150.40.cos45°=30002 (J).

Vậy công sinh bởi lực F 30002 (J).

3. Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ a,  b,  c bất kì và mọi số k, ta có:

a.b=b.a;                       a.b+c=a.b+a.c;                         ka.b=ka.b=a.kb.

Ví dụ: Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng:

ab2=a22a.b+b2.

Hướng dẫn giải

Ta có: ab2=abab=a.aa.ba.b+b.b=a22a.b+b2.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:

a+b2=a2+2a.b+b2;

a+bab=a2b2.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = BC, b = AC, c = AB. Tính cạnh BC theo hai cạnh còn lại và góc A bằng cách sử dụng tính chất của vectơ và tích vô hướng của hai vectơ.

Hướng dẫn giải

Ta có BC2BC2=ACAB2=AC2+AB22.AC.AB

                 =AC2+AB22.AC.AB.cosAC,  AB

                 = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA

Vậy BC2 = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA hay a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a và trọng tâm G. Tính:

a)  AB.AC.

b) AG.AB.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC đều nên ta có AB = AC = BC = a và .

Ta có AB.AC=AB.AC.cosAB,  AC=AB.AC.cosBAC^=a.a.cos60°=a22.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác đều ABC.

Nên AG là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Do đó AG cũng là đường phân giác và cũng là đường cao của tam giác ABC.

Ta suy ra GAB^=BAC^2=60°2=30°.

Gọi I là giao điểm của AG và BC.

Ta suy ra I là trung điểm BC.

Do đó BI = BC2=a2.

Tam giác ABI vuông tại I: AI2 = AB2 – BI2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go)

AI2=a2a22=3a24

AI=a32.

Tam giác ABC đều có G là trọng tâm.

Ta suy ra AG = 23AI=a33.

Ta có: AG.AB=AG.AB.cosAG,  AB=AG.AB.cosGAB^=a33.a.cos30°=a22 .

Bài 2. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

MA.BC+MB.CA+MC.AB=0.

Hướng dẫn giải

Ta có MA.BC=MAMCMB=MA.MCMA.MB   (1)

MB.CA=MBMAMC=MB.MAMB.MC   (2)

MC.AB=MCMBMA=MC.MBMC.MA   (3)

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: MA.BC+MB.CA+MC.AB=0.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 3. Cho hai vectơ a b thỏa mãn a=b=1 và hai vectơ u=25a3b v=a+b vuông góc với nhau. Xác định góc giữa hai vectơ a b.

Hướng dẫn giải

Theo đề ta có: uvu.v=0.

25a3ba+b=0

25a2+25a.b3a.b3b2=0

25a2135a.b3b2=0

25.12135a.b.cosa,  b3.12=0

135135.1.1.cosa,  b=0

cosa,  b=1.

a,  b=180°

Vậy góc giữa hai vectơ a b bằng 180°.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài tập cuối chương 5

Lý thuyết Bài 1: Số gần đúng và sai số

Lý thuyết Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Lý thuyết Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Lý thuyết Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

1 2066 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: