Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai – Toán 10 Chân trời sáng tạo
Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10.
Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai - Chân trời sáng tạo
A. Lý thuyết
1. Tam thức bậc hai
1.1. Khái niệm tam thức bậc hai và dấu của tam thức bậc hai tại một điểm
– Đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Khi thay x bằng giá trị x0 vào f(x), ta được gọi là giá trị của tam thức bậc hai tại x0.
• Nếu f(x0) > 0 thì ta nói f(x) dương tại x0.
• Nếu f(x0) < 0 thì ta nói f(x) âm tại x0.
• Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.
Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 3.
a) f(x) = x2 + 2x4 – 2;
b) f(x) = –x2 + 2x – 3;
c) f(x) = 3x2 – x.
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức f(x) = x2 + 2x4 – 2 không phải là tam thức bậc hai vì có chứa x4.
b) Biểu thức f(x) = –x2 + 2x – 3 là tam thức bậc hai với a = –1, b = 2 và c = –3.
Khi x = 3 ta có:
f(3) = –32 + 2.3 – 3 = = –9 + 6 – 3 = –6 < 0.
Do đó f(x) âm tại x = 3.
c) Biểu thức f(x) = 3x2 – x là tam thức bậc hai với a = 3, b = và c = 0.
Khi x = 3 ta có:
f(3) = 3.32 – .3 = 27 – 3 > 0
Do đó f(x) dương tại x = 3.
1.2. Biệt thức (biệt thức thu gọn) và nghiệm của tam thức bậc hai
– Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Khi đó:
• Nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c là nghiệm của f(x).
• Biểu thức ∆ = b2 – 4ac và lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).
Ví dụ: Tìm biệt thức (hoặc biệt thức thu gọn) và nghiệm (nếu có) của các tam thức bậc hai sau:
a) f(x) = x2 + 2x – 5;
b) f(x) = = –3x2 + 18x – 27;
c) f(x) = x + x2 + 1.
Hướng dẫn giải
a) f(x) = x2 + 2x – 5 có ∆' = 12 – 1.(–5) = 6 > 0.
Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:
và
Vậy tam thức bậc hai đã cho có hai nghiệm là và
b) f(x) = –3x2 + 18x – 27
f(x) có ∆' = 92 – (‒3).(–27) = 0
Do đó f(x) có nghiệm kép là
Vậy tam thức bậc hai đã cho có nghiệm là x = 3.
c) f(x) = x + x2 + 1 = x2 + x + 1.
f(x) có ∆ = 12 – 4.1.1 = –3 < 0.
Do đó f(x) vô nghiệm.
Vậy tam thức bậc hai đã cho vô nghiệm.
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0).
+ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.
+ Nếu ∆ = 0 và là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x khác x0.
+ Nếu ∆ > 0 và x1, x2 là hai nghiệm của f(x) (x1 < x2) thì:
• f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x1; x2);
• f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; x1), (x2; +∞).
Chú ý:
+ Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức ∆;
Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có);
Bước 3: Xác định dấu của hệ số a;
Bước 4: Xác định dấu của f(x).
+ Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn ∆' thay cho biệt thức ∆.
Ví dụ: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) f(x) = 3x2 + 6x – 9;
b) f(x) = –2x2 + 8x + 10;
c) f(x) = 4x2 + 8x + 4;
d) f(x) = –3x2 + 2x – 1.
Hướng dẫn giải
a) f(x) = 3x2 + 6x – 9
f(x) có a = 3 > 0 và ∆' = 32 – 3.(–9) = 36 > 0.
Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:
và
Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:
x |
–∞ |
|
–3 |
|
1 |
|
+∞ |
f(x) |
|
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
|
Vậy, f(x) dương trong khoảng (–∞; –3) và (1; +∞);
f(x) âm trong khoảng (–3; 1).
b) f(x) = –2x2 + 8x + 10
f(x) có a = –2 < 0 và ∆' = 42 – (–2).10 = 36 > 0.
Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:
và
Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:
x |
–∞ |
|
–1 |
|
5 |
|
+∞ |
f(x) |
|
– |
0 |
+ |
0 |
– |
|
Vậy, f(x) âm trong khoảng (–∞; –1) và (5; +∞);
f(x) dương trong khoảng (–1; 5).
c) f(x) = 4x2 + 8x + 4
f(x) có a = 4 > 0 và ∆' = 42 – 4.4 = 0.
Khi đó f(x) có nghiệm kép là
Vậy, f(x) dương với mọi x ≠ –1.
d) f(x) = –3x2 + 2x – 1.
f(x) có a = –3 < 0 và ∆' = 12 – (–3).(–1) = –2 < 0.
Vậy f(x) âm với mọi x ∈ ℝ.
Bài 1. Cho các đa thức sau, những đa thức nào là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai hãy xét dấu của tam thức bậc hai đó.
a)
b) f(x) = x3 – x2 + 1;
c) f(x) = –2x2 – 2x – 5;
d)
e) f(x) = –x2 + 4x – 3.
Hướng dẫn giải
a)
f(x) là tam thức bậc hai có a = b = c = 1
Ta có ∆ =
∆ = 2 + 2 + 1 – 4
∆ = 2 – 2 + 1 = > 0.
Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:
và
Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:
x |
–∞ |
|
|
|
1 |
|
+∞ |
f(x) |
|
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
|
Vậy, f(x) dương trong khoảng và (1; +∞);
f(x) âm trong khoảng
b) f(x) = x3 – x2 + 1
f(x) không phải là tam thức bậc hai vì có chứa x3.
c) f(x) = –2x2 – 2x – 5
f(x) là tam thức bậc hai có a = –2 < 0, b = –2, c = –5.
Ta có ∆' = (–1)2 – (–2).(–5) = –9 < 0.
Vậy f(x) luôn âm với mọi x ∈ ℝ.
d)
f(x) không phải là tam thức bậc hai vì có chứa x4 và x3.
e) f(x) = –x2 + 4x – 3
f(x) là tam thức bậc hai có a = –1 < 0, b = 4, c = –3.
Ta có: ∆' = 22 – (–1).(–3) = 1 > 0
Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:
và
Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:
x |
–∞ |
|
1 |
|
3 |
|
+∞ |
f(x) |
|
– |
0 |
+ |
0 |
– |
|
Vậy, f(x) âm trong khoảng (–∞; 1) và (3; +∞); f(x) dương trong khoảng (1; 3).
Bài 2. Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.
a) f(x) = x2 – x + 2
b) f(x) = –3x2 – 2x + 1
c) f(x) = x2 + 4x – 5
d)
Hướng dẫn giải
a) f(x) = x2 – x + 2
Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số f(x) nằm hoàn toàn ở trên (không cắt) trục hoành.
Do đó f(x) vô nghiệm và f(x) > 0 với mọi x.
Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:
x |
–∞ |
|
+∞ |
f(x) |
|
+ |
|
b) f(x) = –3x2 – 2x + 1
Quan sát hình vẽ ta thấy:
• Với x trong khoảng (–∞; –1) và ta thấy đồ thị nằm bên dưới trục hoành
f(x) < 0 trong khoảng (–∞; –1) và
• Với x trong khoảng ta thấy đồ thị nằm bên trên trục hoành
f(x) > 0 trong khoảng
Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:
x |
–∞ |
|
1 |
|
|
|
+∞ |
f(x) |
|
– |
0 |
+ |
0 |
– |
|
c) f(x) = x2 + 4x – 5
Quan sát hình vẽ ta thấy:
• Với x trong khoảng (–∞; –5) và (1; +∞) ta thấy đồ thị nằm bên trên trục hoành
f(x) > 0 trong khoảng (–∞; –5) và (1; +∞).
• Với x trong khoảng (–5; 1) ta thấy đồ thị nằm bên dưới trục hoành
f(x) < 0 trong khoảng (–5; 1).
Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:
x |
–∞ |
|
–5 |
|
1 |
|
+∞ |
f(x) |
|
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
|
d)
Quan sát hình vẽ ta thấy:
• Với x trong khoảng và ta thấy đồ thị nằm bên dưới trục hoành
f(x) < 0 trong khoảng và
Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:
x |
–∞ |
|
|
|
+∞ |
f(x) |
|
– |
0 |
– |
|
Bài 3. Tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm được cho bởi biểu thức x2 + 202x + 12 500 (nghìn đồng); giá bán của một sản phẩm là 500 nghìn đồng. Số sản phẩm sản xuất phải trong khoảng nào thì bị lỗ, trong khoảng nào thì có lãi?
Hướng dẫn giải
Vì giá bán một sản phẩm là 500 nghìn đồng nên với x sản phẩm thì có doanh thu là 500x (nghìn đồng).
Do tổng chi phí để sản xuất ra x sản phầm là x2 + 202x + 12 500 (nghìn đồng) nên lợi nhuận thu về từ x sản phẩm là:
500x – (x2 + 202x + 12 500)
= – x2 + 298x – 12 500.
Đặt f(x) = –x2 + 298x – 12 500.
Ta có: ∆' = 1492 – (–1)(–12 500) = 9 701 > 0.
Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:
và .
Mặt khác a = –1 < 0 nên ta có bảng xét dấu sau:
x |
– ∞ |
50,5 |
|
247,5 |
+ ∞ |
f(x) |
– |
0 |
+ |
0 |
– |
Từ bảng xét dấu ta thấy f(x) > 0 khi x trong khoảng (50,5; 247,5);
f(x) < 0 khi x trong khoảng (–∞; 50,5) và (247,5; +∞).
Mặt khác, vì x là số sản phẩm nên x nguyên dương.
Do đó:
• Bị lỗ khi số sản phẩm sản xuất từ 0 đến 50 sản phẩm hoặc không nhỏ hơn 248 sản phẩm.
• Để có lãi thì số sản phẩm sản xuất phải từ 51 đến 247 sản phẩm.
Bài 4. Tìm giá trị của m để:
a) f(x) = –2x2 + (m – 2)x – m + 4 không dương với mọi x ∈ ℝ;
b) f(x) = x2 – (m + 2)x + 8m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ;
c) f(x) = mx2 – mx + m + 3 < 0 với mọi x.
Hướng dẫn giải
a) f(x) = –2x2 + (m – 2)x – m + 4 là tam thức bậc hai có a = –2 < 0
Do đó f(x) không dương với mọi x ∈ ℝ tức là f(x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ
Û ∆ ≤ 0
Mà ∆ = (m – 2)2 – 4.(–2).(–m + 4)
= m2 – 4m + 4 – 8m + 32
= m2 – 12m + 36
= (m – 6)2 ≥ 0, ∀m.
Khi đó ∆ ≤ 0 (m – 6)2 ≤ 0
m – 6 = 0 m = 6.
Vậy với m = 6 thì f(x) không dương với mọi x ∈ ℝ.
b) f(x) = x2 – (m + 2)x + 8m + 1 > 0 là tam thức bậc hai có a = 1 > 0.
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ ℝ ∆ < 0
Mà ∆ = [–(m + 2)]2 – 4.(8m + 1)
= m2 + 4m + 4 – 32m – 4
= m2 – 28m
Khi đó ∆ < 0 m2 – 28m < 0
m(m – 28) < 0
0 < m < 28
Vậy với 0 < m < 28 thì f(x) > 0, ∀x ∈ ℝ.
c) f(x) = mx2 – mx + m + 3 có a = m.
• Với m = 0 ta có f(x) = 3 > 0 nên không thoả mãn f(x) < 0.
với m = 0 không thoả mãn.
• Với m ≠ 0, f(x) là tam thức bậc hai
Có ∆ = (– m)2 – 4.m.(m + 3)
= m2 – 4m2 – 12m
= – 3m2 – 12
Khi đó f(x) < 0 với mọi x
(*)
Vì m < 0 nên –3m > 0
Do đó (*) m + 4 < 0 m < –4.
Kết hợp điều kiện m ≠ 0 ta có: m < –4.
Vậy với m ∈ (–∞; –4) thì f(x) < 0 với mọi x.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
Lý thuyết Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Lý thuyết Bài tập cuối chương 7
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (ngắn nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 10 Friends Global đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Địa Lí 10 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Kinh tế và pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết KTPL 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục thể chất 10 – Chân trời sáng tạo