Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ – Toán 10 Chân trời sáng tạo
Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10.
Lý thuyết Toán 10 Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ - Chân trời sáng tạo
A. Lý thuyết
1. Phương trình đường tròn
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R.
Phương trình (x – a)2 + (y – b)2 = R2 được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.
Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.
b) (C) có đường kính AB với A(1; 6), B(–3; 2).
c) (C) đi qua ba điểm A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2).
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.
Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)2 +(y + 3)2 = 4.
b) Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).
Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và đường kính AB nên I là trung điểm AB.
Với A(1; 6), B(–3; 2).
Suy ra
Khi đó ta có tọa độ I(–1; 4).
Ta có .
Suy ra .
Đường tròn (C) có tâm I(–1; 4), bán kính .
Vậy phương trình đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 8.
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Ta có M là trung điểm AB với A(–2; 4), B(5; 5).
Suy ra
Khi đó ta có .
Tương tự, ta có N(2; 1).
Với A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2) ta có .
Đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB đi qua điểm , có vectơ pháp tuyến .
Suy ra phương trình d1: .
Tương tự, ta có phương trình đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC:
8(x – 2) – 6(y – 1) = 0 ⇔ 4x – 3y – 5 = 0.
Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và (C) đi qua ba điểm A, B, C nên IA = IB = IC (= R).
Vì IA = IB nên I nằm trên đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB.
Tương tự, ta có I nằm trên đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC.
Vì vậy ta suy ra I là giao điểm của d1 và d2.
Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
Suy ra I(2; 1).
Với I(2; 1) và A(–2; 4) ta có .
Suy ra .
Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25.
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) (x – 4)2 + (y – 10)2 = 9.
b) (x + 2)2 + (y – 5)2 = 64.
c) x2 + (y – 1)2 = 36.
Hướng dẫn giải
a) (x – 4)2 + (y – 10)2 = 9
Đường tròn (C) có tâm I(4; 10), bán kính .
b) (x + 2)2 + (y – 5)2 = 64
Đường tròn (C) có tâm I(–2; 5), bán kính .
c) x2 + (y – 1)2 = 36.
Đường tròn (C) có tâm I(0; 1), bán kính .
Nhận xét: Ta có (x – a)2 + (y – b)2 = R2
⇔ x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – R2) = 0.
Vậy phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, trong đó c = a2 + b2 – R2.
Ngược lại, phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính .
Ví dụ: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Nếu là phương trình đường tròn, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0.
b) 2x2 + 2y2 + 4x + 8y + 14 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = 3, c = –15.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 9 + 15 = 25 > 0.
Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(–1; 3), bán kính R = 5.
b) Ta có 2x2 + 2y2 + 4x + 8y + 14 = 0 ⇔ x2 + y2 + 2x + 4y + 7 = 0.
Phương trình trên có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = –2, c = 7.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 7 = –2 < 0.
Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b) tại điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn là:
(a – x0)(x – x0) + (b – y0)(y – y0) = 0.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 5 tại điểm M(3; –1).
Hướng dẫn giải
Ta có (3 – 2)2 + (–1 + 3)2 = 5.
Suy ra M ∈ (C).
Đường tròn (C) có tâm I(2; –3).
Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) tại điểm M(3; –1) là:
(2 – 3)(x – 3) + [–3 – (–1)].[y – (–1)] = 0.
⇔ –1.(x – 3) + (–2).(y + 1) = 0.
⇔ –x – 2y + 1 = 0.
Vậy phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) cần tìm là –x – 2y + 1 = 0.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) đi qua ba điểm A(–1; 3), B(1; 4), C(3; 2).
b) (C) có tâm I(–1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – 2y + 7 = 0.
c) (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 và đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).
Hướng dẫn giải
a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Ta có M là trung điểm AB với A(–1; 3), B(1; 4).
Suy ra
Khi đó ta có .
Tương tự, ta có .
Với A(–1; 3), B(1; 4), C(3; 2) ta có .
Đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB đi qua điểm , có vectơ pháp tuyến .
Suy ra phương trình d1: .
Tương tự, ta có phương trình đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC:
.
Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và (C) đi qua ba điểm A, B, C nên IA = IB = IC (= R).
Vì IA = IB nên I nằm trên đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB.
Tương tự, ta có I nằm trên đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC.
Vì vậy I là giao điểm của d1 và d2.
Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
Suy ra .
Với và A(–1; 3) ta có .
Suy ra .
Vậy phương trình đường tròn (C): .
b) (C) có tâm I(–1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – 2y + 7 = 0.
Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên ta có:
R = d(I, ∆) = .
Vậy phương trình đường tròn (C): .
c) (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 và đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).
Phương trình đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 ⇔ y = 2x – 5.
Giả sử I(a; b).
Vì I ∈ d nên ta có I(a; 2a – 5).
Với A(1; 2), B(4; 1) và I(a; 2a – 5) ta có:
.
Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).
Ta suy ra AI = BI (= R).
⇔ AI2 = BI2.
⇔ (a – 1)2 + (2a – 7)2 = (a – 4)2 + (2a – 6)2
⇔ a2 – 2a + 1 + 4a2 – 28a + 49 = a2 – 8a + 16 + 4a2 – 24a + 36
⇔ 2a = 2.
⇔ a = 1.
Với a = 1, ta có b = 2a – 5 = 2.1 – 5 = –3.
Suy ra I(1; –3), bán kính R = AI = = 5.
Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25.
Bài 2. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Nếu là phương trình đường tròn, hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) x2 + y2 + 2x – 4y + 9 = 0.
b) x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0.
c) 2x2 + 2y2 – 6x – 4y – 1 = 0.
d) 2x2 + y2 + 2x – 3y + 9 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = 2, c = 9.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 9 = –4 < 0.
Vì vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
b) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 3, b = –2, c = 13.
Ta có a2 + b2 – c = 9 + 4 – 13 = 0.
Vì vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có 2x2 + 2y2 – 6x – 4y – 1 = 0.
.
Phương trình trên có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với , b = 1, .
Ta có > 0.
Vì vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn.
Đường tròn có tâm , bán kính .
d) Phương trình đã cho không có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.
Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C): x2 + y2 – 2x = 0 tại điểm M(1; 1).
b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 4 = 0, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆: x + 2y + 5 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = c = 0.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 0 – 0 = 1 > 0.
Vì vậy phương trình (C) đã cho là phương trình đường tròn.
Đường tròn (C) có tâm I(1; 0).
Ta có 12 + 12 – 2.1 = 0.
Suy ra M ∈ (C).
Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) tại điểm M(3; –1) là:
(1 – 3)(x – 3) + (0 + 1).(y + 1) = 0.
⇔ –2.(x – 3) + y – 1 = 0.
⇔ –2x + y + 5 = 0.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là –2x + y + 5 = 0.
b) Phương trình (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = –2, c = 4.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 4 = 1 > 0.
Vì vậy phương trình (C) đã cho là phương trình đường tròn.
Đường tròn (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 1.
Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.
Gọi kd là hệ số góc của d.
Phương trình ∆: x + 2y + 5 = 0 .
Suy ra ∆ có hệ số góc .
Ta có d ⊥ ∆.
Suy ra kd.k∆ = –1.
.
⇔ kd = 2.
Khi đó phương trình d có dạng: y = 2x + m hay 2x – y + m = 0.
Ta có d là tiếp tuyến của đường tròn (C).
Ta suy ra d(I, d) = R.
.
hoặc
hoặc .
Vậy có 2 tiếp tuyến d thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là và .
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ
Lý thuyết Bài tập cuối chương 9
Lý thuyết Bài 1: Không gian mẫu và biến cố
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (ngắn nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 10 Friends Global đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Địa Lí 10 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Kinh tế và pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết KTPL 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục thể chất 10 – Chân trời sáng tạo