Lý thuyết tổng hợp cuối chương 9 – Toán 10 Chân trời sáng tạo
Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 9 chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10.
Lý thuyết Toán 10 Bài tập cuối chương 9 - Chân trời sáng tạo
A. Lý thuyết
1. Tọa độ của vectơ đối với một hệ trục tọa độ
1.1. Trục tọa độ
Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O (gọi là điểm gốc) và một vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục.
Ta kí hiệu trục đó là .
1.2. Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ gồm hai trục và vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ và là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy. Hệ trục tọa độ còn được kí hiệu là Oxy.
Chú ý: Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy, hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.
1.3. Tọa độ của một vectơ
Trong mặt phẳng Oxy, cặp số (x; y) trong biểu diễn được gọi là tọa độ của vectơ , kí hiệu , x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vectơ .
Ví dụ:
+) Cho .
Ta có cặp số (3; 2) là tọa độ của vectơ .
Ta kí hiệu là .
Trong đó 3 là hoành độ của vectơ và 2 là tung độ của vectơ 
.
+) Cho .
Ta có cặp số (0; –5) là tọa độ của vectơ .
Ta kí hiệu là .
Trong đó 0 là hoành độ của vectơ và –5 là tung độ của vectơ .
Chú ý:
• .
• Nếu cho và thì .
Ví dụ:
+) Ta có .
+) Ta có và . Khi đó .
Nghĩa là, .
1.4. Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ, cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ được gọi là tọa độ của điểm M.
Nhận xét:
• Nếu thì cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M, kí hiệu M(x; y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm M.
• M(x; y) .
Ví dụ:
+) Nếu thì cặp số (–3; 8) là tọa độ của điểm M.
Ta kí hiệu là M(–3; 8).
Trong đó –3 là hoành độ của điểm M và 8 là tung độ của điểm M.
+) Cho điểm M(4; 9) .
Chú ý: Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là xM, tung độ của điểm M còn được kí hiệu là yM. Khi đó ta viết M(xM; yM).
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm M, N, P được biểu diễn như hình bên.
a) Hãy biểu diễn các vectơ qua hai vectơ và .
b) Tìm tọa độ của các vectơ và các điểm M, N, P.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
+) .
+) .
+) .
Vậy , , .
b) Từ kết quả ở câu a), ta có:
+)
và M(3; 3).
+)
và N(–3; 2).
+)
và P(0; –2).
Vậy và M(3; 3), N(–3; 2), P(0; –2).
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ và số thực k. Khi đó:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
Ví dụ: Cho hai vectơ .
a) Tìm tọa độ của các vectơ
b) Tính các tích vô hướng , .
Hướng dẫn giải
a) Với ta có:
+) ;
+) ;
+) ;
+) .
Ta suy ra .
Vậy , , , .
b) Với ta có:
+) ;
+) Từ kết quả câu a), ta có và .
Ta suy ra và .
Khi đó ta có .
Vậy và .
3. Áp dụng của tọa độ vectơ
3.1. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB). Ta có: .
Ví dụ: Cho ba điểm A(2; 5), B(–1; 1), C(5; –7). Tìm tọa độ của các vectơ .
Hướng dẫn giải
Với A(2; 5), B(–1; 1), C(5; –7) ta có:
• .
• .
• .
Vậy .
3.2. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Tọa độ trung điểm M(xM; yM) của đoạn thẳng AB là:
.
Cho ∆ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Tọa độ trọng tâm G(xG; yG) của tam giác ABC là:
.
Ví dụ: Cho ∆DEF có tọa độ các đỉnh là D(3; 1), E(5; 8), F(9; 4).
a) Tìm tọa độ trung điểm H của cạnh EF.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆DEF.
Hướng dẫn giải
a) Với E(5; 8), F(9; 4):
Vì H là trung điểm của cạnh EF.
Ta suy ra
Vậy H(7; 6).
b) Với D(3; 1), E(5; 8), F(9; 4):
Vì G là trọng tâm của ∆DEF.
Ta suy ra
Vậy .
3.3. Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ và hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB). Ta có:
• ;
• và cùng phương ⇔ a1b2 – a2b1 = 0;
• ;
• ;
• ( khác ).
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆MNP có M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8).
a) Tìm tọa độ H là chân đường cao của ∆MNP kẻ từ N.
b) Giải tam giác MNP.
Hướng dẫn giải
a) Với M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8).
Gọi H(x; y).
Ta có:
+) .
+) .
+)
Vì H(x; y) là chân đường cao của ∆MNP kẻ từ N nên ta có NH ⊥ MP.
Ta suy ra .
Do đó .
⇔ (x + 3).5 + (y + 2).( –9) = 0.
⇔ 5x – 9y – 3 = 0 (1).
Ta thấy hai vectơ cùng phương
⇔ (x – 2).( –9) – (y – 1).5 = 0.
⇔ –9x – 5y + 23 = 0 (2).
Từ (1), (2), ta có hệ phương trình:
Vậy .
b) Với M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8) ta có:
+) và
.
+) . .
+) .
.
+) .
Suy ra .
+) .
Suy ra .
+) Ta có (định lí tổng ba góc của một tam giác).
.
Vậy
4. Phương trình đường thẳng
4.1. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu và giá của song song hoặc trùng với ∆.
Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu và vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.
Chú ý:
• Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến thì ∆ sẽ nhận hoặc là một vectơ chỉ phương.
• Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.
• Nếu là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.
Ví dụ:
a) Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương . Tìm một vectơ pháp tuyến của d.
b) Cho đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến . Tìm ba vectơ chỉ phương của d’.
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .
Suy ra d cũng có vectơ chỉ phương và có vectơ pháp tuyến .
Vậy d có vectơ pháp tuyến .
b)
• d’ có vectơ pháp tuyến .
Suy ra d’ có vectơ chỉ phương ; .
• d’ có vectơ chỉ phương .
Suy ra d’ cũng có vectơ chỉ phương .
Vậy ba vectơ chỉ phương của d’ là ; ; .
4.2. Phương trình tham số của đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi:
(với )
là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0), có vectơ chỉ phương .
Chú ý: Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆ và ngược lại.
Ví dụ:
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và nhận làm vectơ chỉ phương.
b) Trong các điểm A(2; 5), B(3; 12), C(–4; 6) thì điểm nào thuộc đường thẳng d?
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3) và có vectơ chỉ phương .
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d:
b)
• Thay tọa độ điểm A vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:
(vô lý).
Khi đó A(2; 5) ∉ d.
• Thay tọa độ điểm B vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:
.
Khi đó B(3; 12) ∈ d.
• Thay tọa độ điểm C vào phương trình tham số của đường thẳng d, ta được:
(vô lý).
Khi đó C(–4; 6) ∉ d.
Vậy chỉ có điểm B thuộc đường thẳng d.
4.3. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng: ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0.
Chú ý:
• Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
• Khi cho phương trình đường thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0.
Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến .
b) Đường thẳng ∆ đi qua điểm K(5; –8) và có vectơ chỉ phương .
c) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(6; 3), N(9; 1).
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H(2; 1) và có vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình tổng quát của ∆ là: –2(x – 2) – 1(y – 1) = 0
⇔ –2x – y + 5 = 0.
Vậy phương trình tổng quát của ∆ là –2x – y + 5 = 0.
b) ∆ có vectơ chỉ phương nên ∆ nhận làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm K(5; –8) và có vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình tổng quát của ∆ là: 4(x – 5) + 3(y + 8) = 0
⇔ 4x + 3y + 4 = 0.
Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 4x + 3y + 4 = 0.
c) Với M(6; 3), N(9; 1) ta có: .
∆ có vectơ chỉ phương nên ∆ nhận làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(6; 3) và có vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của ∆ là: 2(x – 6) + 3(y – 3) = 0
⇔ 2x + 3y – 21 = 0.
Vậy phương trình tổng quát của ∆ là 2x + 3y – 21 = 0.
Nhận xét:
• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) có dạng:
(với xB ≠ xA, yB ≠ yA).
• Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy tại A(a; 0) và B(0; b) (a, b khác 0) thì phương trình ∆ có dạng:
(1).
Phương trình (1) còn được gọi là phương trình đoạn chắn.
Ví dụ:
+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm P(2; 5), Q(1; 8).
Suy ra phương trình đường thẳng ∆: .
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .
+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm X(–4; 0) và Y(0; 5).
Vậy phương trình đoạn chắn của ∆: .
4.4. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng
Ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + y0 (k ≠ 0) là một đường thẳng d đi qua điểm M(0; y0) và có hệ số góc k. Ta có thể viết: y = kx + y0 ⇔ kx – y + y0 = 0.
Như vậy, đồ thị hàm bậc nhất y = kx + y0 là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát là kx – y + y0 = 0. Đường thẳng này không vuông góc với Ox và Oy.
Ngược lại, cho đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 với a và b đều khác 0, khi đó ta có thể viết: ax + by + c = 0 ⇔ y = kx + y0.
Như vậy d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y0 với hệ số góc và tung độ gốc .
Ví dụ:
+) Cho đường thẳng d có phương trình: y = 2x + 1 ⇔ 2x – y + 1 = 0.
Ta suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là .
+) Cho đường thẳng d’ có phương trình: x + 5y – 2 = 0 .
Khi đó ta có d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y0, với hệ số góc và tung độ gốc .
Chú ý:
• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành .
Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm .
• Nếu b = 0 và a ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành .
Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm .
Trong cả hai trường hợp trên, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 () có vectơ pháp tuyến và đường thẳng ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 () có vectơ pháp tuyến .
Ta có thể dùng phương pháp tọa độ để xét vị trí tương đối của ∆1 và ∆2 như sau:
– Nếu và cùng phương thì ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên ∆1.
+ Nếu P ∈ ∆2 thì ∆1 ≡ ∆2.
+ Nếu P ∉ ∆2 thì ∆1 // ∆2.
– Nếu và không cùng phương thì ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm M(x0; y0) với (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình: .
Chú ý:
a) Nếu thì , suy ra ∆1 ⊥ ∆2.
b) Để xét hai vectơ và cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức a1b2 – a2b1:
+ Nếu a1b2 – a2b1 = 0 thì hai vectơ cùng phương.
+ Nếu a1b2 – a2b1 ≠ 0 thì hai vectơ không cùng phương.
Trong trường hợp tất cả các hệ số a1, a2, b1, b2 đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:
+ Nếu thì hai vectơ cùng phương.
+ Nếu thì hai vectơ không cùng phương.
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: 4x – 10y + 1 = 0 và ∆2: x + y + 2 = 0.
b) ∆1: 12x – 6y + 6 = 0 và ∆2: 2x – y + 5 = 0.
c) ∆1: 8x + 10y – 12 = 0 và ∆2:
d) ∆1: và ∆2:
Hướng dẫn giải
a) ∆1: 4x – 10y + 1 = 0 và ∆2: x + y + 2 = 0.
∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là và .
Ta có .
Suy ra và là hai vectơ không cùng phương.
Khi đó ta có ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm M.
Giải hệ phương trình:
Suy ra .
Vậy ∆1 cắt ∆2 tại điểm .
b) ∆1: 12x – 6y + 6 = 0 và ∆2: 2x – y + 5 = 0.
∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là và .
Ta có .
Suy ra và là hai vectơ cùng phương.
Khi đó ta có ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.
Chọn M(0; 1) ∈ ∆1.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ∆2, ta được: 2.0 – 1 + 5 = 4 ≠ 0.
Suy ra M(0; 1) ∉ ∆2.
Vậy ∆1 // ∆2.
c) ∆1: 8x + 10y – 12 = 0 và ∆2:
∆1 có vectơ pháp tuyến .
∆2 có vectơ chỉ phương .
Suy ra ∆2 có vectơ pháp tuyến .
Ta có .
Suy ra và là hai vectơ cùng phương.
Khi đó ta có ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.
Chọn M(–6; 6) ∈ ∆2.
Thế tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ∆1, ta được: 8.(–6) + 10.6 – 12 = 0.
Suy ra M(–6; 6) ∈ ∆1.
Vậy ∆1 ≡ ∆2.
d) ∆1: và ∆2:
• ∆1 có vectơ chỉ phương .
Suy ra ∆1 có vectơ pháp tuyến .
• ∆2 có vectơ chỉ phương .
Suy ra ∆2 có vectơ pháp tuyến .
∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là và .
Ta có 4.5 + 5.(–4) = 0.
Suy ra .
Do đó ∆1 ⊥ ∆2.
∆1 đi qua điểm A(–1; 2) và có vectơ pháp tuyến .
Suy ra phương trình tổng quát của ∆1: 4(x + 1) + 5(y – 2) = 0 ⇔ 4x + 5y – 6 = 0.
Tương tự, ta tìm được phương trình tổng quát của ∆2: 5x – 4y + 38 = 0.
Gọi M(x; y) là giao điểm của ∆1 và ∆2.
Suy ra tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình:
Khi đó ta có tọa độ là .
Vậy ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau tại điểm .
6. Góc giữa hai đường thẳng
6.1. Khái niệm góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc.
• Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
• Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 90°.
Ta quy ước: Nếu ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 0°.
Như vậy góc α giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn: 0° ≤ α ≤ 90°.
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là hoặc (∆1, ∆2).
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có .
Tính các góc: (BD, BC), (AB, AD), (AD, BC), (AB, BD).
Hướng dẫn giải
Ta có:
+) . Suy ra (BD, BC) = 30°.
+) Vì AB ⊥ AD nên (AB, AD) = 90°.
+) Vì AD // BC nên (AD, BC) = 0°.
+) Ta có (Vì AB ⊥ BC).
.
Vì nên (AB, BD) = 60°.
Vậy (BD, BC) = 30°, (AB, AD) = 90°, (AD, BC) = 0°, (AB, BD) = 60°.
6.2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Ta có công thức: .
Nhận xét: Nếu ∆1, ∆2 có vectơ chỉ phương thì .
Chú ý: Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:
• Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 thì ta có:
(∆1, ∆2) = 90° ⇔ a1a2 + b1b2 = 0.
• Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì ta có:
(∆1, ∆2) = 90° ⇔ k1k2 = –1.
Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng –1 thì vuông góc với nhau.
Ví dụ: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong các trường hợp sau:
a) d1: x – 2y + 5 = 0 và d2: 3x – y = 0.
b) d1: 4x + 3y – 21 = 0 và d2:
c) d1: và d2:
Hướng dẫn giải
a) d1: x – 2y + 5 = 0 và d2: 3x – y = 0
d1, d2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Ta có .
Suy ra (d1, d2) = 45°.
Vậy (d1, d2) = 45°.
b) d1: 4x + 3y – 21 = 0 và d2:
d1 có vectơ pháp tuyến .
d2 có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến .
Ta có .
Suy ra // .
Vậy (d1, d2) = 0°.
c) d1: và d2:
d1, d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là .
Ta có (–1).(–4) + 2.(–2) = 0.
Suy ra
Vậy (d1, d2) = 90°.
7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) và điểm M0(x0; y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M0, ∆), được tính bởi công thức: .
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:
a) A(3; 4) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0.
b) B(1; 2) và d: 3x – 4y + 1 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Với A(3; 4) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0 ta có:
.
Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ bằng 5.
b) Với B(1; 2) và d: 3x – 4y + 1 = 0 ta có:
.
Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d bằng .
8. Phương trình đường tròn
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R.
Phương trình (x – a)2 + (y – b)2 = R2 được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.
Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.
b) (C) có đường kính AB với A(1; 6), B(–3; 2).
c) (C) đi qua ba điểm A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2).
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.
Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)2 +(y + 3)2 = 4.
b) Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).
Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và đường kính AB nên I là trung điểm AB.
Với A(1; 6), B(–3; 2).
Suy ra
Khi đó ta có tọa độ I(–1; 4).
Ta có .
Suy ra .
Đường tròn (C) có tâm I(–1; 4), bán kính .
Vậy phương trình đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 8.
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Ta có M là trung điểm AB với A(–2; 4), B(5; 5).
Suy ra
Khi đó ta có .
Tương tự, ta có N(2; 1).
Với A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2) ta có .
Đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB đi qua điểm , có vectơ pháp tuyến .
Suy ra phương trình d1: .
Tương tự, ta có phương trình đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC:
8(x – 2) – 6(y – 1) = 0 ⇔ 4x – 3y – 5 = 0.
Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và (C) đi qua ba điểm A, B, C nên IA = IB = IC (= R).
Vì IA = IB nên I nằm trên đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB.
Tương tự, ta có I nằm trên đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC.
Vì vậy ta suy ra I là giao điểm của d1 và d2.
Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
Suy ra I(2; 1).
Với I(2; 1) và A(–2; 4) ta có .
Suy ra .
Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25.
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) (x – 4)2 + (y – 10)2 = 9.
b) (x + 2)2 + (y – 5)2 = 64.
c) x2 + (y – 1)2 = 36.
Hướng dẫn giải
a) (x – 4)2 + (y – 10)2 = 9
Đường tròn (C) có tâm I(4; 10), bán kính .
b) (x + 2)2 + (y – 5)2 = 64
Đường tròn (C) có tâm I(–2; 5), bán kính .
c) x2 + (y – 1)2 = 36.
Đường tròn (C) có tâm I(0; 1), bán kính .
Nhận xét: Ta có (x – a)2 + (y – b)2 = R2
⇔ x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – R2) = 0.
Vậy phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, trong đó c = a2 + b2 – R2.
Ngược lại, phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính .
Ví dụ: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Nếu là phương trình đường tròn, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0.
b) 2x2 + 2y2 + 4x + 8y + 14 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = 3, c = –15.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 9 + 15 = 25 > 0.
Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(–1; 3), bán kính R = 5.
b) Ta có 2x2 + 2y2 + 4x + 8y + 14 = 0 ⇔ x2 + y2 + 2x + 4y + 7 = 0.
Phương trình trên có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = –2, c = 7.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 7 = –2 < 0.
Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
9. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b) tại điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn là:
(a – x0)(x – x0) + (b – y0)(y – y0) = 0.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 5 tại điểm M(3; –1).
Hướng dẫn giải
Ta có (3 – 2)2 + (–1 + 3)2 = 5.
Suy ra M ∈ (C).
Đường tròn (C) có tâm I(2; –3).
Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) tại điểm M(3; –1) là:
(2 – 3)(x – 3) + [–3 – (–1)].[y – (–1)] = 0.
⇔ –1.(x – 3) + (–2).(y + 1) = 0.
⇔ –x – 2y + 1 = 0.
Vậy phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) cần tìm là –x – 2y + 1 = 0.
10. Elip
10.1. Nhận biết elip
Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M + F2M = 2a.
Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip.
Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip (a > c).
10.2. Phương trình chính tắc của elip
Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2 và đặt F1F2 = 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(–c; 0) và F2(c; 0).
Người ta chứng minh được:
(1),
trong đó .
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.
Chú ý:
• (E) cắt Ox tại hai điểm A1(–a; 0), A2(a; 0) và cắt Oy tại hai điểm B1(0; –b), B2(0; b).
• Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip.
• Đoạn thẳng A1A2 = 2a gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 = 2b gọi là trục nhỏ của elip.
• Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.
• Nếu M(x; y) ∈ (E) thì |x| ≤ a, |y| b.
Ví dụ: Cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10, tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là .
a) Tính độ dài trục nhỏ của elip.
b) Viết phương trình chính tắc của elip.
Hướng dẫn giải
a) Ta có độ dài trục lớn bằng 10. Ta suy ra 2a = 10.
Suy ra a = 5.
Theo đề, ta có tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là .
Suy ra .
.
Ta có .
Suy ra 2b = 2.3 = 6.
Vậy độ dài trục nhỏ của elip (E) bằng 6.
b) Ta có a = 5 và b = 3.
Phương trình chính tắc của elip (E) là: .
11. Hypebol
11.1. Nhận biết hypebol
Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a nhỏ hơn F1F2. Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F1M – F2M| = 2a.
Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của hypebol.
Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của hypebol (c > a).
11.2. Phương trình chính tắc của hypebol
Cho hypebol (H) có các tiêu điểm F1 và F2 và đặt F1F2 = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi và chỉ khi |F1M – F2M| = 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(–c; 0) và F2(c; 0).
Người ta chứng minh được:
(2),
trong đó .
Phương trình (2) gọi là phương trình chính tắc của hypebol.
Chú ý:
• (H) cắt Ox tại hai điểm A1(–a; 0) và A2(a; 0). Nếu ta vẽ hai điểm B1(0; –b) và B2(0; b) vào hình chữ nhật OA2PB2 thì .
• Các điểm A1, A2 gọi là các đỉnh của hypebol.
• Đoạn thẳng A1A2 = 2a gọi là trục thực, đoạn thẳng B1B2 = 2b gọi là trục ảo của hypebol.
• Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol.
• Nếu M(x; y) ∈ (H) thì x ≤ –a hoặc x ≥ a.
Ví dụ: Cho hypebol (H) có một tiêu điểm F2(8; 0) và (H) đi qua điểm A(5; 0). Viết phương trình chính tắc của hypebol (H).
Hướng dẫn giải
Phương trình chính tắc của (H) có dạng , trong đó a, b > 0.
Vì A(5; 0) ∈ (H) nên ta có . Suy ra a = 5.
Do (H) có một tiêu điểm F2(8; 0) nên ta có c = 8.
Suy ra .
Vậy phương trình chính tắc của (H) là .
12. Parabol
12.1. Nhận biết parabol
Cho một điểm F và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và ∆.
F gọi là tiêu điểm và ∆ gọi là đường chuẩn của parabol (P).
12.2. Phương trình chính tắc của parabol
Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn ∆. Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên p > 0.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho và ∆: .
Người ta chứng minh được:
M(x; y) ∈ (P) ⇔ y2 = 2px (3).
Phương trình (3) gọi là phương trình chính tắc của parabol.
Chú ý:
• O gọi là đỉnh của parabol (P).
• Ox gọi là trục đối xứng của parabol (P).
• p gọi là tham số tiêu của parabol (P).
• Nếu M(x; y) ∈ (P) thì x ≥ 0 và M’(x; –y) ∈ (P).
Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết (P) có đường chuẩn ∆: x + 4 = 0.
Hướng dẫn giải
(P) có đường chuẩn ∆: x + 4 = 0.
Ta suy ra .
Khi đó p = 2.4 = 8.
Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 16x.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho , , .
a) Tìm tọa độ các vectơ .
b) Tìm tọa độ của , với .
c) Tìm tọa độ của , với .
d) Tìm các số thực h, k sao cho .
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
+) ;
+) ;
+) .
Vậy .
b) Ta có:
+) .
+) .
Ta suy ra .
Khi đó ta có .
Vậy .
c) Ta có .
Khi đó ta có .
Theo đề, ta có: .
.
Vậy .
d) Ta có:
+) ;
+) .
Suy ra .
Ta có .
Vậy thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC biết A(–3; 2), B(4; 3) và điểm C nằm trên trục Ox.
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC và điểm C, biết G nằm trên trục Oy.
b) Giải ∆ABC.
c) Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC.
Hướng dẫn giải
a) Vì C nằm trên trục Ox nên ta có tọa độ C(xC; 0).
Vì G nằm trên trục Oy nên ta có tọa độ G(0; yG).
Ta có G là trọng tâm của ∆ABC.
Ta suy ra
Vậy .
b) Với A(–3; 2), B(4; 3), C(–1; 0) ta có:
+) .
.
+) .
.
+) .
.
+) .
Suy ra .
+)
Do đó cosB .
Suy ra .
+) Ta có (định lí tổng ba góc của một tam giác).
.
Vậy
.
c)
Gọi H(x; y).
Þ và .
Ta có H(x; y) là trực tâm của ∆ABC.
Suy ra
Khi đó ta có
Vậy .
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba vectơ . Tìm m để cùng phương với .
Hướng dẫn giải
Ta có .
Ta suy ra .
Ta có cùng phương với ⇔ (m – 3).5 – (2m + 1).6 = 0.
⇔ –7m – 21 = 0
⇔ m = –3.
Vậy m = –3 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 4. Cho ∆ABC có A(–2; 3), B(2; 5), C(5; 1).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và AC.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
c) Tính khoảng cách từ điểm B lần lượt đến cạnh AC và tính diện tích tam giác ABC.
d) Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
a)
• Với A(–2; 3), B(2; 5) ta có .
Do đó đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến .
Đường thẳng AB đi qua A(–2; 3) và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là:
2(x + 2) – 4(y – 3) = 0 ⇔ x – 2y + 8 = 0.
• Với A(–2; 3), C(5; 1) ta có .
Do đó đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến .
Đường thẳng AC đi qua A(–2; 3) và nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là:
2(x + 2) + 7(y – 3) = 0 ⇔ 2x + 7y – 17 = 0.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB, AC lần lượt là x – 2y + 8 = 0, 2x + 7y – 17 = 0.
b) Với B(2; 5), C(5; 1) ta có .
Đường thẳng BC đi qua B(2; 5) và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:
Vậy phương trình tham số của đường thẳng BC là
c) Với B(2; 5) và đường thẳng AC: 2x + 7y – 17 = 0 ta có:
.
Vậy khoảng cách từ điểm B đến cạnh AC bằng .
Ta có nên .
(đvdt).
Vậy diện tích ∆ABC bằng 11 đvdt.
d) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó tọa độ của điểm I thỏa mãn:
Suy ra I(0; 4).
Ta có .
Đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC chính là đường thẳng đi qua hai điểm C và I, tức là đường thẳng CI.
Do đó đường thẳng CI đi qua C(5; 1) có một vectơ chỉ phương là .
Phương trình tham số của đương thẳng CI là : .
Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC là: .
Bài 5. Cho hai đường thẳng ∆1: (m – 3)x + 2y + m2 – 1 = 0 và ∆2: –x + my + (m – 1)2 = 0.
a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của ∆1 và ∆2 trong các trường hợp m = 0, m = 1.
b) Tìm m để hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song với nhau.
Hướng dẫn giải
a)
• Nếu m = 0 thì:
Phương trình ∆1: –3x + 2y – 1 = 0 và phương trình ∆2: –x + 1 = 0.
Đường thẳng ∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Ta có a1b2 – a2b1 = (–3).0 – 2.(–1) = 2 ≠ 0.
Suy ra là hai vectơ không cùng phương.
Khi đó ta có ∆1, ∆2 cắt nhau tại điểm M.
Vì M là giao điểm của ∆1 và ∆2 nên tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình:
Suy ra M(1; 2).
• Nếu m = 1 thì:
Phương trình ∆1: –2x + 2y = 0 và phương trình ∆2: –x + y = 0.
Đường thẳng ∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Ta có .
Suy ra là hai vectơ cùng phương.
Khi đó ta có ∆1, ∆2 song song hoặc trùng nhau.
Chọn điểm O(0; 0) ∈ ∆1.
Thay tọa độ điểm O vào phương trình ∆2 ta được: –0 + 0 = 0 (đúng).
Suy ra O(0; 0) ∈ ∆2.
Do đó ∆1 ≡ ∆2.
Vậy khi m = 0 thì ∆1 cắt ∆2 tại điểm M(1; 2) và khi m = 1 thì ∆1 trùng ∆2.
b) ∆1: (m – 3)x + 2y + m2 – 1 = 0 và ∆2: –x + my + (m – 1)2 = 0.
∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Chọn .
∆1 // ∆2 khi và chỉ khi là hai vectơ cùng phương và B ∉ ∆2.
Ta có là hai vectơ cùng phương.
⇔ a1b2 – a2b1 = 0.
⇔ (m – 3).m – 2.(–1) = 0.
⇔ m2 – 3m + 2 = 0.
⇔ m = 1 hay m = 2.
Ở câu a), ta đã chứng minh được ∆1 trùng ∆2 khi m = 1.
Do đó ta loại m = 1.
Với m = 2, ta có tọa độ và phương trình ∆2: –x + 2y + 1 = 0.
Thay tọa độ B vào phương trình ∆2, ta được: .
Suy ra với m = 2, B ∉ ∆2.
Vậy m = 2 thì ∆1 // ∆2.
Bài 6. Tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng ∆1: và ∆2: mx + y + 1 = 0 một góc bằng 30°.
Hướng dẫn giải
∆1: và ∆2: mx + y + 1 = 0
∆1, ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là .
Ta có .
Hay
Theo đề, ta có góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng 30°.
Ta suy ra
⇔ 3m2 + 3 = 3m2 – + 1
⇔ = –2
.
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 7. Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0 và điểm M(1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và tạo với đường thẳng d một góc 45°.
Hướng dẫn giải
Gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1; 2) có dạng: a(x – 1) + b(y – 2) = 0.
⇔ ax + by – a – 2b = 0.
Đường thẳng d: 3x – 2y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến .
Góc giữa hai đường thẳng ∆ và d là:
cos(∆, d) =
Theo đề, ta có ∆ tạo với d một góc 45°.
Suy ra .
⇔ 26a2 + 26b2 = 4(9a2 – 12ab + 4b2)
⇔ –10a2 + 48ab + 10b2 = 0
• Với a = 5b, ta chọn a = 5.
Ta suy ra b = 1.
Khi đó ta nhận được phương trình đường thẳng ∆: 5x + y – 7 = 0.
• Với , ta chọn a = 1.
Ta suy ra b = –5.
Khi đó ta nhận được phương trình đường thẳng ∆: x – 5y + 9 = 0.
Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa yêu cầu bài toán có phương trình lần lượt là 5x + y – 7 = 0 và x – 5y + 9 = 0.
Bài 8. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) đi qua ba điểm A(–1; 3), B(1; 4), C(3; 2).
b) (C) có tâm I(–1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – 2y + 7 = 0.
c) (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 và đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).
Hướng dẫn giải
a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Ta có M là trung điểm AB với A(–1; 3), B(1; 4).
Suy ra
Khi đó ta có .
Tương tự, ta có .
Với A(–1; 3), B(1; 4), C(3; 2) ta có .
Đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB đi qua điểm , có vectơ pháp tuyến .
Suy ra phương trình d1: .
Tương tự, ta có phương trình đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC:
.
Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và (C) đi qua ba điểm A, B, C nên IA = IB = IC (= R).
Vì IA = IB nên I nằm trên đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB.
Tương tự, ta có I nằm trên đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC.
Vì vậy I là giao điểm của d1 và d2.
Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
Suy ra .
Với và A(–1; 3) ta có .
Suy ra .
Vậy phương trình đường tròn (C): .
b) (C) có tâm I(–1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – 2y + 7 = 0.
Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên ta có:
R = d(I, ∆) = .
Vậy phương trình đường tròn (C): .
c) (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 và đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).
Phương trình đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 ⇔ y = 2x – 5.
Giả sử I(a; b).
Vì I ∈ d nên ta có I(a; 2a – 5).
Với A(1; 2), B(4; 1) và I(a; 2a – 5) ta có:
.
Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).
Ta suy ra AI = BI (= R).
⇔ AI2 = BI2.
⇔ (a – 1)2 + (2a – 7)2 = (a – 4)2 + (2a – 6)2
⇔ a2 – 2a + 1 + 4a2 – 28a + 49 = a2 – 8a + 16 + 4a2 – 24a + 36
⇔ 2a = 2.
⇔ a = 1.
Với a = 1, ta có b = 2a – 5 = 2.1 – 5 = –3.
Suy ra I(1; –3), bán kính R = AI = = 5.
Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25.
Bài 9. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Nếu là phương trình đường tròn, hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) x2 + y2 + 2x – 4y + 9 = 0.
b) x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0.
c) 2x2 + 2y2 – 6x – 4y – 1 = 0.
d) 2x2 + y2 + 2x – 3y + 9 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = 2, c = 9.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 9 = –4 < 0.
Vì vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
b) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 3, b = –2, c = 13.
Ta có a2 + b2 – c = 9 + 4 – 13 = 0.
Vì vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có 2x2 + 2y2 – 6x – 4y – 1 = 0.
.
Phương trình trên có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với , b = 1, .
Ta có > 0.
Vì vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn.
Đường tròn có tâm , bán kính .
d) Phương trình đã cho không có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.
Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
Bài 10. Lập phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C): x2 + y2 – 2x = 0 tại điểm M(1; 1).
b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 4 = 0, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆: x + 2y + 5 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = c = 0.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 0 – 0 = 1 > 0.
Vì vậy phương trình (C) đã cho là phương trình đường tròn.
Đường tròn (C) có tâm I(1; 0).
Ta có 12 + 12 – 2.1 = 0.
Suy ra M ∈ (C).
Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) tại điểm M(3; –1) là:
(1 – 3)(x – 3) + (0 + 1).(y + 1) = 0.
⇔ –2.(x – 3) + y – 1 = 0.
⇔ –2x + y + 5 = 0.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là –2x + y + 5 = 0.
b) Phương trình (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = –2, c = 4.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 4 = 1 > 0.
Vì vậy phương trình (C) đã cho là phương trình đường tròn.
Đường tròn (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 1.
Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.
Gọi kd là hệ số góc của d.
Phương trình ∆: x + 2y + 5 = 0 .
Suy ra ∆ có hệ số góc .
Ta có d ⊥ ∆.
Suy ra kd.k∆ = –1.
.
⇔ kd = 2.
Khi đó phương trình d có dạng: y = 2x + m hay 2x – y + m = 0.
Ta có d là tiếp tuyến của đường tròn (C).
Ta suy ra d(I, d) = R.
.
hoặc
hoặc .
Vậy có 2 tiếp tuyến d thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là và .
Bài 11. Tìm tiêu điểm của các đường conic sau:
a) Elip (E): .
b) Hypebol (H): .
c) Parabol (P): y2 = 2x.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình (E) có dạng: , với a = 10, b = 8.
Suy ra .
Vậy elip (E) có các tiêu điểm F1(–6; 0) và F2(6; 0).
b) Phương trình (H) có dạng: , với a = 2, b = 3.
Suy ra .
Vậy hypebol (H) có các tiêu điểm và .
c) Phương trình parabol (P) có dạng: y2 = 2px, với p = 1.
Ta suy ra .
Vậy parabol (P) có tiêu điểm .
Bài 12. Viết phương trình chính tắc của các đường conic trong các trường hợp sau:
a) Elip (E) đi qua điểm B(0; 3) và có tiêu cự bằng 6.
b) Hypebol (H) đi qua điểm M(2; 4) và có độ dài trục ảo bằng 8.
c) Parabol (P) có tiêu điểm F(10; 0).
Hướng dẫn giải
a) Phương trình elip (E) có dạng: , với a, b > 0.
Vì B(0; 3) ∈ (E) nên ta có .
Suy ra b = 3.
Theo đề, ta có tiêu cự bằng 6. Suy ra 2c = 6. Nghĩa là c = 3.
Ta có .
Vậy phương trình elip (E) là: .
b) Phương trình hypebol (H) có dạng: , với a, b > 0.
Vì (H) có độ dài trục ảo bằng 8 nên ta có 2b = 8. Suy ra b = 4.
Khi đó b2 = 16.
Vì M(2; 4) ∈ (H) nên ta có .
.
.
Vậy phương trình chính tắc của (H) là: .
c) Parabol (P) có tiêu điểm F(10; 0) nên ta có .
Suy ra p = 2.10 = 20.
Vậy phương trình chính tắc của (P) là: y2 = 40x.
Bài 13. Cho elip (E): và C(2; 0). Tìm A, B thuộc (E), biết A có tung độ dương, A và B đối xứng nhau qua trục hoành và ∆ABC cân tại A.
Hướng dẫn giải
Gọi A(x0; y0) với y0 > 0.
Vì A, B đối xứng nhau qua trục hoành nên ta có tọa độ B(x0; –y0).
Vì A ∈ (E) nên ta có .
(1).
Với A(x0; y0), B(x0; –y0) và C(2; 0) ta có:
và
Vì ∆ABC cân tại A nên ta có AB2 = AC2.
⇔ (–2y0)2 = (2 – x0)2 + (–y0)2
(2).
Thế (1) vào (2), ta được: .
.
⇔ x0 = 2 hoặc .
• Với x0 = 2, ta có . Suy ra y0 = 0.
Khi A(2; 0).
Lúc này A ≡ C (mâu thuẫn vì ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác).
Vậy ta loại trường hợp x0 = 2.
• Với , ta có . Suy ra .
Vì y0 > 0 nên ta nhận .
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 14. Một tháp triển lãm có mặt cắt là một hypebol có phương trình \. Biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ dưới đây, tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Theo bài ra, khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng khoảng cách từ tâm O đến đáy nên ta có: OA = OB và OA + OB = 120 m.
Suy ra: OA = 48 m, OB = 72 m.
Þ A (0; 48), B(0 ; –72).
Thay y = 48 vào phương trình , ta được:
Þ x2 = 1 525 ⇒ x ≈ 39,1 hoặc x ≈ –39,1.
Suy ra bán kính nóc khoảng 39,1 (m).
Thay y = –72 vào phương trình ta được:
Þ x2 = 2 650 ⇒ x ≈ 51,5 hoặc x ≈ –51,5.
Suy ra bán kính đáy khoảng 51,5 (m).
Vậy bán kính nóc và bán kính đáy của tháp triển lãm lần lượt là 39,1 (m) và 51,5 (m).
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Lý thuyết Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ
Lý thuyết Bài 1: Không gian mẫu và biến cố
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (ngắn nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 10 Friends Global đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Địa Lí 10 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Kinh tế và pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết KTPL 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục thể chất 10 – Chân trời sáng tạo