Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ – Toán 10 Chân trời sáng tạo
Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10.
Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ- Chân trời sáng tạo
A. Lý thuyết
1. Tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ và . Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho . Khi đó được gọi là tổng của hai vectơ và và được kí hiệu là .
Vậy .
Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Quy tắc ba điểm
Với ba điểm M, N, P, ta có .
Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.
Ví dụ: Cho các điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Thực hiện phép cộng các vectơ:
.
Hướng dẫn giải
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
.
.
.
Quy tắc hình bình hành
Nếu OACB là hình bình hành thì ta có .
Ví dụ: Cho hình chữ nhật MNPQ và hai vectơ như hình bên. Tính tổng của hai vectơ và .
Hướng dẫn giải
Ta có .
Suy ra .
Theo quy tắc hình bình hành, ta có .
Vậy .
2. Tính chất của phép cộng các vectơ
Phép cộng vectơ có các tính chất sau:
+ Tính chất giao hoán: .
+ Tính chất kết hợp: .
+ Với mọi , ta luôn có: .
Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ ,kí hiệu là với .
Ví dụ: Cho tứ giác MNPQ. Thực hiện các phép cộng vectơ sau:
a) .
b) .
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ, ta được:
a) .
b) .
Chú ý: Cho vectơ tùy ý .
Ta có .
Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: .
3. Hiệu của hai vectơ
Cho hai vectơ và . Hiệu của hai vectơ và là vectơ \ và kí hiệu là .
Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
Ví dụ: Cho các điểm D, E, F, G phân biệt. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: .
Hướng dẫn giải
Ta có: .
.
Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có:.
Ví dụ: Cho hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: .
Hướng dẫn giải
Ta có .
.
4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi .
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi .
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) .
b) .
Hướng dẫn giải
a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC (tính chất hình bình hành).
Lại có E là trung điểm AB (gt)
Do đó OE là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra OE // BC và OE = = BF (với F là trung điểm BC).
Khi đó ta có tứ giác OEBF là hình bình hành.
Áp dụng quy tắc hình bình hành cho OEBF, ta được: .
Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC và BD (tính chất hình bình hành).
Do đó và .
Ta có
.
Vậy .
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên .
Theo quy tắc ba điểm, ta có: .
Ta có
.
Vậy .
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:
a) .
b) .
c) .
Hướng dẫn giải
a) Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).
Do đó ta có (1) và (2).
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: .
b) Vì ABCD là hình bình hành nên BA // DC và BA = DC.
Mà ngược hướng.
Do đó .
Ta suy ra .
Ta có .
c) Ta có O là trung điểm BD nên DO = OB.
Mà cùng hướng.
Do đó .
Ta có .
Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài các vectơ:
a) .
b) .
Hướng dẫn giải
a) Vì ABCD là hình vuông nên .
Do đó .
Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go)
⇔ AC2 = a2 + a2 = 2a2
⇒ AC = .
Vậy .
b) Vì ABCD là hình vuông nên ta có BD = AC = và AD = CB.
Mà ngược hướng.
Do đó .
Ta có .
Do đó .
Vì O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm BD.
Do đó OD = .
Vậy .
Bài 3. Một con thuyền trôi theo hướng nam vận tốc 25 km/h, dòng nước chảy theo hướng đông với vận tốc 10 km/h. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên (làm tròn kết quả đến hàng trăm).
Hướng dẫn giải
Gọi A là vị trí con thuyền xuất phát.
Vận tốc của con thuyền được biểu diễn bởi .
Vận tốc của dòng nước được biểu diễn bởi .
Khi đó ta có vectơ tổng của hai vectơ nói trên là .
Do đó độ lớn của vectơ cần tìm là:.
Vì con thuyền trôi theo hướng nam và dòng nước chảy theo hướng đông.
Nên ta có AB ⊥ BC.
Ta có độ lớn vận tốc con thuyền là 25 km/h.
Suy ra = AB = 25.
Ta có độ lớn vận tốc dòng nước là 10 km/h.
Suy ra = BC = 10.
Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go)
⇔ AC2 = 252 + 102 = 725.
⇒ AC = ≈ 26,93.
Vậy độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói đến trong bài xấp xỉ bằng 26,93 (km/h).
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 3: Tích của một số với một vectơ
Lý thuyết Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ
Lý thuyết Bài tập cuối chương 5
Lý thuyết Bài 1: Số gần đúng và sai số
Lý thuyết Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (ngắn nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 10 Friends Global đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Địa Lí 10 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Kinh tế và pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết KTPL 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục thể chất 10 – Chân trời sáng tạo