Giải Toán 10 trang 102 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 102 Tập 1

Bài 1 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

b) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Lời giải:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng phương nên $\overrightarrow{a}=k_1.\overrightarrow{c}$ (k₁ ≠ 0).

Hai vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng phương nên $\overrightarrow{b}=k_2.\overrightarrow{c}$ (k₂ ≠ 0).

Khi đó $\frac{\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}}=\frac{k_1.\overrightarrow{c}}{k_2.\overrightarrow{c}}=\frac{k_1}{k_2}\Rightarrow \overrightarrow{a}=\frac{k_1}{k_2}.\overrightarrow{b}$.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Vậy khẳng định a đúng.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{a}=-k_1.\overrightarrow{c}$ (k₁ > 0).

Hai vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{b}=-k_2.\overrightarrow{c}$ (k₂ > 0).

Khi đó $\frac{\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{b}}=\frac{-k_1.\overrightarrow{c}}{-k_2.\overrightarrow{c}}=\frac{k_1}{k_2}\Rightarrow \overrightarrow{a}=\frac{k_1}{k_2}.\overrightarrow{b}$ với $\frac{k_1}{k_2}>0$.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Vậy khẳng định b đúng.

Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}$.

b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{10}}{2}$.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:

AC² = AB² + BC²

$\Rightarrow$ AC² = a² + (3a)²

$\Rightarrow$ AC² = 10a²

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{10}$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD = $\sqrt{10}$a.

Vậy $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{B\text{D}}\right|=10\sqrt{a}$.

b) Ta thấy $\frac{a\sqrt{10}}{2}$ = $\frac{1}{2}.10\sqrt{a}$.

Do đó độ dài các vectơ đó bằng $\frac{1}{2}$ độ dài của AC và BD.

Vậy các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{10}}{2}$ là: $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$; $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$; $\overrightarrow{BO}$ và $\overrightarrow{DO}$; $\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{CO}$.

Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

+) Tính $\left|\overrightarrow{p}\right|$:

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{p}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$.

Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD nên AC là tia phân giác của $\widehat{BA\text{D}}$.

Do đó $\widehat{BAC}=30°$.

Tam giác ABC cân tại B nên $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}=30°$.

Khi đó $\widehat{ABC}=180°-2.30°=120°$.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² - 2.AB.BC.cos $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow$ AC² = a² + a² - 2.a.a.cos 120^o

$\Rightarrow$ AC² = 2a² + a²

$\Rightarrow$ AC² = 3a²

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{3}$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do đó $\left|\overrightarrow{p}\right|=\sqrt{3}a$.

+) Tính $\left|\overrightarrow{u}\right|$:

Ta có $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{DB}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|$.

Tam giác ABD cân tại A có $\widehat{BA\text{D}}=60°$ nên tam giác ABD đều.

Do đó BD = AB = a.

Do đó $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|$ = a.

+) Tính $\left|\overrightarrow{v}\right|$:

Gọi H là giao điểm của AC và BD.

H là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}$.

Do đó $2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AH}=2\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}\right)=2\overrightarrow{HB}$.

Khi đó $\left|2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\overrightarrow{HB}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=a$.

Do đó $\left|\overrightarrow{v}\right|=a$.

Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AN}$ (Hình 1).

a) Tìm tổng của các vectơ $\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MC}$; $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{NC}$.

b) Tìm các vectơ hiệu: $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC};\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}$.

c) Chứng minh $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. 

Lời giải:

M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC.

N là trung điểm của AD nên AN = ND = $\frac{1}{2}$AD.

Do ABCD là hình bình hành nên BC = AD.

Do đó BM = MC = AN = ND.

Do $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AN}$ nên CE = AN.

Do đó BM = MC = AN = ND = CE.

Khi đó ta có AMCN, NCED là các hình bình hành.

a) +) Tính $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}$:

Ta có $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CE}$ nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{NE}$.

+) Tính $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}$:

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$ nên $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{N\text{D}}$.

+) Tính $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}$:

Ta có $\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AM}$ nên $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A\text{E}}$.

b) +) Tính $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC}$:

Ta có $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NM}$.

+) Tính $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$:

Ta có $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$.

+) Tính $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}$:

Ta có $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{A\text{D}}$ nên $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$.

c) Ta có $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 102 Tập 1

Giải Toán 10 trang 103 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Bài tập cuối chương 6