Giải Toán 10 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Mệnh đề

Thực hành 3 trang 9 Toán lớp 10 Tập 1: Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

a) P(x): “x² = 2”;

b) Q(x): “x² + 1 > 0”;

c) R(n): “n + 2 chia hết cho 3” (n là số tự nhiên).

Lời giải:

a) P(x): “x² = 2”: ta có chỉ có $\left\{\begin{array}{l}{\left(\sqrt{2}\right)}^2=2\\ {\left(-\sqrt{2}\right)}^2=2\end{array}\right.$nên với $x=\sqrt{2};x=-\sqrt{2}$ ta được một mệnh đề đúng. Với $x\ne \sqrt{2};x\ne -\sqrt{2}$ta được một mệnh đề sai.

b) Q(x): “x² + 1 > 0”: ta có x² + 1 > 0 với $\forall x\in ℝ$ nên với mọi số thực x ta được mệnh đề đúng. Không tồn tại giá trị thực của x để mệnh đề Q(x) sai.

c) R(n): “n + 2 chia hết cho 3” (n là số tự nhiên):

Với n = 3k + 1 với k $\in$ℕ ta được mệnh đề đúng.

Thật vậy với n = 3k + 1 ta có n + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k+1) ⁝ 3 với k $\in$ℕ.

Với n ≠ 3k + 1 ta được mệnh đề sai.

3. Mệnh đề phủ định

Hoạt động khám phá 3 trang 9 Toán lớp 10 Tập 1: Xét các mệnh đề nằm cùng dòng của bảng (có 2 cột P và $\overline{P}$) sau đây:

Nêu nhận xét về tính đúng sai của hai mệnh đề cùng cặp.

Lời giải:

Xét cặp mệnh đề P: “Dơi là một loài chim” đây là mệnh đề sai và $\overline{P}$: “Dơi không phải là một loài chim” là mệnh đề đúng vì Dơi được cho là loài động vật có vú biết bay như chim nhưng không thuộc loài chim.

Xét cặp mệnh đề P: “π không phải là một số hữu tỉ” là mệnh đề đúng và $\overline{P}$: “π là một số hữu tỉ” là mệnh đề sai vì, π ≈ 3,14159 không thể viết dưới dạng $\frac{a}{b}$ mà số hữu tỉ là số viết được dưới dạng $\frac{a}{b}$.

Xét cặp mệnh đề P: “$\sqrt{2}+\sqrt{3}>\sqrt{5}$” là mệnh đề đúng và $\overline{P}$: “$\sqrt{2}+\sqrt{3}\le \sqrt{5}$” là mệnh đề sai vì, $\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 3,15$mà $\sqrt{5}\approx 2,2$nên $\sqrt{2}+\sqrt{3}>\sqrt{5}$.

Xét cặp mệnh đề P: “$\sqrt{2}\sqrt{18}=6$” là mệnh đề đúng và $\overline{P}$: “$\sqrt{2}\sqrt{18}\ne 6$” lả mệnh đề sai vì $\sqrt{2}\sqrt{18}=\sqrt{36}=6$ nên $\sqrt{2}\sqrt{18}=6$ đúng.

Giải Toán 10 trang 10 Tập 1

Thực hành 4 trang 10 Toán lớp 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.

a) Paris là thủ đô của nước Anh;

b) 23 là số nguyên tố;

c) 2 021 chia hết cho 3;

d) Phương trình x² – 3x + 4 = 0 vô nghiệm.

Lời giải:

a) Xét mệnh đề P: “Paris là thủ đô của nước Anh”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là $\overline{P}$: “Paris không phải là thủ đô của nước Anh”.

P là mệnh đề sai và $\overline{P}$ là mệnh đề đúng vì Paris là thủ đô của nước Pháp.

b) Xét mệnh đề Q: “23 là số nguyên tố”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là $\overline{Q}$: “23 không là số nguyên tố”.

Q là mệnh đề đúng và $\overline{Q}$ là mệnh đề sai vì 23 chia hết cho 1 và chính nó nên 23 là số nguyên tố.

c) Xét mệnh đề R: “2021 chia hết cho 3”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề R là $\overline{R}$: “2021 không chia hết cho 3”.

R là mệnh đề sai và $\overline{R}$ là mệnh đề đúng vì 2021 : 3 = 673 dư 2 nên 2021 không chia hết cho 3.

d) Xét mệnh đề H: “phương trình x² – 3x + 4 = 0 vô nghiệm”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề H là $\overline{H}$: “phương trinh x² – 3x + 4 = 0 không vô nghiệm”.

H là mệnh đề đúng và $\overline{H}$ là mệnh đề sai vì phương trình x² – 3x + 4 = 0 có ∆ = – 7 < 0 nên phương trình x² – 3x + 4 = 0 vô nghiệm.

4. Mệnh đề kéo theo

Hoạt động khám phá 4 trang 10 Toán lớp 10 Tập 1: Xét hai mệnh đề sau:

(1) Nếu ABC là tam giác đều thì nó là tam giác cân;

(2) Nếu 2a – 4 > 0 thì a > 2.

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Mỗi mệnh đề trên đều có dạng “Nếu P thì Q”. Chỉ ra P và Q ứng với mỗi mệnh đề đó.

Lời giải:

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề

1) Mệnh đề “Nếu ABC là tam giác đều thì nó là tam giác cân” là mệnh đề đúng vì theo tính chất của tam giác đều: Nếu ABC là tam giác đều thì tam giác ABC là tam giác cân và có 1 góc bằng 60⁰.

2) Mệnh đề “Nếu 2a – 4 > 0 thì a > 2” là mệnh đề đúng vì 2a – 4 > 0 $\iff$2a > 4

$\iff$ a > 2.

b) Chỉ ra P và Q của mỗi mệnh đề

Mệnh đề 1) có P: “ABC là tam giác đều” và Q: “nó là tam giác cân”.

Mệnh đề 2) có P: “2a – 4 > 0” và Q: “a > 2”.

Giải Toán 10 trang 12 Tập 1

Thực hành 5 trang 12 Toán lớp 10 Tập 1: Xét hai mệnh đề:

P: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau”;

Q: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề P $\Rightarrow$ Q.

b) Mệnh đề P $\Rightarrow$ Q có phải là một định lí không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí này theo hai cách khác nhau.

Lời giải:

a) P$\Rightarrow$Q: “Nếu hai tam giác ABC và AˊBˊCˊ bằng nhau thì hai tam giác ABC và AˊBˊCˊ có diện tích bằng nhau”

b) Ta có hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. Do đó mệnh đề P $\Rightarrow$Q là một mệnh đề đúng nên là định lí.

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”: “Để hai tam giác ABC và AˊBˊCˊ bằng nhau thì điều kiện cần là hai tam giác ABC và AˊBˊCˊ có diện tích bằng nhau”.

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ”: “Để hai tam giác ABC và AˊBˊCˊ có diện tích bằng nhau thì điều kiện đủ là hai tam giác ABC và AˊBˊCˊ bằng nhau”.

5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

Hoạt động khám phá 5 trang 12 Toán lớp 10 Tập 1: Xét hai mệnh đề dạng P ⇒ Q sau:

“Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng 60⁰”

“Nếu a = 2 thì a² – 4 = 0”.

a) Chỉ ra P, Q và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Với mỗi mệnh đề đã cho, phát biểu mệnh đề Q $\Rightarrow$ P và xét tính đúng sai của nó.

Lời giải:

a) Mệnh đề “Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng 60⁰”, có P: “ABC là tam giác đều” và Q: “nó có hai góc bằng 60⁰”.

Đây là mệnh đề đúng vì tam giác ABC là tam giác đều thì tam giác ABC có ba góc bằng 60⁰ thì nó cũng có 2 góc bằng 60⁰.

Mệnh đề “Nếu a = 2 thì a² – 4 = 0”, có P: “a = 2” và Q: “a² – 4 = 0”

Đây là mệnh đề đúng vì với a = 2 ta có a² – 4 = 2² – 4 = 0.

b) Mệnh đề “Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng 60⁰”; có mệnh đề

Q $\Rightarrow$P: “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60⁰ thì ABC là tam giác đều” là mệnh đề đúng vì giả sử ABC có hai góc $\widehat{B}=\widehat{C}={60}^0$ mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0$ nên góc $\widehat{A}={60}^0$tam giác ABC có ba góc bằng 60⁰ nên ABC là tam giác đều.

Mệnh đề “Nếu a = 2 thì a² – 4 = 0”, có mệnh đề Q $\Rightarrow$P: “Nếu a² – 4 = 0 thì a = 2”; là mệnh đề sai vì ngoài giá trị a = 2 còn giá trị a = – 2 cũng thỏa mãn a² – 4 = 0.

Giải Toán 10 trang 13 Tập 1

Thực hành 6 trang 13 Toán lớp 10 Tập 1: Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”;

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề P $\Rightarrow$ Q và mệnh đề đảo của nó.

b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí P ⇔ Q theo hai cách khác nhau.

Lời giải:

a) Mệnh đề P $\Rightarrow$Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”

Mệnh đề đảo của mệnh đề P $\Rightarrow$Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình vuông”.

b) Hai mệnh đề P và Q là hai mệnh đề tương đương vì mệnh đề P $\Rightarrow$Q và mệnh đề Q $\Rightarrow$P đều là mệnh đề đúng (theo dấu hiệu nhận biết và tính chất các hình)

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi”:

Cách 1: “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

Cách 2: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình vuông”.

6. Mệnh đề chứa kí hiệu ∀,∃

Hoạt động khám phá 6 trang 13 Toán lớp 10 Tập 1: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(1) Với mọi số tự nhiên x, $\sqrt{x}$ là số vô tỉ;

(2) Bình phương mọi số thực đều không âm;

(3) Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0;

(4) Có số tự nhiên n sao cho 2n – 1 = 0.

Lời giải:

(1) là mệnh đề sai vì tồn tại x = 4 có $\sqrt{4}=2$ mà 2 không là số vô tỉ.

(2) là mệnh đề đúng vì với $\forall x\in ℝ$ thì x² ≥ 0

(3) là mệnh đề đúng vì tồn tại số 0 là số nguyên thỏa mãn 0 + 0 = 0.

(4) là mệnh đề sai vì ta có 2n – 1 = 0 $\iff n=\frac{1}{2}$ mà $\frac{1}{2}$ không phải là số tự nhiên.

Giải Toán 10 trang 14 Tập 1

Thực hành 7 trang 14 Toán lớp 10 Tập 1: Sử dụng kí hiệu $\forall ,\exists$ để viết các mệnh đề sau:

a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0;

b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.

Lời giải:

a) Bằng cách sử dụng kí hiệu ta phát biểu mệnh đề đã cho như sau:

“$\forall x\in ℝ,x+(-x)=0$”.

b) Bằng cách sử dụng kí hiệu ta phát biểu mệnh đề đã cho như sau:

“$\exists n\in \mathbb{N},n^2=9$”.

Thực hành 8 trang 14 Toán lớp 10 Tập 1: Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) $\forall x\in ℝ,x^2>0;$

b) $\exists x\in ℝ,x^2=5x-4;$

c) $\exists x\in \mathbb{Z},2x+1=0.$

Lời giải:

a) Xét mệnh đề P: “$\forall x\in ℝ,x^2>0$”.

Mệnh đề này là mệnh đề sai vì tồn tại x = 0$\in$ℝ để 0² = 0.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là $\overline{P}$: “$\exists x\in ℝ,x^2\le 0$”.

b) Xét mệnh đề Q: “$\exists x\in ℝ,x^2=5x-4$”

Mệnh đề này là mệnh đề đúng vì xét x² = 5x – 4 $\iff$ x² – 5x + 4 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}\right.$ mà x = 1 và x = 4 đều là các số thực.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là $\overline{Q}$: “$\forall x\in ℝ,x^2\ne 5x-4$”.

c) Xét mệnh đề R: “$\exists x\in \mathbb{Z},2x+1=0$”

Mệnh đề này là mệnh đề sai vì xét 2x + 1 = 0 $\iff x=-\frac{1}{2}$ mà $-\frac{1}{2}$ không phải là số nguyên.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề R là $\overline{R}$: “$\forall x\in \mathbb{Z},2x+1\ne 0$”.

Bài tập

Bài 1 trang 14 Toán lớp 10 Tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là mệnh đề, khẳng định nào là mệnh đề chứa biến?

a) 3 + 2 > 5;

b) 1 – 2x = 0;

c) x – y = 2;

d) 1 - $\sqrt{2}$ < 0.

Lời giải:

a) 3 + 2 > 5 là câu sai. Câu này là mệnh đề.

b) 1 – 2x = 0 là câu đúng khi x = $\frac{1}{2}$, là câu sai khi x = 1 nên không phải là mệnh đề (vì vừa đúng, vừa sai). Đây là mệnh đề chứa biến.

c) x – y = 2 là câu đúng khi x = 4 và y = 2, là câu sai khi x = 1 và y = 2 nên không phải là mệnh đề (vì vừa đúng, vừa sai). Đây là mệnh đề chứa biến.

d) 1 - $\sqrt{2}$ < 0 là câu đúng. Câu này là mệnh đề.

Vậy câu a) và d) là mệnh đề; câu b) và c) là mệnh đề chứa biến.

Bài 2 trang 14 Toán lớp 10 Tập 1: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của chúng.

a) 2020 chia hết cho 3;

b) π < 3,15;

c) Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc Trung ương;

d) Tam giác có hai góc bằng 45⁰ là tam giác vuông cân.

Lời giải:

a) “2020 chia hết cho 3” là mệnh đề sai vì 2020 : 3 = 673 và dư 1.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P: “2020 chia hết cho 3” là $\overline{P}$: “2020 không chia hết cho 3”

b) π < 3,15: là mệnh đề đúng vì π ≈ 3,14 nên π < 3,15 là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P: “π < 3,15” là $\overline{P}$: “π ≥ 3,15”

c) “Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc Trung ương”: là mệnh đề đúng, vì các thành phố trực thuộc Trung ương gồm: Hà Nội, Đà Nẵng, Hải Phòng, Hồ Chí Minh và Cần Thơ.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q: “Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc Trung ương” là $\overline{Q}$: “Nước ta hiện nay không phải có 5 thành phố trực thuộc Trung ương”

d) “Tam giác có hai góc bằng 45⁰ là tam giác vuông cân”: là mệnh đề đúng.

Giả sử tam giác ABC có góc $\widehat{B}=\widehat{C}={45}^0$nên tam giác ABC cân tại A.

Ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0$ nên $\widehat{A}={180}^0-\widehat{B}-\widehat{C}={90}^0$ nên ABC là tam giác vuông.

Vậy “Tam giác có hai góc bằng 45⁰ là tam giác vuông cân” là mệnh đề đúng

Mệnh đề phủ định của mệnh đề R: “Tam giác có hai góc bằng 45⁰ là tam giác vuông cân” là $\overline{R}$: “Tam giác có hai góc bằng 45⁰ không phải là tam giác vuông cân”

Bài 3 trang 14 Toán lớp 10 Tập 1: Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”

Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”

a) Phát biểu mệnh đề P $\Rightarrow$ Q và xét tính đúng sai của nó;

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P $\Rightarrow$ Q.

Lời giải:

a) Phát biểu mệnh đề P $\Rightarrow$ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.

Đây là mệnh đề đúng vì theo tính chất hình bình hành thì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà mệnh đề P $\Rightarrow$ Q chỉ sai khi P đúng, Q sai nên đây là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề P $\Rightarrow$ Q: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành”.

Giải Toán 10 trang 15 Tập 1

Bài 4 trang 15 Toán lớp 10 Tập 1: Cho các định lí

P: “ Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”

Q: “Nếu a < b thì a + c < b + c” (a, b, c $\in$ℝ).

a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lí;

b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”.

c) Mệnh đề đảo của mỗi định lí đó có là định lí không?

Lời giải:

a)

Giả thiết của định lí P: hai tam giác bằng nhau.

Kết luận của định lí P: diện tích của chúng bằng nhau.

Giả thiết của định lí Q: a < b

Kết luận của định lí Q: a + c < b + c

b)

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”:

Định lí P: Để hai tam giác bằng nhau điều kiện cần là chúng có diện tích bằng nhau.

Định lí Q: Để a < b điều kiện cần là a + c < b + c, (a, b, c $\in$ℝ).

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ”:

Định lí P: “Để hai tam giác có diện thích bằng nhau điều kiện đủ là hai tam giác bằng nhau”.

Định lí Q: Để a + c < b + c điều kiện đủ là a < b, (a, b, c $\in$ℝ).

c)

Mệnh đề đảo của mệnh đề P: “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P không phải là định lí vì

Hai tam giác ABC và MNP có cùng diện tích là 12 cm². Tuy nhiên hai tam giác này không bằng nhau. Do đó mệnh đề đảo của P là sai nên mệnh đề đảo của P không phải là định lí.

Mệnh đề đảo của mệnh đề Q: Nếu a + c < b + c thì a < b, (a, b, c $\in$ℝ).

Mệnh đề đảo của mệnh đề Q là định lí, vì mệnh đề đảo của mệnh đề Q là mệnh đề đúng. Theo tính chất của bất phương trình nếu cộng vào 2 vế của bất phương trình cùng một số thì bất phương trình không thay đổi.

Bài 5 trang 15 Toán lớp 10 Tập 1: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” phát biểu lại các định lí sau:

a) Một phương trình bậc hai có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương;

b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại.

Lời giải:

a)

Định lí phát biểu là: Một phương trình bậc hai có nghiệm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là biệt thức của nó dương.

b)

Định lí phát biểu là: Một hình bình hành là hình thoi thì điều kiện cần và đủ là nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Bài 6 trang 15 Toán lớp 10 Tập 1: Cho các mệnh đề sau:

P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”;

Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”;

R: “Có số thực x sao cho x² + 2x – 1 = 0”.

a) Xét tính đúng sai của các mệnh đề trên;

b) Sử dụng kí hiệu $\forall ,\exists$ để viết lại các mệnh đề đã cho.

Lời giải:

a) Xét tính đúng sai của các mệnh đề trên như sau:

+) P là mệnh đề đúng, vì $\left|a\right|=\left\{\begin{array}{l}akhia\ge 0\\ -akhia<0\end{array}\right.$

Do đó ta có $\left|a\right|\ge a$với mọi a$\in$ℝ.

+) Q là mệnh đề sai, vì chỉ có ${\sqrt{10}}^2=10$ hoặc ${(-\sqrt{10})}^2=10$ mà $\sqrt{10},-\sqrt{10}\notin \mathbb{N}$.

Do đó không tồn tại số tự nhiên nào thỏa mãn bình phương của nó bằng 10.

+) R là mệnh đề đúng, vì phương trình x² + 2x – 1 = 0 có nghiệm là $-1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2}\in ℝ$ nên có số thực x để x² + 2x – 1 = 0.

b) Bằng cách sử dụng kí hiệu $\forall ,\exists$ các mệnh đề trên được phát biểu như sau:

Mệnh đề P: “$\exists x\in \mathbb{N},x+3=0$”

Mệnh đề Q: “$\forall x\in ℝ,x^2\text{+1}\ge \text{2x}$”

Mệnh đề R: “$\forall a\in ℝ,\sqrt{a^2}\text{=a}$”

Bài 7 trang 15 Toán lớp 10 Tập 1: Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) $\exists x\in \mathbb{N},x+3=0$;

b) $\forall x\in ℝ,x^2\text{+1}\ge \text{2x}$;

c) $\forall a\in ℝ,\sqrt{a^2}\text{=a}$.

Lời giải:

+) Xét tính đúng, sai của các mệnh đề.

a) là mệnh đề sai, vì $\forall x\in \mathbb{N}$ thì x + 3 > 0.

Vậy không tồn tại $x\in \mathbb{N}$ để x + 3 = 0.

b) là mệnh đề đúng, vì x² + 1 ≥ 2x $\iff$x² – 2x + 1 ≥ 0 $\iff$(x – 1)² ≥ 0 với $\forall x\in ℝ$

c) là mệnh đề sai, vì $\exists$ a = – 3 $\in$ℝ nhưng $\sqrt{{(-3)}^2}\text{=3}\ne -3$.

+) Phủ định mệnh đề

a) Mệnh đề P: “$\exists x\in \mathbb{N},x+3=0$” $\Rightarrow$ $\overline{P}$ “$\forall x\in \mathbb{N},x+3\ne 0$”

b) Mệnh đề Q: “$\forall x\in ℝ,x^2\text{+1}\ge \text{2x}$” $\Rightarrow$ $\overline{Q}$ “$\exists x\in ℝ,x^2\text{+1<\hspace{0.17em}2x}$”

c) Mệnh đề R: “$\forall a\in ℝ,\sqrt{a^2}\text{=a}$” $\Rightarrow$ $\overline{R}$ “$\exists a\in ℝ,\sqrt{a^2}\ne \text{a}$”

Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Mệnh đề - Chân trời sáng tạo

1. Mệnh đề

- Những khẳng định có tính hoặc đúng hoặc sai được gọi là mệnh đề logic (hay mệnh đề).

- Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.

- Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng.

- Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

- Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Chú ý:

+ Người ta thường sử dùng các chữ cái in hoa P, Q, R, … để kí hiệu các mệnh đề.

+ Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.

Ví dụ 1.

+ “Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0” là một mệnh đề.

+ “2 là số chẵn” là mệnh đề đúng.

+ “2 là số lẻ” là mệnh đề sai.

+ “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề nhưng không phải mệnh đề toán học vì không liên quan đến toán học.

+ “Số là một số hữu tỉ” là mệnh đề toán học.

2. Mệnh đề chứa biến

- Mệnh đề chứa biến là mệnh đề chưa khẳng định được tính đúng sai, cần có giá trị cụ thể của biến mới có thể khẳng định tính đúng sai của mệnh đề đó.

- Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P (n).

- Một mệnh đề chứa biến có thể chứa một biến hoặc nhiều biến.

Ví dụ 2.

+ “18 chia hết cho 9: không phải là mệnh đề chứa biến vì không có biến trong mệnh đề.

+ “3n chia hết cho 9” là mệnh đề chứa biến n. Khi n = 3 thì mệnh đề này là mệnh đề đúng, khi n = 4 thì mệnh đề này là mệnh đề sai.

3. Mệnh đề phủ định

- Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu là $\overline{\mathrm{P}}$ .

- Mệnh đề P và mệnh đề phủ định $\overline{\mathrm{P}}$ của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là khi P đúng thì $\overline{\mathrm{P}}$ sai, khi P sai thì $\overline{\mathrm{P}}$ đúng.

Nhận xét:

+ Thông thường để phủ định một mệnh đề, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

Ví dụ 3.

+ Mệnh đề “4 không chia hết cho 9” là mệnh đề phủ định của mệnh đề “4 chia hết cho 9”.

+ Mệnh đề “4 chia hết cho 9” là mệnh đề sai nên mệnh đề “4 không chia hết cho 9” là mệnh đề đúng.

4. Mệnh đề kéo theo

- Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu là P ⇒ Q.

- Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Nhận xét:

+ Mệnh đề P ⇒ Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.

+ Để xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q, ta chỉ cần xét trường hợp P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì mệnh đề đúng, nếu Q sai thì mệnh đề sai. Ta đã quen với điều này khi chứng minh nhiều định lí ở Trung học cơ sở.

Ví dụ 4. Cho hai mệnh đề: P: “9 chia hết cho 9”; Q: “9 chia hết cho 3”.

“Nếu 9 chia hết cho 9 thì 9 chia hết cho 3” là mệnh đề kéo theo có dạng P ⇒ Q.

P là mệnh đề đúng và Q là mệnh đề đúng nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

- Khi mệnh đề P ⇒ Q là định lí, ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí;

P là điều kiện đủ để có Q;

Q là điều kiện cần để có P.

Ví dụ 5. Định lí Ta – lét: “Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì đường thẳng đó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ”.

Định lí có mệnh đề “Một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại” là giả thiết, mệnh đề “Đường thẳng đó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ” là kết luận.

5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

- Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Ví dụ 6. Cho hai mệnh đề:

P: “n = 0”; Q: “n là số nguyên”.

“Nếu n = 0 thì n là số nguyên” là mệnh đề .

“Nếu n là số nguyên thì n = 0” là mệnh đề .

+ Mệnh đề “Nếu n là số nguyên thì n = 0” là mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu n = 0 thì n là số nguyên”.

+ Mệnh đề là mệnh đề đúng còn mệnh đề không đúng.

- Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là P ⇔ Q (đọc là “P tương đương Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”).

- Khi đó ta cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có Q (hay Q là điều kiện cần và đủ để có P).

Nhận xét: Hai mệnh đề P và Q tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ 7. Cho 2 mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”; Q: “Tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song”.

“Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” là mệnh đề .

“Nếu tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song thì tứ giác ABCD là hình bình hành” là mệnh đề .

Hai mệnh đề này đều đúng nên P và Q là hai mệnh đề tương đương.

6. Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ và ∃

- Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.

- Kí hiệu ∃ đọc là “tồn tại”.

- Mệnh đề “∀x ∈ M, P(x)” đúng nếu với mọi x₀ ∈ M, P(x₀) là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề “∃x ∈ M, P(x)” đúng nếu có x₀ ∈ M sao cho P(x₀) là mệnh đề đúng.

Ví dụ 8.

+ Phát biểu “Với mọi số tự nhiên n” có thể kí hiệu là .

+ Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n” có thể kí hiệu là .

+ Với mọi x là số tự nhiên, mệnh đề “x + 1 > 0” là mệnh đề đúng. Vậy mệnh đề “Với mọi x là số tự nhiên, x + 1 > 0” là mệnh đề đúng.

+ Tồn tại một số nguyên tố n để mệnh đề “Số nguyên tố n chia hết cho 2” là mệnh đề đúng. Vậy mệnh đề “Tồn tại một số nguyên tố n, số nguyên tố n chia hết cho 2” là mệnh đề đúng.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Tập hợp

Bài 3: Các phép toán trên tập hợp

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Mệnh đề

Trắc nghiệm Bài 1: Mệnh đề