Giải Toán 10 trang 103 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 103 Tập 1

Bài 5 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$ ;

b) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$.

Lời giải:

a) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$ thì ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\right)}^2$.

$\Rightarrow {\overrightarrow{a}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|+{\overrightarrow{b}}^2$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$

Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ nên $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1$.

Do đó $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0°$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$ thì ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2$.

$\Rightarrow {\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

$\Rightarrow 4\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0$

Do $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ nên $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0$.

Do đó $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90°$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.

Bài 6 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=0$. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Do $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$ = 0 nên $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$.

Trường hợp 1. Cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều là vectơ $\overrightarrow{0}$.

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Trường hợp 2. Cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$.

Khi đó $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\right|=\left|-\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, ngược hướng và có độ dài bằng nhau.

Bài 7 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$  khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Lời giải:

Phần thuận: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{C\text{D}}$ thì trung điểm hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Do $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{C\text{D}}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{C\text{D}}$ cùng hướng và AB = CD.

Do hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{C\text{D}}$ cùng hướng nên ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1. Đường thẳng AB và CD trùng nhau, lại có AB = CD nên trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Trường hợp 2. Đường thẳng AB và CD song song với nhau.

Đường thẳng AB và CD song song với nhau, lại có AB = CD nên ABDC là hình bình hành.

Khi đó tâm O của hình bình hành ABCD là giao điểm hai đường chéo AD và BC nên O là trung điểm của AD và BC tức trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Phần đảo: Trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{C\text{D}}$.

Trường hợp 1. Hai đường thẳng AD và BC trùng nhau.

Gọi trung điểm của AD và BC là O.

Do O là trung điểm của AD nên OA = OD.

Do O là trung điểm của BC nên OB = OC.

Do đó OB - OA = OC - OD hay AB = CD.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{C\text{D}}$ cùng hướng và AB = CD nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{C\text{D}}$.

Trường hợp 2. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau.

Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm O, điểm O là trung điểm của AD và BC nên ABDC là hình bình hành.

Do đó AB // CD và AB = CD.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{C\text{D}}$ cùng hướng và AB = CD nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{C\text{D}}$.

Bài 8 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{P\text{S}}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$.

Do ABIJ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AJ}=-\overrightarrow{IB}$.

Do CARS là hình bình hành nên $\overrightarrow{RA}=-\overrightarrow{C\text{S}}$.

Do BCPQ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BQ}=-\overrightarrow{PC}$.

Do đó $\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}=-\overrightarrow{CS}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$

$=\left(-\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{C\text{S}}\right)+\left(-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}\right)+\left(-\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\right)=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{P\text{S}}=\overrightarrow{0}$.

Bài 9 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Lời giải:

Trong hình trên ta có vectơ $\overrightarrow{v_1}$ là tốc độ của máy bay bay về phía bắc, vectơ $\overrightarrow{v}$ là tốc độ của máy bay so với mặt đất, vectơ $\overrightarrow{v_2}$ là tốc độ của gió.

Khi đó độ dài ba vectơ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{v_1}$ và $\overrightarrow{v_2}$ tạo thành độ dài ba cạnh của tam giác ABC với AB = $\left|\overrightarrow{v_1}\right|$ = 45, BC = $\left|\overrightarrow{v_2}\right|$, AC = $\left|\overrightarrow{v}\right|$ = 38.

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC ta được:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

⇔ v² = 45² + 38² – 2.45.38.cos20°

⇔ v² ≈ 255,3

⇔ v ≈ 15,98

Vậy tốc độ của gió khoảng 15,98 m/s.

Bài 10 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.

Lời giải:

Tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=60°$.

Qua M kẻ NS // AB, PT // AC, RQ // BC.

Do NS //AB nên $\widehat{MNT}=\widehat{ABC}=60°$ và $\widehat{M\text{SR}}=\widehat{BAC}=60°$.

Do PT // AC nên $\widehat{MTN}=\widehat{ACB}=60°$ và $\widehat{MPQ}=\widehat{BAC}=60°$.

Do RQ // BC nên $\widehat{M\text{RS}}=\widehat{ACB}=60°$ và $\widehat{MQP}=\widehat{ABC}=60°$.

Khi đó các tam giác MNT, MRS và MPQ là các tam giác đều.

Tam giác MNT đều có MD $\perp$ NT nên D là trung điểm của NT.

Tam giác MRS đều có ME $\perp$ RS nên E là trung điểm của RS.

Tam giác MPQ đều có MF $\perp$PQ nên F là trung điểm của PQ.

Do D là trung điểm của NT nên $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MT}=2\overrightarrow{M\text{D}}$.

Do E là trung điểm của RS nên $\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MS}=2\overrightarrow{ME}$.

Do F là trung điểm của PQ nên $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{MF}$.

Do đó $2\overrightarrow{M\text{D}}+2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{M\text{P}}+\overrightarrow{MQ}$

$=\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}\right)+\left(\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{MR}\right)+\left(\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{M\text{P}}\right)$

Tứ giác MNBQ có MN // BQ và MQ // BN nên MNBQ là hình bình hành.

Tứ giác MTCR có MT // CR và MR // CT nên MTCR là hình bình hành.

Tứ giác MSAP có MP // AS và MS // AP nên MSAP là hình bình hành.

Khi đó áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MB}$; $\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MC}$; $\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{M\text{P}}=\overrightarrow{MA}$.

Do đó $\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}\right)+\left(\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{MR}\right)+\left(\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{M\text{P}}\right)=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$.

Do O là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}$ hay

$2\overrightarrow{M\text{D}}+2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{MF}=3\overrightarrow{MO}$.

Do đó $\overrightarrow{M\text{D}}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.

Bài 11 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một xe goòng được kéo bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{AB}$ là 30° và $\overrightarrow{F}$ được phân tích thành 2 lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$  (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F},\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$.

Lời giải:

Đặt tên điểm đầu và điểm cuối của các vectơ như hình trên.

Tam giác ADE vuông tại E nên cos 30^o = $\frac{A\text{E}}{A\text{D}}$

$\Rightarrow$ AE = AD . cos 30^o = 50 . $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $25\sqrt{3}$ N.

Ta thấy $\overrightarrow{F_1}\perp \overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{AB}\right)=\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos 90°=0$ J.

$\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\left(\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{AB}\right)=0°$.

Khi đó $\overrightarrow{F_2}.\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{AB}\right)=\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos 0°$ = $25\sqrt{3}$ . 200 = $5000\sqrt{3}$ J.

$\overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{AB}\right)=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.\cos 30°$ = 50 . 200 . $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $5000\sqrt{3}$ J.

Vậy công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F},\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ lần lượt là $5000\sqrt{3}$ J, $5000\sqrt{3}$ J, 0 J.

Bài 12 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v}$ lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v}$.

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Lời giải:

Đặt tên điểm đầu và điểm cuối của các vectơ như hình trên.

a) Ta có $\left|\overrightarrow{v_1}\right|=0,75$; $\left|\overrightarrow{v_2}\right|=1,2$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC²

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{0,{75}^2+1,2^2}$ ≈ 1,4 (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{v}\right|$ ≈ 1,4.

b) Khi đó tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ khoảng 1,4 m/s.

c) Tam giác ABC vuông tại B nên $\tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}=\frac{0,75}{1,2}=\frac{5}{8}$.

$\Rightarrow \widehat{ACB}$ ≈ 32^o

Ta có $\widehat{ACB}=\theta$ nên $\theta$≈ 32^o.

Vậy hướng di chuyển của thuyền lệch một góc khoảng 32^o so với bờ.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 102 Tập 1

Giải Toán 10 trang 103 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Bài tập cuối chương 6