Giải Toán 10 trang 70 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 70 Tập 2

Thực hành 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y² = 2px

(P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0 ⇒ $\frac{p}{2}$ =1 ⇔  p = 2

Thay p = 2 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y² = 2.2.x = 4x

Vậy (P) có phương trình y² = 4x.

Vận dụng 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Một cổng chào có hình parabol cao 10m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi phương trình của parabol là y² = 2px.

Ta có chiều cao của cổng là OC = 10 m ⇒ C(10; 0)

Bề rộng của cổng tại chân cổng là AB = 5 m ⇒ AC = 2,5 m ⇒ A(10; 2,5)

Vì A(10; 2,5) ∈ (P) nên thay tọa độ của A vào phương trình (P), ta được: 2,5² = 2p. 10

⇒ p =  $\frac{5}{16}$ ⇒ (P): y² = $\frac{5}{8}$ x.

Thay tọa độ điểm D(2; a) vào phương trình (P), ta được: a² = $\frac{5}{8}$ . 2 ⇒ a = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là: 2a = 2. $\frac{\sqrt{5}}{2}$= $\sqrt{5}$  (m).

Bài tập 1 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của:

a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16;

b) Hypebol có tiêu cự 2c = 20 và độ dài trục thực 2a = 12;

c) Parabol có tiêu điểm F( $\frac{1}{2}$; 0).

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Ta có 2a = 20 ⇒ a = 10;

2b = 16 ⇒ b = 8.

Thay a = 10 và b = 8 vào phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , ta được:

$\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1$ ⇔ $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ .

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:  $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

b) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ .

Ta có: 2c = 20 ⇒ c = 10

2a = 12 ⇒ a = 6 

Ta lại có: b² = c² − a² = 10² – 6² = 64 ⇒ b = 8.

Thay a = 6 và b = 8 vào phương trình $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , ta được:

$\frac{x^2}{6^2}-\frac{y^2}{8^2}=1$ ⇔ $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$ .

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

c) Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y² = 2px

(P) có tiêu điểm F( $\frac{1}{2}$; 0) ⇒ $\frac{p}{2}$  = $\frac{1}{2}$ ⇒ p = 1.

Thay p = 1 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y² = 2.1.x = 2x

Vậy parabol (P) có phương trình: y² = 2x.

Bài tập 2 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên là tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng.

a) (C₁): 4x² + 16y² = 1;

b) (C₂): 16x² − 4y² = 144;

c) (C₃): x = $\frac{1}{8}$ y².

Lời giải:

a) Ta có: 4x² + 16y² = 1 ⇔ $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1$ .

Suy ra $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1$  là phương trình của elip.

⇒ a = $\frac{1}{2}$ và b = $\frac{1}{4}$  ⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}$  = $\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

⇒ Tọa độ các tiêu điểm của (C₁) là $F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ ; 0) và $F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ .

Vậy elip (C₁): 4x² + 16y² = 1 có các tiêu điểm là $F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ ; 0) và $F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ .

b) Ta có: 16x² − 4y² = 144 ⇔  $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$.

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$ là  phương trình của hypebol.

⇒ a = 3, b = 6 ⇒ c = $\sqrt{a^2+b^2}$ = $\sqrt{3^2+6^2}$  = $3\sqrt{5}$ .

⇒ Tọa độ các tiêu điểm của (C₂) là $F_1\left(-3\sqrt{5};0\right)$ ; $F_2\left(3\sqrt{5};0\right)$ .

Vậy hypebol (C₂): 16x² − 4y² = 144 có các tiêu điểm là $F_1\left(-3\sqrt{5};0\right)$ ; $F_2\left(3\sqrt{5};0\right)$ .

c) Ta có: x = $\frac{1}{8}$ y² ⇔ y² = 8x

(C₃) có dạng y² = 2px nên (C₃) là phương trình của parabol và p = 4.

⇒ Tọa độ tiêu điểm của (C₃) là F(2; 0).

Vậy parabol (C₃): x = $\frac{1}{8}$ y² có tiêu điểm là F = (2; 0).

Bài tập 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Để cắt một bảng quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hướng dẫn sau:

Chuẩn bị:

− Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.

Thực hiện:

− Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván).

− Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh vào kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip (Xem minh họa trong Hình 15).

Phải ghim hai cái đinh cách mép tấm ván ép bao nhiêu xentimet và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải:

Gắn hệ trục tọa độ cho elip như hình sau:

 

Ta có: hình elip có trục lớn là 80 cm, trục nhỏ là 40 cm nên 2a = 80 cm và 2b = 40 cm 

⇒ a = 40 cm, b = 20cm

⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{{40}^2-{20}^2}$ = $20\sqrt{3}$  (cm).

⇒ Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều dài của tấm ván là:

F₁A₁  = F₂A₂ = a – c = 40 – $20\sqrt{3}$  ≈ 5,36 (cm).  

Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều rộng của tấm ván là F₁D = OB₂ = b = 20 cm.

Vòng dây có độ dài là 2a + 2c = 2.40 + 2. $20\sqrt{3}$  ≈ 74,64 cm.

Vậy, hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván khoảng 5,36 cm, cách mép chiều rộng của tấm ván là 20 cm và lấy vòng dây có độ dài khoảng 74,64 cm.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 64 Tập 2

Giải Toán 10 trang 65 Tập 2

Giải Toán 10 trang 66 Tập 2

Giải Toán 10 trang 67 Tập 2

Giải Toán 10 trang 68 Tập 2

Giải Toán 10 trang 70 Tập 2

Giải Toán 10 trang 71 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 10

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai bằng phần mềm Geogebra