Sau bài này ta sẽ trả lời được:

a) Sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát là:

Trong đó vị trí A là vị trí là vị trí cảng Vân Phong.

b) Sau khi đi 1h theo hướng đông với vận tốc 20km/h thì tàu đi đến vị trí B, đi tiếp 0,5 giờ còn lại theo hướng đông nam cũng với vận tốc 20km/h thì tàu đến vị trí C. Tiến hành đo đoạn AC ta thấy xấp xỉ 27,9 cm.

Vậy sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng vân phong 27,9 km.

c)

Sau khi đi 1h theo hướng đông với vận tốc 20km/h thì tàu đi đến vị trí B, quãng đường AB là: 20.1 = 20 (km).

Còn 1h còn lại, tàu đi theo hướng nam với vận tốc 20km/h thì tàu đi đến vị trí B, quãng đường BC là: 20.1 = 20 (km).

Do hướng đông hợp với hướng nam một góc 90⁰ nên $\widehat{ABC}={90}^0$.

Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có:

BC² = AB² + AC² (định lý Py – ta – go)

BC² = 20² + 20²

BC² = 400 + 400

BC² = 800

$BC=20\sqrt{2}\approx 28,28\left(km\right)$

Vậy sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam thay thì có thể dùng định lí Py – ta – go tính chính xác được ví trí của tàu lúc này cách cảng Vân Phong 28,28 km.

a) Xét ΔBDC vuông tại D, có:

BC² = BD² + DC² (py – ta – go)

Hay a² = BD² + DC²

b) Xét ΔBDA vuông tại D, có:

BA² = BD² + DA² (py – ta – go)

Hay BD² = c² - DA²

Ta lại có: DC = DA + b

Khi đó: a² = c² – DA² + (DA + b)² = c² – DA² + DA² + 2.DA.b + b² = c² + b² + 2.DA.b.

Vậy a² = c² + b² + 2.DA.b (1)

c) Xét ΔBDA vuông tại D, có:

$DA=c.\cos \alpha$

d) Thay $DA=c.\cos \alpha$ vào biểu thức (1), ta được:

a² = c² + b² + 2.c.b.$cos\alpha$ (đpcm).

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA (định lí cos)

= AB² + AC² – 2AB.AC.cos90⁰

= AB² + AC² (định lí Py – ta – go)

Định lý Pythagore có là một trường hợp đặc biệt của định lý côsin.

Từ định lý cosin, ta có công thức tính cosA, cosB, cosC theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC là:

Xét tam giác ABC:

Theo định lí cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos A

BC² = 5² + 8² – 2.5.8.cos45⁰

BC² = $89-40\sqrt{2}$

BC ≈ 5,7 cm.

Ta có:

Tiến hành đo các cạnh của tam giác và góc A, ta được:

AB = 7cm, AC = 4cm, BC = 7,37cm và $\widehat{A}={79}^0$.

Khi đó, ta có:

$\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{7^2+4^2-7,{37}^2}{\mathrm{2.7.4}}\approx 0,19.$

cosA = cos79⁰ ≈ 0,19.

Do đó $\text{cos}A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$.

Vì vậy Định lý côsin là đúng.

Hình 3.10a):

Xét ΔBCM vuông tại C, có:

$\sin \widehat{BMC}=\frac{BC}{BM}=\frac{a}{2R}$

Mà $\widehat{BMC}=\widehat{A}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{BC}$)

$\Rightarrow \sin A=\frac{a}{2R}$

Hình 3.10b):

Xét ΔBCM vuông tại C, có:

$\sin \widehat{BMC}=\frac{BC}{BM}=\frac{a}{2R}$

Mà $\widehat{BMC}+\widehat{A}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BAC}+\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BMC}=\frac{1}{2}{.360}^0={180}^0\Rightarrow \widehat{BMC}={180}^0-\widehat{A}$

$\Rightarrow \sin A=\sin \left({180}^0-\widehat{BMC}\right)=\sin \widehat{BMC}=\frac{a}{2R}$

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}.$

Xét ΔABC, có:

Theo định lý sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{8}{\sin {80}^0}=\frac{5}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow 2R=\frac{8}{\sin {80}^0}=8,12\iff R=4,06$

$\Rightarrow \frac{8}{\sin {80}^0}=\frac{5}{\sin C}=8,12\Rightarrow \sin C=\frac{5}{8,12}\approx 0,62\Rightarrow \widehat{C}={38}^0$

$\Rightarrow \widehat{A}={62}^0$

$\Rightarrow \frac{a}{\sin 62}=8,12\iff a=7,17.$

Vậy R = 4,06; a = 7,17; $\widehat{C}={38}^0,\widehat{A}={62}^0$.

Xét ΔABC, có:

Theo định lý Cos, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 32² + 45² – 2.32.45.cos87⁰ ≈ 2898,27

BC ≈ 53,84

Theo định lí Sin, ta có:

⇒53,84sin870=32sinB⇒sinB=0,59⇔B^=36,40⇒C^=56,60

Vậy $\widehat{B}=36,4^0,\widehat{C}=56,6^0$ và BC = 53,84.

Chiều cao của núi đỉnh C là h. chiều cao của núi đỉnh B là h’.

Từ vị trí A có thể quan sát được hai đỉnh núi B và C, ta dùng giác kế để xác định các góc $\beta ,\alpha ,\gamma$ như trong hình vẽ.

Xét ΔCHA vuông tại H, có:

$AC=\sin \beta .h$

Xét ΔBKA vuông tại K, có:

$AC=\sin \gamma .h\text{'}$

Xét $\Delta ABC$, có:

Theo định lí cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

$={\left(\sin \beta .h\right)}^2+{\left(\sin \gamma .h\text{'}\right)}^2-2\sin \beta .h.\sin \gamma .h\text{'}.\cos \alpha$

$={\sin }^2\beta .h^2+{\sin }^2\gamma .h{\text{'}}^2-2\sin \beta \sin \gamma \cos \alpha .h.h\text{'}$

Từ biểu thức trên tính được độ dài BC hay chính là khoảng cách giữa hai đỉnh núi.

a) Ta có diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích tam giác IAB, IAC, IBC:

$S_{\Delta ABC}=S_{\Delta IBC}+S_{\Delta ICA}+S_{\Delta IAB}$

b) Ta có:

Vậy $S_{\Delta ABC}=\frac{\left(a+b+c\right).r}{2}.$

a)

TH1: Đường cao BD nằm trong tam giác ABC

 Xét ΔABD vuông tại D, có:

BD = sinA.AB

TH2: Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC

Xét ΔABD vuông tại D, có:

$BD=\sin \widehat{BAD}.AB$

 $$\begin{gathered} Mà \widehat{BAD}+\widehat{BAC}={180}^0 \\ \Rightarrow \sin \widehat{BAC}=\sin \left({180}^0-\widehat{BAD}\right)=\sin \widehat{BAD} \\ \Rightarrow BD=\sin \widehat{BAC}.AB=\sin A.AB \end{gathered}$$

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có BD = sinA.AB.

b) TH1. Đường cao BD nằm trong tam giác ABC:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

TH2. Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

Vậy cả hai trường hợp $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

Xét ΔABC, có:

Theo định lí sin, ta có:

$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\iff \frac{2}{\sin {30}^0}=\frac{AB}{\sin {45}^0}\iff AB=\frac{2.\sin {45}^0}{\sin {30}^0}=2\sqrt{2}.$

Ta có: $\widehat{A}={180}^0-\widehat{B}-\widehat{C}={180}^0-{30}^0-{45}^0={105}^0$

Diện tích tam giác ABC là: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}\mathrm{.2.}\sin {105}^0=1+\sqrt{3}$(đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là $1+\sqrt{3}$ đvdt.

sinA và S được tính theo độ dài cạnh của tam giác ABC như sau:

Ta có: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ (định lí cos)

Ta lại có: cos²A + sin²A = 1  

⇔ sin²A = 1 – cos²A

Khi đó diện tích tam giác ABC là:

Nửa chu vi của tam giác ABE là: $p_1=\frac{476+256+401}{2}=\frac{1133}{2}$

Diện tích tam giác ABE là:

Nửa chu vi của tam giác ADE là: $p_2=\frac{476+538+217}{2}=\frac{1231}{2}$

Diện tích tam giác ADE là:

$S_2=\sqrt{p_2\left(p_2-476\right)\left(p_2-538\right)\left(p_2-217\right)}$

$S_2=\sqrt{\frac{1231}{2}\left(\frac{1231}{2}-476\right)\left(\frac{1231}{2}-538\right)\left(\frac{1231}{2}-217\right)}\approx 51495,13\left(m^2\right)$

Nửa chu vi của tam giác BDC là: $p_3=\frac{538+575+441}{2}=777$

Diện tích tam giác BDC là:

$S_3=\sqrt{p_3\left(p_3-538\right)\left(p_3-575\right)\left(p_3-441\right)}$

$S_3=\sqrt{777\left(777-538\right)\left(777-575\right)\left(777-441\right)}=112267,69\left(m^2\right)$

Do diện tích ngũ giác ABCDE bằng diện tích của tam giác ABE, diện tích tam giác DBE và diện tích tam giác DBC nên ta có:

$S_{ABCDE}=S_{ABE}+S_{DBE}+S_{DBC}=51327,97+51495,13+112267,69=215090,79m^2$

Vậy diện tích của công viên Hòa Bình là 215090,79 m².

* Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức tính côsin và diện tích tam giác lượng giác, tính chu vi tam giác trong tam giác để tìm ra số đo góc, S và bán kính cần tìm 

*Lời giải

Xét ΔABC, có:

$\text{cos}A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+8^2-6^2}{\mathrm{2.5.8}}=0,6625$(định lí cos)

$\Rightarrow \widehat{A}=48,{51}^0$

$\Rightarrow \sin A\approx 0,749$

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.b.c.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.5.8.0},749=14,98$(đvdt).

Nửa chu vi của tam giác ABC là: $p=\frac{5+8+6}{2}=\frac{19}{2}$

Ta có: S = pr

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{14,98}{\frac{19}{2}}\approx 1,58.$

Vậy cosA = 0,6625, S = 14,98 đvdt, r = 1,58.

Xét ΔABC, có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\iff b=\frac{a.\sin B}{\sin A}=\frac{10\sin {70}^0}{\sin {45}^0}\approx 13,29$ (định lí sin)

Ta lại có: $\frac{a}{\sin A}=2R\iff R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{10}{2\sin {45}^0}=5\sqrt{2}.$

Ta có: $\widehat{C}={180}^0-\widehat{A}-\widehat{B}={180}^0-{45}^0-{70}^0={65}^0$.

$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\iff c=\frac{a.\sin C}{\sin A}=\frac{10\sin {65}^0}{\sin {45}^0}\approx 12,82.$

Vậy $R=5\sqrt{2}$, b = 13,29, c = 12,82.

Xét ΔABC, có:

$\widehat{C}={180}^0-{130}^0-{15}^0={35}^0$

Theo định lí sin ta có:

Vậy a = 2,71, b = 8,01, $\widehat{C}={30}^0.$

a) Tàu cá xuất phát từ A đi theo hướng S70⁰E với vận tốc 70km/h trong 90 phút = 1,5 giờ thì tàu cá đi được đến B (vị trí tàu bị hỏng), quãng đường AB là: 70.1,5 = 105 (km).

Từ vị trí B tàu cá thả trôi với vận tốc 8km/h theo hướng nam sau 2h thì neo đậu vào đảo C, khi đó quãng đường BC là: 8.2 = 16km.

Khoảng cách từ cảng A đến nơi tàu neo đậu chính là đoạn AC.

Do tàu đi theo hướng S70⁰E nên phương AB hợp với phương nam Ax một góc 70⁰ nên $\widehat{xAB}={70}^0$.

Mà phương BC song song với phương nam Ax nên $\widehat{CBy}=\widehat{xAB}={70}^0$(hai góc đồng vị)

$\Rightarrow \widehat{ABC}={110}^0$ (Kề bù $\widehat{CBy}$)

Xét ΔABC, có:

AC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosB (định lí cos)

= 105² + 16² – 2.105.16.cos110⁰

= 12 430,19

⇒ AC = 111,49 km.

Vậy khoảng cách từ cảng A đến nơi tàu neo đậu là 111,49 km.

b) Xét ΔABC, có:

$cos\widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}=\frac{{105}^2+111,{49}^2-{16}^2}{\mathrm{2.105.111},49}\approx 0,99\Rightarrow \widehat{BAC}=7,{75}^0$

$\Rightarrow \widehat{xAC}={70}^0-\widehat{BAC}={70}^0-7,{75}^0=62,{25}^0.$

Vậy hướng từ cảng A đến đảo nơi tàu neo đậu là S62,25⁰E.

a) Ta có: $\widehat{BAC}={50}^0-{40}^0={10}^0$

Xét ΔABH, vuông tại H, có: $\widehat{CBA}+\widehat{BAH}={90}^0$ (hai góc phụ nhau)

Xét ΔABC, có: $\widehat{ACB}={180}^0-\widehat{BAC}-\widehat{CBA}={180}^0-{10}^0-{40}^0={130}^0.$

b) Xét ΔABC, có:

$\frac{AB}{\sin \widehat{BCA}}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}\iff \frac{AB}{\sin {130}^0}=\frac{5}{\sin {10}^0}\iff AB\approx 22,06\left(m\right)$.

Xét ΔABH, có:

$BH=\sin \widehat{BAC}.AB\approx \sin {50}^0.22,06\approx 16,9\left(m\right)$

Do đó chiều cao của tòa nhà là: 16,9 + 7 = 23,9 (m).

Vậy chiều cao của tòa nhà là 23,9 m.

Xét ΔABC, có:

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cosB (định lí cos)

= 8² + 6² – 2.8.6.cos105⁰

≈ 124,85

⇒ AC ≈ 11,17 km.

$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}\iff \sin \widehat{ACB}=\frac{AB.\sin \widehat{ABC}}{AC}\approx 0,69\Rightarrow \widehat{ACB}=43,{77}^0$

$\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{BCD}-\widehat{ACB}={135}^0-43,{77}^0=91,{23}^0.$

Xét ΔADC, có:

AD² = AC² + DC² – 2AC.DC.cosACD (định lí cos)

= 11,17² + 12² – 2.11,17.12.cos91,23⁰

≈ 274,52

⇒ AD ≈ 16,57 km.

Độ dài đoạn đường cũ là: AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26 km.

Độ dài đường cũ hơn độ dài đoạn đường mới: 26 – 16,57 = 9,43 km.

Vậy độ dài đường mới giảm 9,43 km so với đoạn đường cũ.