Quy tắc tính đạo hàm và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Với quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập môn Toán lớp 11 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập. Mời các bạn đón xem:

1 33,213 05/01/2024

Tải về

Trang trước

Trang sau

Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập – Toán lớp 11

A. Lý thuyết về đạo hàm

1) Đạo hàm của một hàm số lượng giác

Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản

Đạo hàm các hàm hợp u = u(x)

(c)’ = 0 (c là hằng số)

(x)’ = 1

$(x^{α})' = α . x^{α - 1}$

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}; x \neq 0 \\ {(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}; x > 0 \end{array}$

$(u^{α})' = α . u^{'} . u^{α - 1}$

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{u})}^{'} = - \frac{u^{'}}{u^{2}} \\ {(\sqrt{u})}^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}} \end{array}$

2) Các quy tắc tính đạo hàm

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1. (u + v)’ = u’ + v’

2. (u – v)’ = u’ – v’

3. (u.v)’ = u’.v + v’.u

4. ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - v^{'} u}{v^{2}} (v = v (x) \neq 0)$

Chú ý:

a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số)

b) ${(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v^{'}}{v^{2}} (v = v (x) \neq 0)$

Mở rộng:

${(u_{1} \pm u_{2} \pm ... \pm u_{n})}^{'} = {u_{1}}^{'} \pm {u_{2}}^{'} \pm ... \pm {u_{n}}^{'}$

${(u . v . w)}^{'} = u^{'} . v . w + u . v^{'} . w + u . v .$

3) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó: ${y_{x}}^{'} = {y_{u}}^{'} . {u_{x}}^{'}$

B. Phương pháp giải

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

C. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số tại các điểm x0 sau:

a) y = 7 + x – x², với x₀ = 1

b) y = 3x² – 4x + 9, với x₀ = 1

Lời giải

a) y = 7 + x – x²

Ta có: y' = 1 – 2x

Vậy y'(1) = 1 – 2. 1 = –1.

b) y = 3x² – 4x + 9

Ta có: y' = 6x – 4

Vậy y'(1) = 6.1 – 4 = 2.

Ví dụ 2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = –x³ + 3x + 1

b) y = (2x – 3)(x⁵– 2x)

c) $y = x^{2} \sqrt{x}$

d) $y = \frac{2 x + 1}{1 - 3 x}$

e) $y = \frac{2 x^{2} - 4 x + 1}{x - 3}$

Lời giải

a) y’ = (–x³ + 3x + 1)’ = –3x² + 3

b) y = (2x – 3)(x⁵ – 2x).

y’ = [(2x – 3)(x⁵ – 2x)]’

= (2x – 3)’.(x5 – 2x) + (x⁵ – 2x)’.(2x – 3)

= 2(x⁵ – 2x) + (5x⁴ – 2)(2x – 3)

= 12x⁵– 15x⁴ – 8x + 6.

c) $y = x^{2} \sqrt{x}$

$y' = {(x^{2} \sqrt{x})}^{'} = {(x^{2})}^{'} . \sqrt{x} + {(\sqrt{x})}^{'} . x^{2}$

$= 2 x . \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} . x^{2}$ $= 2 x \sqrt{x} + \frac{1}{2} x \sqrt{x}$ $= \frac{5 x \sqrt{x}}{2}$ .

d) $y = \frac{2 x + 1}{1 - 3 x}$

$\Rightarrow y' = {(\frac{2 x + 1}{1 - 3 x})}^{'}$ $= \frac{{(2 x + 1)}^{'} (1 - 3 x) - {(1 - 3 x)}^{'} (2 x + 1)}{{(1 - 3 x)}^{2}}$

$= \frac{2 (1 - 3 x) + 3 (2 x + 1)}{{(1 - 3 x)}^{2}}$ $= \frac{5}{{(1 - 3 x)}^{2}}$ .

e) $y = \frac{2 x^{2} - 4 x + 1}{x - 3}$

$\Rightarrow y' = \frac{{(2 x^{2} - 4 x + 1)}^{'} (x - 3) - {(x - 3)}^{'} (2 x^{2} - 4 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

$= \frac{(4 x - 4) (x - 3) - (2 x^{2} - 4 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ $= \frac{2 x^{2} - 12 x + 11}{{(x - 3)}^{2}}$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x⁷ + x)²

b) y = (1 – 2x²)³

c) $y = {(\frac{2 x + 1}{x - 1})}^{3}$

d) y = (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)

e) $y = \sqrt{1 + 2 x - x^{2}}$

f) $y = \frac{1 + x}{\sqrt{1 - x}}$

Lời giải

a) y = (x⁷ + x)². Sử dụng công thức ${(u^{α})}^{'} = α . u^{α - 1} . u'$ (với u = x⁷ + x)

y' = 2(x⁷ + x).(x⁷ + x)’ = 2(x⁷ + x)(7x⁶ + 1).

b) y = (1 – 2x²)³. Sử dụng công thức ${(u^{α})}^{'}$ với u = 1 – 2x²

y' = 3(1 – 2x²)².(1 – 2x²)’ = 3(1 – 2x²)²(– 4x) = – 12x(1 – 2x²)².

c) $y = {(\frac{2 x + 1}{x - 1})}^{3}$

Bước đầu tiên sử dụng ${(u^{α})}^{'}$ , với $u = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

$y' = 3. {(\frac{2 x + 1}{x - 1})}^{2} . {(\frac{2 x + 1}{x - 1})}^{'}$ $= 3. {(\frac{2 x + 1}{x - 1})}^{2} . \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}}$ $= - \frac{9 {(2 x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}} .$

d) y = (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)

y’ = (1 + 2x)’(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)’(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)’

y’ = 2(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(6x)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(– 12x²)

y’ = 12 – 16x³ + 18x² – 24x⁵ + 18x – 24x⁴ + 36x² – 48x⁵ – 72x⁵ – 36x⁴ – 48x³ – 12x²

y’ = – 144x⁵ – 60x⁴ – 64x³ + 42x² + 18x + 12.

e) $y = \sqrt{1 + 2 x - x^{2}}$ . Sử dụng công thức ${(\sqrt{u})}^{'}$ với u = 1 + 2x – x²

$y' = \frac{{(1 + 2 x - x^{2})}^{'}}{2 \sqrt{1 + 2 x - x^{2}}}$ $= \frac{2 - 2 x}{2 \sqrt{1 + 2 x - x^{2}}}$ $= \frac{1 - x}{\sqrt{1 + 2 x - x^{2}}}$ .

f) $y = \frac{1 + x}{\sqrt{1 - x}}$ . Sử dụng ${(\frac{u}{v})}^{'}$ được:

$y' = \frac{{(1 + x)}^{'} \sqrt{1 - x} - {(\sqrt{1 - x})}^{'} (1 + x)}{{(\sqrt{1 - x})}^{2}}$

$= \frac{\sqrt{1 - x} - \frac{{(1 - x)}^{'}}{2 \sqrt{1 - x}} . (1 + x)}{(1 - x)}$

$= \frac{2 (1 - x) + (1 + x)}{2 \sqrt{1 - x} . (1 - x)}$ $= \frac{3 - x}{2 \sqrt{1 - x} (1 - x)}$ .

D. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = 2x² + 1. Giá trị f’(– 1) bằng:

A. 2

B. 6

C. – 4

D. 3

Câu 2. Cho hàm số f(x) = – 2x² + 3x xác định trên R. Khi đó f'(x) bằng:

A. – 4x – 3

B. –4x + 3

C. 4x + 3

D. 4x – 3

Câu 3. Đạo hàm của hàm số y = (1 – x³)⁵ là:

A. y' = 5(1 – x³)⁴

B. y' = –15x²(1 – x³)⁴

C. y' = –3(1 – x³)⁴

D. y' = –5x²(1 – x³)⁴

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = (x² – x + 1)⁵ là:

A. 4(x² – x + 1)⁴(2x – 1)

B. 5(x² – x + 1)⁴

C. 5(x² – x + 1)⁴(2x – 1)

D. (x² – x + 1)⁴(2x – 1)

Câu 5. Đạo hàm của hàm số $y = - 2 x^{5} + 4 \sqrt{x}$ bằng biểu thức nào dưới đây?

A. $- 10 x^{4} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

B. $- 10 x^{4} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

C. $- 10 x^{4} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

D. $- 10 x^{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Câu 6. Hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ có đạo hàm là:

A. y’ = 2

B. $y^{'} = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

C. $y^{'} = - \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$

D. $y^{'} = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Câu 7. Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x^{2} + x + 1}$ bằng biểu thức có dạng $\frac{a x + b}{2 \sqrt{x^{2} + x + 1}}$ . Khi đó a – b bằng:

A. a – b = 2

B. a – b = –1

C. a – b = 1

D. a – b = –2

Câu 8. Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + x}{x - 2}$ đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:

A. y'(1) = –4

B. y'(1) = –5

C. y'(1) = –3

D. y'(1) = –2

Câu 9. Cho hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} .$ Tính y'(0) bằng:

A. $y^{'} (0) = \frac{1}{2}$

B. $y^{'} (0) = \frac{1}{3}$

C. y'(0) = 1

D. y'(0) = 2

Câu 10. Hàm số $y = \frac{{(x - 2)}^{2}}{1 - x}$ có đạo hàm là:

A. $y^{'} = \frac{- x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$ .

B. $y^{'} = \frac{x^{2} - 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$ .

C. y’ = -2(x – 2)

D. $y^{'} = \frac{x^{2} + 2 x}{{(1 - x)}^{2}}$

Câu 11. Cho hàm số f(x) xác định trên $D = [0; + \infty)$ cho bởi $f (x) = x \sqrt{x}$ có đạo hàm là:

A. $f^{'} (x) = \frac{1}{2} \sqrt{x}$

B. $f^{'} (x) = \frac{3}{2} \sqrt{x}$

C. $f^{'} (x) = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{x}}{x}$

D. $f^{'} (x) = x + \frac{\sqrt{x}}{2}$

Câu 12. Hàm số $f (x) = {(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}$ xác định trên $D = (0; + \infty)$ . Đạo hàm của f(x)là:

A. $f' (x) = x + \frac{1}{x} - 2$

B. $f' (x) = x - \frac{1}{x^{2}}$

C. $f' (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

D. $f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Câu 13. Đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^{2} + x + 3}{x^{2} + x - 1}$ bằng biểu thức có dạng $\frac{a x + b}{{(x^{2} + x - 1)}^{2}} .$ Khi đó a + b bằng:

A. a + b = –10

B. a + b = 5

C. a + b = –10

D. a + b = –12

Câu 14. Đạo hàm của hàm số y = (x² + 1)(5 – 3x²) bằng biểu thức có dạng ax³ + bx. Khi đó $T = \frac{a}{b}$ bằng:

A. – 1

B. –2

C. 3

D. – 3

Câu 15. Đạo hàm của hàm số y = x²(2x + 1)(5x – 3) bằng biểu thức có dạng ax³ + bx² + cx. Khi đó a + b + c bằng:

A. 31

B. 24

C. 51

D. 34

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	B	B	C	C	C	C	B	A	A	B	D	D	D	A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết

Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải

Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình

Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải

1 33,213 05/01/2024

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3