Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất - Toán lớp 11

1. Lí thuyết

* Công thức nghiệm cơ bản

a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $\left|m\right|\le 1$. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$\sin x=m\iff \sin x=\sin \alpha$$\iff \left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

$\sin x=m\iff \left[\begin{array}{l}x=\arcsin m+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin m+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l}\sin x=0\iff x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: $\left|m\right|\le 1$. Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$\cos x=m\iff \cos x=\cos \alpha$$\iff \left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

$\cos x=m$$\iff \left[\begin{array}{l}x=\arccos m+k2\pi \\ x=-\arccos m+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$

- Các trường hợp đặc biệt:

$\begin{array}{l}\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \cos x=1\iff x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$\tan x=m\iff \tan x=\tan \alpha$$\iff x=\alpha +k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

$\tan x=m\iff x=\arctan m+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện: $x\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$\cot x=m\iff \cot x=\cot \alpha$$\iff x=\alpha +k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

$\cot x=m\iff x=\mathrm{arccot}m+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

* Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

2. Công thức

Khi đã cho số m, ta có thể tìm các giá trị arcsin m, arccos m, arctan m, arccot m bằng máy tính bỏ túi với các phím sin^-1; cos^-1; tan^-1.

Bước 1. Chỉnh chế độ rad hoặc độ

- Muốn tìm số đo radian:

ta ấn qw4 (đối với Casio fx - 570VN)

ta ấn qw22 (đối với Casio fx - 580VN X)

-  Muốn tìm số đo độ:

ta ấn qw3 (đối với Casio fx - 570VN)

ta ấn qw21 (đối với Casio fx - 580VN X)

Bước 2. Tìm số đo góc

Tìm góc $\alpha$ khi biết sin của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt qj m =.

Tương tự đối với cos và tan.

Chú ý: Muốn tìm góc $\alpha$ khi biết cot của góc đó bằng m, ta ấn lần lượt ql1a m $)=.

Sau đó áp dụng công thức lượng giác để giải phương trình.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

c) $\cot 2x=\sqrt{3}$

Lời giải

a) $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{4}$ (Bấm máy SHIFT + SIN + $\frac{\sqrt{2}}{2}$)

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}$ (Bấm máy SHIFT + COS + $\frac{1}{2}$)

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

c) $\cot 2x=\sqrt{3}$

Điều kiện xác định: $\sin 2x\ne 0\iff 2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta có $\cot 2x=\cot \frac{\pi }{6}$ (Bấm máy SHIFT + Tan + $\frac{1}{\sqrt{3}}$)

$\iff 2x=\frac{\pi }{6}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

a) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

b) $\tan \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\tan x$

Lời giải

a) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{3}=x+\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{3}=-x-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 3x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$.

b) Điều kiện xác định:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\cos \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Ta có: $\tan \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\tan x$

$\begin{array}{l}\iff 3x+\frac{\pi }{4}=x+k\pi \\ \iff 2x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}$

$\iff x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Phương trình lượng giác $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$ có nghiệm là

A. $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

C. $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k4\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Câu 2. Phương trình $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $\left[\pi ;2\pi \right]$?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 3. Cho phương trình $\cot 3x=\cot (x+\sqrt{3})$. Nghiệm của phương trình là:

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}+k\frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}+k\frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z}$

Đáp án:

1 – C, 2 – A, 3 – B

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx

Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác

Công thức hoán vị

Công thức chỉnh hợp

Công thức tổ hợp