50 bài tập về Hàm số liên tục (có đáp án 2024) và cách giải

Với cách giải các dạng toán về Hàm số liên tục môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Hàm số liên tục lớp 11. Mời các bạn đón xem:

1 38184 lượt xem
Tải về


Hàm số liên tục và cách giải bài tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K và x0K.

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi limxx0f(x)=f(x0).

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0.

b) Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 của khoảng đó.

- Hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và limxa+f(x)=f(a), limxbf(x)=f(b)

c) Các định lý cơ bản

Định lý 1:

- Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập R.

- Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lý 2: Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại x0. Khi đó:

- Các hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) - g(x); y = f(x).g(x) liên tục tại x0.

- Hàm số y=fxgx liên tục tại x0 nếu gx00.

Định lý 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b).

2. Các dạng toán

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Loại 1: Xét tính liên tục của hàm số fx=f1x, khi xx0f2x, khi x=x0 tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0).

Bước 2: Tính limxx0fx=limxx0f1x=L.

Bước 3: Nếu f2(x0) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x0.

Nếu f2x0L thì hàm số f(x) không liên tục tại x0.

(Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x0, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f2(x0), tìm m)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = - 1.

fx=x2+5x+4x+1khi x13khi x=1

Lời giải

Hàm đã cho xác định trên R.

Ta có: f(-1) = 3

limx1fx=limx1x2+5x+4x+1=limx1x+1x+4x+1=limx1x+4=3

Ta thấy limx1fx=f1

Vậy hàm số liên tục tại x = - 1.

Ví dụ 2: Cho hàm số: fx=x1x1khi  x1m2xkhi  x=1. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1.

Lời giải

Hàm đã cho xác định trên 0;+

Ta có

f(1) = m2.

limx1x1x1=limx11x+1=12

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì limx1fx=f1m2=12m=±12=±22.

Vậy m=±22.

Loại 2: Xét tính liên tục của hàm số fx=f1x, khi xx0f2x, khi x<x0 tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1:

Tính f(x0) = f2(x0).

Tính giới hạn trái: limxx0fx=limxx0f2x=L1

Tính giới hạn phải: limxx0+fx=limxx0+f1x=L2

Bước 2:

Nếu L = L1 thì hàm số liên tục bên trái tại x0.

Nếu L = L2 thì hàm số liên tục bên phải tại x0.

Nếu L = L1 = L2 thì hàm số liên tục tại x0.

(Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x0)

* Đối với bài toán tìm m để hàm số liên tục tại x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2. Tìm m.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số fx=x+x+2x+1    , khi x>1 2x+3            , khi x1.

Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1.

Lời giải

Hàm số liên tục và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Cho hàm số: fx=x23x+2x1khi x1mkhi x=1. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1

Lời giải

Hàm số liên tục và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Hàm số liên tục và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y=fx=1x2x1khi x<12xkhi x1. Xét sự liên tục của hàm số.

Lời giải

Hàm số xác định và liên tục trên ;11;+.

Xét tính liên tục tại x = 1

f(1) = 2.1 = 2.

limx1fx=limx11x2x1=limx11x2x+12x1=limx12x+1=2

Ta thấy limx1fx=f1 nên hàm số liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số liên tục trên R.

Ví dụ 2: Cho hàm số fx=39xx , 0<x<9m               , x=03x               , x9. Tìm m để hàm số liên tục trên .

Lời giải

Với x0;9: fx=39xx xác định và liên tục trên 0;9.

Với x9;+: fx=3x xác định và liên tục trên 9;+.

Với x = 9, ta có f9=39=13=limx9+fx

limx9fx=limx939xx=3999=13

Ta thấy limx9fx=limx9+fx=f9 nên hàm số liên tục tại x = 9.

Với x = 0 ta có f(0) = m.

limx0+fx=limx0+39xx=limx0+329+xx3+9x=limx0+13+9x=16

Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại x = 0

limx0+fx=f0m=16.

Vậy m=16 thì hàm số liên tục trên 0;+.

Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b).

Chú ý: Đa thức bậc n có tối đa n nghiệm trên R.

* Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.

- Tìm hai số a và b sao cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0.

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

* Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm

- Tìm k cặp số ai; bi sao cho các khoảng (ai; bi) rời nhau và f(ai).f(bi) < 0; i = 1; 2; … k.

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm .

Khi đó f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Phương trình: x43x3+x18=0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (-1; 3).

b) Phương trình 2x+61x3=3 có bao nhiêu nghiệm.

Lời giải

a) Xét hàm số fx=x43x3+x18 liên tục trên [- 1; 3].

Ta có: f1=238;   f0=18;  f12=116;     f1=98;    f3=238

Ta thấy:

f(- 1).f(0) < 0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (- 1; 0)

f0.f12<0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;12

f12.f1<0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc 12;1

f(1).f(3) < 0, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 3)

Do đó phương trình có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng (-1; 3).

Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm.

Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng (-1; 3).

b) Đặt t=1x3x=1t3. Khi đó phương trình đã cho có dạng 2t3 – 6t + 1 = 0

Xét hàm f(t) = 2t3 – 6t + 1 liên tục trên R

Ta có f(- 2) = - 3, f(0) = 1, f(1) = - 3, f(2) = 5.

Ta thấy:

f(- 2).f(0) = - 3 < 0, phương trình có một nghiệm t1(2;0). Khi đó x1=1t13,x1(1;9).

f(0).f(1) = - 3 < 0, phương trình có một nghiệm t2(0;1). Khi đó x2=1t23,x2(0;1).

f(1).f(2) = - 15 < 0, phương trình có một nghiệm t3(1;2). Khi đó x3=1t33,x3(7;0).

Do đó phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 2).

Mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm

Suy ra, phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc (-2; 2).

Vậy phương trình 2x+61x3=3 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-7; 9).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Lời giải

Xét hàm số f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1

Ta có: f(0) = - 1 và f(- 1) = m2 + 1

nên f1.f0=m2+1<0,m

Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1; 0]

Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1; 0).

Vậy phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số f(x)=x2x4  khi  x414         khi  x=4.

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tục tại x = 4.

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x = 4.

C. Hàm số không liên tục tại x = 4.

D. Tất cả đều sai.

Câu 2. Cho hàm số fx=x+x+2x+1    , khi x>1 2x+3            , khi x1

Khẳng định nào sau đây đúng nhất:

A. Hàm số liên tục tại x0 = -1.

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm.

C. Hàm số gián đoạn tại x0 = -1.

D. Tất cả đều sai.

Câu 3. Cho hàm số f(x)=x+1+x13x khi x02                   khi x=0

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tục tại x0 = 0.

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng gián đoạn tại x0 = 0.

C. Hàm số liên tục tại mọi điểm.

D. Tất cả đều sai.

Câu 4. Cho hàm số fx=x24. Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f(x) liên tục tại x = 2.

(II) f(x) gián đoạn tại x = 2.

(III) f(x) liên tục trên đoạn [-2; 2].

A. Chỉ (I) và (III).

B. Chỉ (I).

C. Chỉ (II).

D. Chỉ (II) và (III).

Câu 5. Cho hàm số f(x)=x+2x2x6. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Hàm số liên tục trên R.

B. Hàm số liên tục tại mọi R\{-2; 3} và hàm số gián đoạn tại x = -2; x = 3.

C. Hàm số liên tục tại x = -2; x = 3.

D. Tất cả đều sai.

Câu 6. Tìm m để các hàm số f(x)=x23+2x1x1  khi x13m2              khi x=1 liên tục trên R

A. m = 1.

B. m=139.

C. m = 2.

D. m = 0.

Câu 7. Tìm m để các hàm số f(x)=x+11x    khi x>02x2+3m+1  khi x0 liên tục trên R.

A. m = 1.

B. m=16.

C. m = 2.

D. m = 0.

Câu 8. Cho hàm số f(x)=x+733x+1x1khi x1axkhi x=1

Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1.

A. 23.

B. 2.

C. 32.

D. -2.

Câu 9. Cho hàm số fx=a2x2        khi  x2,a2ax2 khi  x>2.

Giá trị của a để f(x) liên tục trên R là:

A. 1 hoặc 2.

B. 1 hoặc -1.

C. -1 hoặc 2.

D. 1 hoặc -2.

Câu 10. Cho hàm số fx=x23x3 khi x323      khi x=3.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I). f(x) liên tục tại x=3

(II). f(x) gián đoạn tại x=3

(III). f(x) liên tục trên R

A. Chỉ (I) và (II).

B. Chỉ (II) và (III).

C. Chỉ (I) và (III).

D. Cả (I),(II),(III) đều đúng.

Câu 11. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I. f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

II. f(x) không liên tục trên [a; b] và fa.fb0 thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ II đúng.

C. Cả I và II đúng.

D. Cả I và II sai.

Câu 12. Cho phương trình 2x4 - 5x2 + x + 1 = 0 (1) .Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1; 1).

B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2; 0).

C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2; 1).

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2).

Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình: 2x3 - 6x + 1 = 0 thuộc khoảng (- 2; 2) là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 14. Cho phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình (1) vô nghiệm với mọi a, b, c.

B. Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.

C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c.

D. Phương trình (1) có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c.

Câu 15. Cho hàm số f(x) = x3 - 1000x2 + 0,01. Phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

I. (-1; 0). II. (0; 1). III. (1; 2).

A. Chỉ I.

B. Chỉ I và II.

C. Chỉ II.

D. Chỉ III.

Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

A

C

B

A

B

B

B

A

D

C

A

D

D

B

B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Phép tịnh tiến và cách giải các dạng bài tập

Phép đối xứng tâm và cách giải các dạng bài tập

Phép đối xứng trục và cách giải các dạng bài tập

Phép quay và cách giải các dạng bài tập

Phép vị tự và cách giải các dạng bài tập

1 38184 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: