50 bài tập về Cách tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác (có đáp án 2024) chi tiết nhất

Cách tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết nhất - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền $D\subset ℝ$.

- Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\le M,\forall x\in D\\ \exists x_0\in D,f\left(x_0\right)=M\end{array}\right.$

- Số thực m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge m,\forall x\in D\\ \exists x_0\in D,f\left(x_0\right)=m\end{array}\right.$

b) Tính bị chặn của hàm số lượng giác:

$\begin{array}{l}-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ\\ -1\le \cos x\le 1\forall x\in ℝ\end{array}$

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

$-1\le \sin \left[u\left(x\right)\right]\le 1; 0\le {\sin }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$$0\le \left|\sin \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

$-1\le \cos \left[u\left(x\right)\right]\le 1; 0\le {\cos }^2\left[u\left(x\right)\right]\le 1;$$0\le \left|\cos \left[u\left(x\right)\right]\right|\le 1$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = sin2x + 3

b) y = 4sin2xcos2x +1

c) y = 5 – 3cos²3x

Lời giải

a) Ta có: $-1\le \sin 2x\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff 2\le \sin 2x+3\le 4\forall x\in ℝ$

Vậy hàm số y = sin2x + 3 có giá trị lớn nhất là 4 và giá trị nhỏ nhất là 2.

b) y = 4sin2xcos2x +1 = 2sin4x + 1

Ta có: $-1\le \sin 4x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin 4x\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le 2\sin 4x+1\le 3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 4sin2xcos2x +1 có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

c) Ta có: $0\le {\cos }^{2}3x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 0\le 3{\cos }^{2}3x\le 3\forall x\in ℝ\\ \iff -3\le -3{\cos }^{2}3x\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 2\le 5-3{\cos }^{2}3x\le 5\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 5 – 3cos²3x có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a) $y=\sqrt{2-\sin 2x}$

b) y = cos2x + 4sinx - 5

c) y = 4|cos(3x-1)| + 1

Lời giải

a) Điều kiện xác định: $2-\sin 2x\ge 0\iff \sin 2x\le 2$ (Luôn đúng với mọi x)

Tập xác định D = R.

Ta có: $-1\le \sin 2x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -1\le -\sin 2x\le 1\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le 2-\sin 2x\le 3\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le \sqrt{2-\sin 2x}\le \sqrt{3}\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số $y=\sqrt{2-\sin 2x}$ có giá trị lớn nhất là $\sqrt{3}$ và giá trị nhỏ nhất là 1.

b) y = cos2x + 4sinx – 5

= 1 – 2sin²x + 4sinx – 5

= -2sin²x + 4sinx – 4

= -2(sin²x – 2sinx + 1) – 2

= -2(sinx – 1)² – 2

Ta có: $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le \sin x-1\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff 0\le {\left(\sin x-1\right)}^2\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff -8\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2\le 0\forall x\in ℝ\\ \iff -10\le -2{\left(\sin x-1\right)}^2-2\le -2\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = cos2x + 4sinx – 5 có giá trị lớn nhất là -2 và giá trị nhỏ nhất là -10.

c) Ta có: $0\le \left|\cos \left(3x-1\right)\right|\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff 0\le 4\left|\cos \left(3x-1\right)\right|\le 4\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le 4\left|\cos \left(3x-1\right)\right|+1\le 5\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 4|cos(3x-1)| + 1 có giá trị lớn nhất là 5 và giá trị nhỏ nhất là 1.

Dạng 2. Hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c (với a, b khác 0)

Phương pháp giải:

Bước 1: Ta đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u(x)] hoặc cos[u(x)]:

y = asinx + bcosx + c$=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)+c$

$\iff y=\sqrt{a^2+b^2}.\sin \left(x+\alpha \right)+c$ với $\alpha$ thỏa mãn

$\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Bước 2: Đánh giá $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\iff -\sqrt{a^2+b^2}\le \sqrt{a^2+b^2}\sin \left(x+\alpha \right)$$\le \sqrt{a^2+b^2}\forall x\in ℝ$

$\iff -\sqrt{a^2+b^2}+c\le \sqrt{a^2+b^2}\sin \left(x+\alpha \right)+c$$\le \sqrt{a^2+b^2}+c\forall x\in ℝ$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) $y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x+1$

b) y = 3sinx + 4cosx + 6

Lời giải

a)

$\begin{array}{l}y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x+1\\ =2\left(\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right)+1\\ =2\left(\sin 2x\cos \frac{\pi }{3}-\cos 2x\sin \frac{\pi }{3}\right)+1\\ =2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+1\end{array}$

Ta có: $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+1\le 3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số $y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x+1$ có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

b) y = 3sinx + 4cosx + 6$=5\left(\frac{3}{5}\sin x+\frac{4}{5}\cos x\right)+6$

Đặt $\cos \alpha =\frac{3}{5}$ và $\sin \alpha =\frac{4}{5}$ (vì ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$)

Ta được: $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1\forall x\in ℝ$.

Ta có: $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -5\le 5\sin \left(x+\alpha \right)\le 5\forall x\in ℝ\\ \iff 1\le 5\sin \left(x+\alpha \right)+6\le 11\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số y = 3sinx + 4cosx + 6 có giá trị lớn nhất là 11 và giá trị nhỏ nhất là 1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

$y=\sqrt{3}\sin 2x+{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x+1$

Lời giải

$\begin{array}{l}y=\sqrt{3}\sin 2x+{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x+1\\ =\sqrt{3}\sin 2x-\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)+1\\ =\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+1\\ =2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x\right)+1\\ =2\left(\sin 2x\cos \frac{\pi }{6}-\cos 2x\sin \frac{\pi }{6}\right)+1\\ =2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1\end{array}$

Ta có: $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1\le 3\forall x\in ℝ\end{array}$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

Dạng 3: Hàm số có dạng $y=\frac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}$

Lý thuyết: Phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ có nghiệm khi $a^2+b^2\ge c^2$ (Lý thuyết có trong phần 7)

Phương pháp giải:

Bước 1: Điều kiện xác định: $a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\ne 0$.

Bước 2: $y=\frac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}$

$\iff y{a}_2\sin x+y{b}_2\cos x+y{c}_2$$=a_1\sin x+b_1\cos x+c_1$

$\iff \left(y{a}_2-a_1\right)\sin x+\left(y{b}_2-b_1\right)\cos x$$=-y{c}_2+c_1$ (*)

Bước 3: Để phương trình (*) có nghiệm x thì

${\left(y{a}_2-a_1\right)}^2+{\left(y{b}_2-b_1\right)}^2\ge {\left(-y{c}_2+c_1\right)}^2$

Tìm đoạn chứa y, sau đó đưa ra kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$

Lời giải

Điều kiện xác định: $\sin x+\cos x+2\ne 0$

Ta có: sinx + cosx + 2

$\begin{array}{l}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)+2\\ =\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)+2\\ =\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+2\ge -\sqrt{2}+2>0\end{array}$

Do đó $\sin x+\cos x+2\ne 0\forall x\in ℝ$.

Tập xác định: D = R.

Ta có $y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$

$\iff y\sin x+y\cos x+2y=\sin x+2\cos x+1$

$\iff \left(y-1\right)\sin x+\left(y-2\right)\cos x=1-2y$ (*)

Để phương trình (*) có nghiệm x thì ${\left(y-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2\ge {\left(1-2y\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff y^2-2y+1+y^2-4y+4\ge 1-4y+4y^2\\ \iff 2y^2+2y-4\le 0\\ \iff 2\left(y-1\right)\left(y+2\right)\le 0\end{array}$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y-1\ge 0\\ y+2\le 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}y-1\le 0\\ y+2\ge 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y\ge 1\\ y\le -2\end{array}\right.\left(Loại\right)\\ \left\{\begin{array}{l}y\le 1\\ y\ge -2\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff -2\le y\le 1 \end{gathered}$$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{2\sin x-2\cos x}{\sin x-\cos x+3}$

Lời giải

Điều kiện xác định: $\sin x-\cos x+3\ne 0$

Ta có: sinx – cosx + 3

$\begin{array}{l}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)+3\\ =\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)+3\\ =\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+3\ge -\sqrt{2}+3>0\end{array}$

Do đó $\sin x-\cos x+3\ne 0\forall x\in ℝ$.

Tập xác định: D = R.

Ta có: $y=\frac{2\sin x-2\cos x}{\sin x-\cos x+3}$

$\iff y\sin x-y\cos x+3y=2\sin x-2\cos x$

$\iff \left(y-2\right)\sin x-\left(y+2\right)\cos x=-3y$ (*)

Để phương trình (*) có nghiệm x thì ${\left(y-2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2\ge {\left(-3y\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff y^2-4y+4+y^2+4y+4\ge 9y^2\\ \iff 7y^2\le 8\iff y^2\le \frac{8}{7}\iff \left|y\right|\le \sqrt{\frac{8}{7}}\\ \iff -\frac{\sqrt{56}}{7}\le y\le \frac{\sqrt{56}}{7}\end{array}$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là $\frac{\sqrt{56}}{7}$ và giá trị nhỏ nhất là $-\frac{\sqrt{56}}{7}$.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2sin5x – 1

A. min y = -3, max y = 3

B. min y = -1, max y = 1

C. min y = -1, max y=3

D. min y = -3, max y = 1

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=1+3\cos \left(\frac{\pi }{4}-3x\right)$

A. min y = -2, max y = 4

B. min y = 2, max y = 4

C. min y = -2, max y = 3

D. min y = -1, max y = 4

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left|\cos \left(-2x^2+\frac{\pi }{3}\right)\right|+1$

A. max y = 1, min y = 0

B. max y = 2, min y = 0

C. max y = 1, min y = -1

D. max y = 2, min y = 1

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+3$

A. min y = 2, max y = 5

B. min y = 1, max y = 4

C. min y = 1,max y = 5

D. min y = 1, max y = 3

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{2\sin x+3}$

A. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 1

B. $\max y=\sqrt{5}$, $\min y=2\sqrt{5}$

C. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 2

D. $\max y=\sqrt{5}$, min y = 3

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3+2\sqrt{2+{\sin }^{2}2x}$

A. $\min y=3+2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

B. $\min y=2+2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

C. $\min y=3-2\sqrt{2},\max y=3+2\sqrt{3}$

D. $\min y=3+2\sqrt{2},\max y=3+3\sqrt{3}$

Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2cos²3x

A. min y = 1, max y = 2

B. min y = 1, max y = 3

C. min y = 2, max y = 3

D. min y = -1, max y = 3

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin²x – 4sinx + 5

A. max y = 9, min y = 2

B. max y = 10, min y = 2

C. max y = 6, min y = 1

D. max y = 5, min y = 1

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos2x + 4cosx – 2

A. max y = 3, min y = -7

B. max y = -1, min y = -5

C. max y = 4, min y = -1

D. max y = 3, min y = -5

Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sin x + 4cosx + 1

A. max y = 6, min y = -2

B. max y = 4, min y = -4

C. max y = 6, min y = -4

D. max y = 6, min y = -1

Câu 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{3}\cos x+\sin x+4$

A. min y = 2, max y = 4

B. min y = 2, max y = 6

C. min y = 4, max y = 6

D. min y = 2, max y = 8

Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin 6x + 3cos 6x

A. min y = -5, max y = 5

B. min y = -4, max y = 4

C. min y = -3, max y = 5

D. min y = -6, max y = 6

Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin²x + 3sin2x – 4cos²x

A. $\min y=-3\sqrt{2}-1,\max y=3\sqrt{2}+1$

B. $\min y=-3\sqrt{2}-1,\max y=3\sqrt{2}-1$

C. $\min y=-3\sqrt{2},\max y=3\sqrt{2}-1$

D. $\min y=-3\sqrt{2}-2,\max y=3\sqrt{2}-1$

Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x+2}$ là

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 2

Câu 15. Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$. Giá trị của M+m là:

A. $\frac{20}{11}$

B. $\frac{24}{11}$

C. $\frac{4}{11}$

D. $\frac{15}{2}$

Bảng đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác và cách giải

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx và cách giải

Quy tắc đếm và cách giải các dạng bài tập