Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác:

Cung lượng giác $\alpha +\frac{k2\pi }{m};k\in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác (các điểm cách nhau đúng góc $\frac{2\pi }{m}$)

Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn cung.

Bước 2: Xác định m – 1 điểm còn lại cách đều điểm M một góc $\frac{2\pi }{m}$. (Hoặc chia đường tròn thành m phần bằng nhau, bắt đầu chia từ điểm M, ta được m – 1 điểm còn lại).

2. Công thức

Sau khi biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác

* Ta hợp các nghiệm bằng cách:

- Tìm ra các điểm cách đều nhau. Tìm khoảng cách giữa chúng là $\beta$.

- Công thức biểu diễn các điểm đó là $x=\alpha +k\beta \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ với $\alpha$ là 1 cung bất kì của 1 điểm trong các điểm đó.

* Loại nghiệm:

- Ta bỏ đi những điểm không xác định và tìm công thức biểu diễn các điểm còn lại như phần hợp nghiệm.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hợp các họ nghiệm sau:

a) $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b) $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

c) $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \pi +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Lời giải

a) $\left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Bước 1: Biểu diễn $x=k\pi =0+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M₂ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu diễn $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm N₁ biểu diễn cung $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

- Điểm còn lại cách N₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N₂ trên hình vẽ.

Bước 3: Hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là: $x=0+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ hay $x=\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Bước 1: Biểu diễn $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung $\frac{\pi }{6}$.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M₂ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu diễn $x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm N₁ biểu diễn cung $\frac{2\pi }{3}$.

- Điểm còn lại cách N₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm N₂ trên hình vẽ.

Bước 3: Hợp nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một góc $\frac{\pi }{2}$ và chọn điểm bắt đầu là $\frac{\pi }{6}$.

Công thức biểu diễn 4 điểm đó là: $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \pi +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Bước 1: Biểu diễn $x=\frac{k\pi }{3}=0+\frac{k2\pi }{6}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc $\frac{\pi }{3}$ (hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm M₁) là các điểm M₂; M₃; M₄; M₅; M₆ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu diễn điểm $x\ne \pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

-  Xác định điểm N biểu diễn cung $\mathrm{\pi }$.

- Các điểm còn lại cách N đúng $2\mathrm{\pi }$ (tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn $x\ne \pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn.

Bước 3: Loại nghiệm

Ta thấy điểm M₄ trùng với N. Nên ta chỉ nhận các điểm M₁; M₂; M₃; M₅; M₆.

- Điểm M₂; M₅ cách nhau một góc $\mathrm{\pi }$ và chọn điểm bắt đầu là M₂ có góc lượng giác là $\frac{\pi }{3}$. Công thức biểu diễn hai điểm M₂; M₅ là $x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

- Điểm M₃; M₆ cách nhau một góc $\mathrm{\pi }$ và chọn điểm bắt đầu là M₆ có góc lượng giác là $-\frac{\pi }{3}$. Công thức biểu diễn hai điểm M₃; M₆ là $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

- Điểm M₁: công thức biểu diễn là $x=0+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy các họ nghiệm thu được là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ;x=2k\pi ;\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin2x – 2sinx = 0

b) tan3x = tanx

Lời giải

a) Ta có: sin2x – 2sinx = 0

$\begin{array}{l}\iff 2\sin x\cos x-2\sin x=0\\ \iff 2\sin x\left(\cos x-1\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \cos x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Ta kết hợp nghiệm:

Bước 1: Biểu diễn $x=k\pi =0+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M₂ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu điễn $x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

-  Xác định điểm N biểu diễn cung 0.

- Các điểm còn lại cách N đúng $2\mathrm{\pi }$ (tức là 1 vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N biểu diễn $x=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn.

Bước 3: Kết hợp nghiệm

Ta thấy hai họ nghiệm lồng nhau. Vậy chỉ cần lấy họ nghiệm $x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Kết luận: Họ nghiệm của phương trình là $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) tan3x = tanx

Điều kiện xác định:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\cos 3x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Ta có: tan3x = tanx

$\begin{array}{l}\iff 3x=x+k\pi \\ \iff 2x=k\pi \\ \iff x=\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Kết hợp với điều kiện xác định như sau:

Bước 1: Biểu diễn $x=k\frac{\pi }{2}=\frac{k2\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác. (Có 4 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm M₁ biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M₁ một góc $\frac{\pi }{2}$ (hoặc chia đường tròn thành 4 phần, bắt đầu chia từ điểm M₁) là các điểm M₂; M₃; M₄ trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu diễn $x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- Xác định điểm N₁ biểu diễn cung $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$.

- Điểm còn lại cách N₁ một góc $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ (hoặc chia đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ điểm N₁) là các điểm N₂; N₃; N₄; N₅; N₆ trên hình vẽ.

Bước 3: Biểu điễn $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ trên đường tròn lượng giác.

- Xác định điểm P₁ biểu diễn cung $\frac{\pi }{2}$.

- Điểm còn lại cách P₁ một góc $\mathrm{\pi }$ (tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm P₂ trên hình vẽ.

Bước 4: Loại nghiệm

Nghiệm của phương trình là các điểm M. Các điểm không thỏa mãn điều kiện xác định là các điểm N, P.

Theo hình vẽ ta chỉ lấy được nghiệm là biểu diễn bởi điểm M₁ và M₃.

Điểm M₁; M₃ cách nhau một góc  và chọn điểm bắt đầu là M₁ có góc lượng giác là 0. Công thức biểu diễn hai điểm M₁; M₃ là $x=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ hay $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Phương trình $\frac{\sin x}{1+\cos x}=0$ có nghiệm là:

A. $k\mathrm{\pi }$

B. $k2\mathrm{\pi }$

C. $(2k+1)\frac{\pi }{2}$

D. $(2k+1)\mathrm{\pi }$

Câu 2. Cho phương trình ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$. Các nghiệm của phương trình là:

A. $-\frac{\pi }{2}+k\pi$

B. $\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

C. $\pm \frac{\pi }{2}+k2\pi$

D. $\frac{\pi }{2}+k2\pi$

Câu 3. Phương trình lượng giác $\frac{\cos x-\sqrt{3}\sin x}{2\sin x-1}=0$ có nghiệm là:

A. Vô nghiệm

B. $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$

C. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$

D. $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$

Đáp án: 1 – B, 2 – B, 3 – B

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức hoán vị

Công thức chỉnh hợp

Công thức tổ hợp

Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

Công thức tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn