Công thức tính công bội của cấp số nhân chi tiết nhất - Toán lớp 11

Công thức tính công bội của cấp số nhân - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ không phụ thuộc vào n và q là công bội.

2. Công thức

- Tính công bội dựa vào định nghĩa: $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ hoặc $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\mathrm{...}$.

- Đề bài cho các dữ kiện khác: Lập hệ phương trình hai ẩn u₁ và q. Tìm u₁ và q.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Cho cấp số nhân (u_n) với u_n = 2.3ⁿ⁺¹. Tìm q?

b) Cho cấp số nhân (u_n) với $u_1=-\frac{1}{2};{\text{ u}}_7=-32$. Tìm q?

Lời giải

a) Cách 1: Ta có: u_n+1 = 2.3ⁿ⁺¹⁺¹ = 2.3ⁿ⁺².

Công bội của cấp số nhân: $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{2.3}^{n+2}}{{2.3}^{n+1}}=3$

Cách 2: Công bội của cấp số nhân: $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{{2.3}^{2+1}}{{2.3}^{1+1}}=3$

b) Ta có: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-\frac{1}{2}\\ {\text{u}}_7=-32\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-\frac{1}{2}\\ {\text{u}}_1{q}^6=-32\end{array}\right. \\ \Rightarrow q^6=64=2^6\iff q=\pm 2 \end{gathered}$$

Vậy công bội của cấp số nhân là q = 2 hoặc q = – 2.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n)  thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}{u}_4=\frac{2}{27}\\ u_3=243u_8\end{array}\right.$

Tìm u₁ và q?

Lời giải

Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_4=\frac{2}{27}\\ u_3=243u_8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3=\frac{2}{27}\\ u_1{q}^2=243.u_1{q}^7\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3=\frac{2}{27}\\ q^5=\frac{1}{243}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}q=\frac{1}{3}\\ u_1=2\end{array}\right.\end{array}$

Vậy $u_1=2;q=\frac{1}{3}$.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Công thức phép tịnh tiến

Công thức phép đối xứng tâm

Công thức phép đối xứng trục