Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx hay nhất - Toán lớp 11

Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

y = asinx + bcosx $=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)$

(Điều kiện: $a^2+b^2\ne 0$)

Đặt $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Khi đó: $y=\sqrt{a^2+b^2}.\left(\sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha \right)$

$\iff y=\sqrt{a^2+b^2}.\sin \left(x+\alpha \right)$

Công thức đặc biệt:

2. Công thức

a) Giải phương trình asinx + bcosx = c. Phương trình có nghiệm khi $a^2+b^2\ge c^2$.

Ta có: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\Rightarrow \boxed{\sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ với $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

(Bấm máy tính để tìm góc $\alpha$).

Sau đó, đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải.

b) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c

Ta có: $-\sqrt{a^2+b^2}+c\le y\le \sqrt{a^2+b^2}+c$

Hàm số có giá trị nhỏ nhất là $-\sqrt{a^2+b^2}+c$ và giá trị lớn nhất là $\sqrt{a^2+b^2}+c$.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) $\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=\sqrt{2}$

b) cosx – sinx = 1

Lời giải

a) $\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\iff \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \sin 2x\cos \frac{\pi }{3}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array} \\ \iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \iff \left[\begin{array}{l}2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}2x=-\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 12}}+k2\pi \\ 2x=\frac{{\displaystyle 5\pi }}{{\displaystyle 12}}+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 24}}+k\pi \\ x=\frac{{\displaystyle 5\pi }}{{\displaystyle 24}}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=-\frac{\pi }{24}+k\pi ;x=\frac{5\pi }{24}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) cosx – sinx = 1

$\iff \sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ (Áp dụng công thức)

$\begin{array}{l}\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $x=k2\pi ;x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau: $y=\sqrt{3}\sin 5x+\cos 5x+1$

Lời giải

Cách 1: Áp dụng công thức ta có:

$$\begin{gathered} -\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}+1\le y\le \sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}+1 \\ \iff -1\le y\le 3 \end{gathered}$$

Cách 2: Giải chi tiết

Ta có: $y=\sqrt{3}\sin 5x+\cos 5x+1$

$\begin{array}{l}\iff y=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 5x+\frac{1}{2}\cos 5x\right)+1\\ \iff y=2\left(\sin 5x\cos \frac{\pi }{6}+\cos 5x\sin \frac{\pi }{6}\right)+1\\ \iff y=2\sin \left(5x+\frac{\pi }{6}\right)+1\end{array}$

Ta có $-1\le \sin \left(5x+\frac{\pi }{6}\right)\le 1\forall x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\iff -2\le 2\sin \left(5x+\frac{\pi }{6}\right)\le 2\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le 2\sin \left(5x+\frac{\pi }{6}\right)+1\le 3\forall x\in ℝ\\ \iff -1\le y\le 3\end{array}$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. 3sinx + cosx = 3

B. $\sqrt{3}\sin x-\cos x=-3$

C. $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2$

D. 3sinx – 4cosx = 5

Câu 2. Phương trình $\sin x+\sqrt{3}\cos x=2$ có tập nghiệm là:

A. $\frac{5\pi }{6}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

B. $\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

C. $\frac{\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

D. $-\frac{\pi }{6}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Câu 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sin 3x-\cos 3x+3$ lần lượt là

A. $\sqrt{2}+3$ và $-\sqrt{2}-3$

B. $\sqrt{2}+3$ và $-\sqrt{2}+3$

C. $\sqrt{2}-3$ và $-\sqrt{2}-3$

D. $\sqrt{2}-3$ và $-\sqrt{2}+3$

Đáp án: 1 – B, 2 – C, 3 – B

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác

Công thức hoán vị

Công thức chỉnh hợp

Công thức tổ hợp

Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn